Equation d'Euler

[tekila.byn]

Bonjour à tous,
Ceci est mon premier message sur le forum. Je souhaite tout d'abord remercier tous les membres qui répondent aux différents sujets (qui m'ont déjà beaucoup apporté).

Je ne sais pas si le sujet doit être placé dans la rubrique physique. Si ce n'est pas le cas, dite le moi, je le déplacerai.

Mon premier message est à propos de l'équation d'Euler en mécanique des fluides. Non sur la démonstration de cette équation, mais plutôt sur une étape de celle-ci.

Les équations d'Euler décrivent la dynamique des fluides incompressibles non visqueux. Elles régissent le mouvement d'un fluide sous l'influence du champ de pression. Considérons un fluide incompressible contenu dans un volume. Notons le champ de vitesse du fluide, le champ de pression et  la masse volumique. On s’intéresse à la dynamique d'une particule de position .

Sa vitesse est alors :



Son accélération est :


Par le principe fondamental de la dynamique, on a :


et donc :



Mon problème se situe entre l'équation et .
Je n'arrive pas à comprendre comment obtient-on à partir de .

Quelqu'un aurait-il une idée pour me dépanner?

Merci d'avance.
Tek
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[kalish]

Oui, il faut bien voir la différence entre une ligne de courant et la position/vitesse/accélération d'une particule. Sur le plan mathématique, c'est simplement que tu as une fonction qui ne dépend que de t à gauche, et de x et t à droite.
Donc si tu fais la différentielle de u tu obtiens

Où il s'entend que était un vecteur position à trois composante et
si tu divises maintenant le tout par dt tu peux retrouver ton équation, puisque

[tekila.byn]

Merci de ta réponse.

Je pense que je n'ai pas bien compris l'expression .

Je suis tout à fait d'accord avec toi. J'en étais arrivé au même point. Sauf que je bloque.





On divise par dt


On simplifie le dernier membre


Pour être plus claire:





L'accélération est de la forme:

ou encore




Le dernier membre de est le même que celui de et .



Il reste donc à montrer que




Seulement, je n'y arrive pas et ce malgré l'expression de .

Avez vous des idées?

Merci d'avance.
Tek

[kalish]

Ah oui c'est bizarre parce que c'est le plus facile. Déjà traiter le nabla comme un vecteur à qui on applique un produit scalaire ça relève parait-il plus de l'astuce que des véritables maths, il y a des relations d'analyse vectorielle entre produits vectoriels, produits scalaires etc qui ne sont pas vraies si on prend le nabla se comportant comme un vrai vecteur, c'est un opérateur différentiel, et si on lui met une flèche ou en gras, c'est qu'il a une direction/orientation comme un vecteur.
Mais dans ce cas là ça marche, alors imaginons que c'est un vrai vecteur, qui a donc 3 composantes, on a aussi le vecteur vitesse qui a trois composantes (je vais oublier le u(x(t),t), tu m'excuses, et donc:

Mon nabla "peut" s'ecrire
maintenant la relation que tu as qui te pose problème fait intervenir un produit scalaire.
En "multipliant" mes deux expressions je tombe sur
car c'est à dire 1 quand i=j, et 0 sinon.
Retiens que c'est surtout une façon condensée d'écrire la chose.

[A voir en vidéo sur Futura]