4ème dimension

[invite5b372a80]

Salut à tous !

Je poste ce forum pour parler comme vous avez pu le constater, de la 4ème dimension.
Car en fait, je lis un livre sur la relativité générale, et étant donné que cette notion y est fondamentale, j'aurais aimé la cerner le mieux possible...
Or, je n'y arrive pas vraiment. J'ai eu beau voir un film de 2 heures sur la 4ème dimension (qui m'a certes, mieux fait comprendre certaines idées), ça ne vient toujours pas.
D'après ce film, certains mathématiciens et philosophes ( M.C. Escher par exemple), possédaient un très bon a priori de la 4ème dimension. Et il paraît aussi que certains physiciens très calés en RG parviennent à l'imaginer.
C'était donc pour savoir si c'était tout simplement possible de "penser" en 4 dimensions, ou si on ne pouvait qu'en avoir un a priori ?
Et si oui, y arrivez vous ?

Merci pour vos réponses
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je crois que personne ne "voit" en 4 dimensions. Nous ne sommes pas "faits pour".
Mais on peut "tricher". On peut extrapoler de 1, 2, 3 à plusieurs dimensions (Attention: ces extrapolations ne sont pas toujours mathématiquement valables: les propriétés souvent varient avec le nombre de dimensions).
Vous pouvez commencer par vous demander ce qu'est une sphère de 1 ou 2 dimensions.
Puis de ce qu'un habitant d'un monde de 1 dimension voit quand une "sphère" de 2 dimensions traverse son monde unidimensionnel.
Puis faire la même manip avec un observateur du monde à 2 dimensions qui voit une sphère de 3 dimensions traverser son monde. Et c'est maintenant la partie intéressante: qu'est-ce que vous verriez si une sphère de 4 dimensions traversait l'espace à 3 dimensions juste devant vous.

Mais une sphère c'est trop facile. Recommencez ces expériences avec un cube (de 1, 2, 3 et 4 dimensions).

Si vous avez lu de la divulgation sur la relativité, vous avez déjà vu des dessins de l'espace quatri-dimensionel en deux dimensions: une spatiale et l'autre temporelle. Donc, vous voyez: ce n'est pas moi qui ait commencé à "tricher".
Au revoir.

[Deedee81]

Salut,

EDIT croisement avec LPFR

Il est TRES difficile de penser à quatre dimensions. Notre cerveau n'est clairement pas câblé pour ça (c'est bien normal, l'espace visible a trois dimensions, et nous sommes le résultat d'une longue évolution dans ce monde).

Il y a plusieurs manière de faire.

Dans le cas d'un espace euclidien ou minkowskien à quatre dimensions (espace-temps sans courbure) :
- Représentation spatiale normale et le temps vu comme un film
- Représentation en perspective (ça j'y arrive, on peut en voir, si ça s'y trouve toujours, de tels objets en perspective au Palais de la Découverte, notamment l'hypercube).
- Représentations graphiques, limitant le nombre de dimensions spatiales. Par exemple avec une dimensions spatiale et le temps, on sait représenter ça sur une feuille.

Espace-temps courbe. Alors là, on est plus démuni. Et le fait que localement l'espace-temps soit de Minkowski et non pas euclidien ne simplifie pas les choses.
- Dans les cas les plus élémentaires. Vue du type perspective. C'est TRES limité (en tout cas, ans mon cas, je n'arrive à visualiser que des cas particulièrement élémentaires)
- Des coupes. Exactement comme pour les représentations graphiques dont je parlais plus haut.
- Des outils graphiques (généralement limitant aussi le nombre de dimensions spatiales). Typiquement on a les diagrammes de Schwartzchild, de Penrose et de Kruskal-Szekeres.

Et en dernier recours : les maths. Par dernier recours je ne veux pas dire qu'il vaut potasser ça en dernier Je parle de la visualisation. Si c'est impossible à visualiser, le dernier recours est "penser" en termes d'équations. Bon, rien n'oblige à faire ça de tête évidemment (je suis incapable de calculer de tête les 20 coefficients indépendants de la courbure pour une métrique quelconque), sur papier ça convient très bien.

Il est fort probable que d'autres arrivent à mieux visualiser que moi. Mais chaque individu est différent (après tout, après quarante ans d'échecs où je ne suis pas trop mauvais, je n'arrive toujours pas à faire une partie en aveugle.... alors qu'à l'examen d'entrée en polytechnique j'étais heureux comme un bossu d'avoir une question de géométrie dans l'espace car je les trouve plus facile n'ayant aucun problème pour visualiser. Allez comprendre. Le cerveau est bizarre et le mien doit avoir quelques défauts ).

Certains arrivent-ils à se représenter mentalement des variétés pseudo-riemanienne arbitraires ? Là, franchement, j'en doute. Mais on peut parfois être surpris.

[inviteb14aa229]

Bonjour à tous,

Il y a déjà eu pas mal de discussions sur ce sujet.
Il suffit de faire des recherches ici-même ou sur Wiki avec des mots comme : tesseract, hypercube, hypersphère, simplexe, cylindre cubique...

Voici quelques liens (mais il y en a bien d'autres) :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Tesseract

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypercube

http://fr.wikipedia.org/wiki/3-sph%C3%A8re

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypersph%C3%A8re

http://fr.wikipedia.org/wiki/Simplexe

http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperocta%C3%A8dre

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cylindre_cubique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cylindre_sph%C3%A9rique

http://forums.futura-sciences.com/ma...hypercube.html

http://forums.futura-sciences.com/as...jet-de-d4.html

http://forums.futura-sciences.com/ma...2-4d-vrai.html

http://forums.futura-sciences.com/as...-spatiale.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Il est TRES difficile de penser à quatre dimensions. Notre cerveau n'est clairement pas câblé pour ça (c'est bien normal, l'espace visible a trois dimensions, et nous sommes le résultat d'une longue évolution dans ce monde).

Par contre, les mathématiciens peuvent visualiser 11 dimensions, et facilement
Comment ? La réponse est ici, mais je la recopie pour vous éviter de cliquer :

-Un mathématicien et un ingénieur assistent à la conférence d'un éminent physicien concernant les théories de Kaluza-Klein sur les processus physiques intervenant dans les espaces de dimension 9.
Le mathématicien est assis et apprécie beaucoup la conférence, pendant que l'ingénieur fronce les sourcils et semble complètement embrouillé.
A la fin, le mathématicien et l'ingénieur,qui a un énorme mal de crâne, commentent la conférence.
L'ingénieur : "Comment fais-tu pour comprendre tout cela ?"
Le mathématicien : "Il suffit de visualiser le processus."
L'ingénieur : "Mais comment peux-tu visualiser un processus intervenant dans un espace de dimension 9 ???"
Le mathématicien : "C'est simple. D'abord tu visualises le processus en dimension n, et ensuite il suffit de prendre n=9."

@+

[Deedee81]

Salut,

Je la connaissais (pas de Futura) mais elle m'a toujours fait rire.

Le pire, c'est que c'est assez logique au vu de la dernière méthode de visualisation dont je parlais (penser en équations)

[inviteb14aa229]

Il y avait un bouquin très bien fait de Rudy Rucker La quatrième dimension (Seuil).
Je ne sais pas s'il est encore disponible, mon exemplaire date de 1985.
L'auteur se réfère beaucoup au livre d'Edwin A. Abott Flatland (autrefois chez Denoël - Présence du futur).

[invite6dffde4c]

Salut,

Je la connaissais (pas de Futura) mais elle m'a toujours fait rire.

Le pire, c'est que c'est assez logique au vu de la dernière méthode de visualisation dont je parlais (penser en équations)

Bonjour Deedee.
Je ne pense pas que "penser en équations" ait quelque chose à voir avec "visualiser".
"Visualiser" veut dire "sentir avec ses tripes".
Je visualise une bonne partie de la mécanique newtonienne, et rein du tout la relativité. Même s'il m'a fallu suivre des cours et apprendre des choses pour avoir mes diplômes. Entre avoir appris et "voir" il y a tout un monde.

Sur le monde en deux dimensions, je me souviens d'un article de Martin Gardner en Scientific American que j'ai lu il y a quelques 40 ans.
C'est très amusant d'imaginer le fonctionnement physique, la géologie, l'hydrographie et la physiologie dans un monde à 2 dimensions.
Pour commencer les effets qui s'estompent avec le carré de la distance, s'estompent maintenant avec la distance. Les ondes électromagnétiques ne sont pas possibles. Les êtres ne peuvent pas avoir une bouche avec un tube qui se termine dans un anus, car ils seraient séparés en deux morceaux. Il faut que ça sorte par le même endroit que ça rentre (comme la respiration pour nous). Même chose pour la circulation sanguine.
Et quand quelqu'un passe devant votre porte il faut qu'il saute l'entrée ou qu'elle soit fermée. car vous habitez, en réalité un trou sans fenêtres ouvertes.
Il paraît qu'à l'époque déjà, les gens avaient inventé même des serrures (à clé) bidimensionnelles.
Essayez déjà de penser aux charnières pour votre porte.
Cordialement,

[Deedee81]

Il est toujours disponible :
http://www.amazon.fr/quatri%C3%A8me-...2055166&sr=1-1

Je ne l'ai pas lu, mais j'aime bien cette série dans laquelle j'ai lu plusieurs excellents ouvrages (comme la théorie des quanta et les trois premières minutes de l'univers).

Paminode, merci pour toutes ces références.

[Deedee81]

Je ne pense pas que "penser en équations" ait quelque chose à voir avec "visualiser".
"Visualiser" veut dire "sentir avec ses tripes".
[...]

Je suis d'accord avec ton explication, c'est juste que je n'avais pas employer "visualiser" dans ce sens

Pour le monde en 2D il y a aussi un excellent article dans ArXiv (faudrait le retrouver).

[invite5b372a80]

Merci pour toutes ces réponses

Je prends note de chacun de vos conseils, et m'en vais d'ailleurs de ce pas acheter le livre conseillé.
Mais juste, en gros, la blague des n dimensions signifie qu'un matheux de haut niveau n'a pas de mal à penser dans un espace à 4 dimensions (ou plus), mais est-ce que cela veut dire qu'il est capable de "visualiser" cet espace, et donc le repère à 4 axes , et tout ce qui va avec ?
Et vous, arrivez-vous à visualiser un hypercube en 4D par exemple.

Merci à tous

Et juste, en réponse au premier message de LPFR, une sphère dans un espace 3D ne possède en fait que 2D, car il ne faut que deux coordonnées pour situer un point dessus. Une sphère dans un espace 4D serait donc en fait une sphère en 3D. Par exemple, si une sphère de dimension 2 (donc dans un repère de dimension 3) coupe un espace de dimension 2, on ne verra qu'un cercle (donc une ligne (=1D)) de rayon croissant, puis décroissant.

[inviteb14aa229]

Et vous, arrivez-vous à visualiser un hypercube en 4D par exemple.

Dans ma jeunesse, j'avais dessiné deux cubes sur du papier, je les avais découpés, et j'avais joint les sommets correspondants avec des allumettes.

[invite6dffde4c]

...
Et juste, en réponse au premier message de LPFR, une sphère dans un espace 3D ne possède en fait que 2D, car il ne faut que deux coordonnées pour situer un point dessus. Une sphère dans un espace 4D serait donc en fait une sphère en 3D. Par exemple, si une sphère de dimension 2 (donc dans un repère de dimension 3) coupe un espace de dimension 2, on ne verra qu'un cercle (donc une ligne (=1D)) de rayon croissant, puis décroissant.

Re.
Je n'ai pas l'impression que vous ayez compris les problèmes que je vous ai posés.
En particulier, quand je lis "une sphère dans un espace 3D ne possède en fait que 2D" je n'ai plus envie de continuer.
A+

[coussin]

Vous parlez de 4ème dimension spatiale ? Parce que en relativité, la 4ème dimension est le temps...

[invite5b372a80]

Dans ma jeunesse, j'avais dessiné deux cubes sur du papier, je les avais découpés, et j'avais joint les sommets correspondants avec des allumettes.

Merci pour cette réponse, je vais essayer.

Sinon, Deedee81, tu me parles de visualiser sous forme d'équations, mais pourrais-tu me donner un exemple, parce que je ne suis qu'en première, et je ne conceptualise pas tellement à quoi pourrait bien ressembler l'équation d'un tesseract dans un repère de dimension d'espace 4.
Si cela implique les nombres complexes, pas de pb, je connais (ou réussi à les concevoir en tout cas ).

[invite5b372a80]

Désolé pour le double post, j'ai essayé de modifier l'ancien message, mais cela faisait plus de 5 minutes ^^.
Voici donc le message modifié:

Merci pour l'astuce Paminode .

Salut coussin,
Oui, effectivement, je parle de dimensions d'espace (désolé de pas avoir précisé ^^ ).

Deedee81, vous me parlez de visualiser sous forme d'équations, mais pourriez-vous me donner un exemple, parce que je ne suis qu'en première, et je ne conceptualise pas tellement à quoi pourrait bien ressembler l'équation d'un tesseract dans un repère de dimension d'espace 4.

LPFR, je n'invente rien, je vous invite à regarder cette vidéo (à 0:10 environ)


et toute la série de vidéos (qui forme un film) si vous le souhaitez. C'est de ce film dont je parlais quand je vous disais avoir vu un film à propos des dimensions.

[invited9b9018b]

Bonsoir,

Merci pour cette réponse, je vais essayer.

Sinon, Deedee81, tu me parles de visualiser sous forme d'équations, mais pourrais-tu me donner un exemple, parce que je ne suis qu'en première, et je ne conceptualise pas tellement à quoi pourrait bien ressembler l'équation d'un tesseract dans un repère de dimension d'espace 4.
Si cela implique les nombres complexes, pas de pb, je connais (ou réussi à les concevoir en tout cas ).

Mathématiquement on peut faire pas mal de choses intéressantes en s'intéressant à l'ensemble des sommets d'un tesseract "unité" (pas tout à fait) (prenons par exemple l'expression de wikipedia) :

Qu'on peut généraliser au n-cube :
.
(Sachant que le 0-cube est un point, le 1-cube une arête, le 2-cube un carré, le 3-cube un cube et le 4-cube le tesseract).

Déjà on peut calculer le nombre de sommets : c'est le cardinal de , donc 2 x 2 x 2 ... n fois, c'est à dire 2ⁿ.
Pour un carré 2³ = 8, ce qu'on visualise bien.
Pour un tesseract, 2⁴ = 16 sommets.

Ensuite on peut calculer nombre d'arêtes d'un n-cube. Pour cela : on sait qu'à partir de chaque sommet on peut "tracer" n arêtes. (C'est géométriquement évident pour un cube).
Pour généraliser : si on a un sommet , alors pour obtenir l'arête [AB] il faut lui associer un autre sommet B distant de "1", donc B doit s'obtenir en ne changeant qu'une coordonnée de A. Par exemple la première :
.
Donc il y a bien pour chaque sommet n arêtes possibles.
Puisqu'il y a 2ⁿ sommets, il y a alors arêtes. (On divise par deux car une arête est commune à deux points).

On peut faire d'autres choses amusantes : remarquons qu'un sommet est une 0-face, une arête une 1-face, une face une 2-face, un cube une 3-face... On peut généraliser le raisonnement précédent et trouver par exemple que le tesseract possède 8 3-faces...

J'espère ne pas avoir dit trop de bêtises.
A+

[invite5b372a80]

Merci à vous lucas.gautheron.
Vous m'avez pas mal éclairé sur certains points que je trouvais assez sombres.
Je comprends mieux maintenant comment on peut généraliser avec les espaces/objets à n-dimensions.

[invite4b638e71]

Nous concevons tous un monde à 5 dimensions.

A chaque fois que j'inscris un espace statique (n'existant que par abstraction) dans une succession d'espaces dans le temps, et que je dois faire appel à un axe temporelle en plus des trois axes spatiaux pour me repérer, je fais appel mentalement à une quatrième "dimension cognitive".

A chaque fois que j'évalue les différents futurs possibles, ou à chaque fois que je songe à d'autres présents/passés qui auraient pu être (mais qui n'ont pas été), à chaque fois donc que j'exprime un espoir ou un regret, à chaque fois que j'utilise le conditionnel, je fais appel mentalement à une cinquième "dimension cognitive".


Ce qui est plus difficile d'accès est simplement la capacité d'abstraction, amenant à traiter les dimensions de façon totalement conceptuelle.

Les mathématiques ne permettent pas de "comprendre", elles permettent simplement de décrire. Le monde que les maths font comprendre n'est pas le monde dont on fait l'expérience, c'est un monde conceptuelle et conventionnelle (voir "imaginaire"), qui n'existe que par abstraction et qui est en quelque sorte "coupé" du monde subjectif dans lequel nous vivons.