Centre de masse

[invite234d9cdb]

Bonsoir !

Je n'ai pas vraiment trouvé de lien intéressant et mon cours de physique sur le sujet est à proprement parler incompréhensible (je ne serai pas le 1er à le remarquer ).


On va faire simple : comment allez-vous calculer le centre de masse d'une pyramide à base carrée ? On va poser que sa base est de surface B² et sa hauteur est H.

Intuitivement je vois déjà que la position x et y du centre de masse est 0.

Comment va-t-on calculer la position z ? Je sais que ça concerne une histoire de découper la pyramide en des tas de petits morceaux et de les additionner via les intégrales. Mais je ne sais pas pourquoi on fait ça ni comment...
-----

[invitea3eb043e]

Le plus simple est de prendre l'origine des z au sommet de la pyramide.
On décompose alors la pyramide en petits carrés parallèles à la base à la distance z du sommet et de hauteur dz.
On voit facilement que le côté du carré est ***, son volume est dV = ***** (à toi)
Le centre de masse se calcule alors comme l'intégrale de z*dV de 0 à H divisée par le volume total.

[invite234d9cdb]

La surface de chaque carré sera b² et le volume b² x dz
Mais je ne comprends pas très bien :

"On décompose alors la pyramide en petits carrés parallèles à la base à la distance z du sommet et de hauteur dz."

Pourquoi fait-on ça à la distance z ? La distance z c'est la hauteur H en fait ?

"Le centre de masse se calcule alors comme l'intégrale de z*dV de 0 à H divisée par le volume total."

Tu pourrais développer cette dernière ligne ? z représente quoi exactement ? Tu fais la sommes de tous les z par pas de dV de 0 à H et tu divises par le volume total : je ne comprends en quoi ça nous donne le centre de masse -_-

[invite6b1e2c2e]

La surface de chaque carré sera b² et le volume b² x dz
Mais je ne comprends pas très bien :

"On décompose alors la pyramide en petits carrés parallèles à la base à la distance z du sommet et de hauteur dz."
_-

Non ! En fait, il faut regarder la surface du carré à la hauteur z : Attention, cela dépend forcément de z. En haut de la pyramide, ça doit faire zéro !

__
rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On reprend sans s'énerver.
La hauteur H est une constante, la distance z est une variable comptée à partir de la pointe (plsu simple).
Si la section était constante, le centre de gravité serait au milieu, mais ce n'est pas le cas, le centre de masse sera déplacé vers les zones "lourdes" = de forte section = la base.
Comme c'est sûrement écrit dans ton cours, le centre de masse est le barycentre (pléonasme) des éléments qui constituent le solide. D'où besoin de calcul d'une intégrale.
On tire parti des symétries de la pyramide en coupant la pyramide par des plans horizontaux situés à la distance z du sommet.
Cela crée des carrés de côté B*z/H (OK ?) et de hauteur dz, donc de volume (B*z/H)² dz.
Le barycentre se calcule (voir le cours) comme l'intégrale de 0 à H de z*(B*z/H)² dz divisée par le volume total qui est l'intégrale de 0 à H de (B*z/H)² dz.

Ca donne la position par rapport à la pointe, bien évidemment.

[invite234d9cdb]

Bon on a bien avancé car j'ai bien compris 75% de ce que tu as expliqué

La pyramide a une hauteur H et une base B²
On découpe la pyramide en carrés de hauteur dz et de surface b² variable.

Pour exprimer cette variation de la surface, on se sert de Thalès et on voit que :


Dès lors H/B=z/L Donc L = Bx(z/H)
où z est paramètre.
Si on fait la somme de tous ces carrés en faisant varier z de 0 à H, on obtient le volume de la pyramide (tout à fait logique).


Mais je ne comprends pas encore pourquoi on obtient le centre de masse en ajoutant encore z dans l'intégrale selon z*(B*z/H)² ni pourquoi on divise par la masse totale...

[invitea3eb043e]

Ce n'est rien d'autre que la formule du barycentre.
Si on a 2 masses m1 et m2 disposées sur une droite en x1 et x2, alors :
xG = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2)
Ici une intégrale va remplacer la somme.

[invite234d9cdb]

J'obtiens pour réponse que le barycentre (ou Centre de masse donc) est à 3/4 x H par rapport au sommet de notre pyramide...

Je vais faire les calculs pour une pyramide à base triangulaire, ça me permettra de voir si j'ai pigé

[invite234d9cdb]

Question : avec ta formule pour la pyramide à base carrée j'obtiens au final une très esthétique expression :

Ca ne simplifie pas une expression pareille ?

[invite234d9cdb]

Pour la pyramide à base triangulaire, je trouve que le centre de masse est à 3H/8 du sommet.

Mais ici il y a un problème c'est que si on réflechit, notre pyramide doit parfaitement être droite... Admettons que la pyramide n'est pas parfaitement droite, est-ce juste de dire que son centre de masse sera à 3H/8 du sommet selon la droite qui base par le sommet et qui coupe le centre de masse de la base ?

[invite234d9cdb]

Mes excuses c'est à 3/4 h du sommet pour la pyramide à base triangulaire.

[invitea3eb043e]

C'est bien les 3/4 et non les 3/8.
Il n'y a aucune raison de trouver des formules différentes pour une base carrée ou triangulaire (un carré, c'est la juxtaposition de 2 triangles).
Si la pyramide est de travers, ça ne change rien, ce qui compte, c'est que les différentes tranches soient bien homothétiques de la base, ce qui est toujours le cas.

[invite234d9cdb]

Donc dans le cas ou la pyramide est de travers, le centre de masse est toujours à 3/4 du sommet, mais plus sur l'axe vertical, mais sur l'axe qui va du sommet au centre de masse de la base ?


Autre question (qui n'as plus avoir directement avec ma compréhension du calcul des centres de masse) : Je dois calculer le centre de masse d'une demi sphère (d'un hémisphère).

J'ai du mal à trouver la relation qui lie R, le rayon de la sphère, r le rayon d'un disque dans la sphère et z le paramètre (et H la hauteur mais qui dans ce cas vaut bien entendu R).

Je ne peux pas poser que r/R=z/R étant donné que r va au début augmenter de valeur très vite puis lentement alors que z augmente linéairement...

[invite234d9cdb]

Autre problème : on demande de calculer le centre de masse d'un fil qui est courbé pour former un demi-cercle dont on donne le rayon, R

Donc la formule c'est 1/V x l'intégrale de y dv
Dans mon cas le volume c'est jamais que la longueur donc pixR

Il faut que j'exprime la longueur "r" (pixr = dv) en fonction du paramètre y qui va augmenter de 0 à R.... Je suis un peu perdu là...

[invitea3eb043e]

Je dois calculer le centre de masse d'une demi sphère (d'un hémisphère).

J'ai du mal à trouver la relation qui lie R, le rayon de la sphère, r le rayon d'un disque dans la sphère et z le paramètre (et H la hauteur mais qui dans ce cas vaut bien entendu R).

Je ne peux pas poser que r/R=z/R étant donné que r va au début augmenter de valeur très vite puis lentement alors que z augmente linéairement...

Le calcul est sensiblement le même, mais il vaut mieux prendre comme variable l'angle par apport à l'axe ou à l'équateur (latitude). On découpe la sphère en morceaux entre alpha et alpha + delta alpha.
questions : que vaut le rayon pour alpha ? que vaut la hauteur pour alpha, puis pour alpha + delta alpha ?
Ca donne une sorte de cylindre dont on calcule le volume.
On somme et hop, comme avant !

[invite234d9cdb]

J'ai finalement trouver la relation entre z, R et r
En tout cas merci pour ton aide je sais faire mes calculs de centre de masse maintenant