Navigation à l'estime en relativité restreinte

[Amanuensis]

Bonsoir,

Pour les fanas du calcul et des jumeaux de Langevin, voilà la petite question suivante:

Soit un voyageur muni des instruments, réputés parfaits, tous locaux, suivants:

- Un ensemble de gyroscopes à effet Sagnac indiquant continuellement une direction fixe par rapport aux étoiles ;

- Une horloge indiquant la datation propre tau ;

- Un accéléromètre trois axes, indiquant un vecteur accélération a(tau), référencé aux étoiles fixes grâce au gyroscope.

Le voyageur part de l'événement A à tau=0, et on se contentera dans un premier temps d'une trajectoire "linéaire", i.e., l'accéléromètre indique soit 0 soit un vecteur dans une direction fixe selon le gyroscope ; autrement dit, on peut prendre pour a(tau) un réel. (Le cas général en question subsidiaire...)

Peut-on, à partir des mesures disponibles (essentiellement a(tau)), calculer en permanence la durée maximale (ou ds² de la ligne droite, pareil) entre l'événement A et la position courante ?

Si oui, indiquer comment. Si non, proposer des données complémentaires permettant le calcul...

Le cadre théorique est la RR pure, espace-temps plat de Minkowski.

(En question hors-d’œuvre, dont la réponse devrait être immédiate à qui la RR est un peu familière--ou pour les as du raisonnement dimensionnel --, si l'accéléromètre indique continuellement 0--trajectoire uniforme, donc--la réponse est oui ; quelle est la valeur ?)

Cordialement,
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[invite06459106]

Bonsoir,

(En question hors-d’œuvre, dont la réponse devrait être immédiate à qui la RR est un peu familière--ou pour les as du raisonnement dimensionnel --, si l'accéléromètre indique continuellement 0--trajectoire uniforme, donc--la réponse est oui ; quelle est la valeur ?)

Cordialement,

Comme il est plus logique de commencer le menu par le hors-d'oeuvre...
Le vecteur accéleration est égale à la variation du vecteur vitesse par rapport à la durée, donc si le vecteur A est nul, la durée sera égale au vecteur vitesse.
N'étant pas familier avec la RR, et encore moins avec le raisonnement dimensionnel....il est très probable que ma réponse soit hors-sujet, et n'aura que l'interet de faire un petit up...
pour le reste, je vais déja attendre de digérer ce hors-d'oeuvre

Cordialement,

[Amanuensis]

la durée sera égale au vecteur vitesse.

Bonjour,

Comment une durée peut-elle être égale à un vecteur vitesse ?

[invite06459106]

Bonjour,

Comment...

Simplement en disant nawak comme mon post précedent...
Je voulais dire que la valeur de la durée est égale à la valeur du vecteur vitesse...ce qui est aussi du n'importe quoi...bref, ma povre logique me dit que si l'accélerometre indique 0, c'est que sur une durée x, il n'y a pas de variation du vecteur vitesse...et j'en ai déduis ma betise, et je ne m'en rends compte que maintenant....
J'espere lire d'autres intervenants, ça m'apprendra peut-etre à reflechir.
Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[tranquillos]

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Pour le hors-d'oeuvre, la réponse n'est-elle pas à lire directement sur le cadran de l'horloge?

merci

[Amanuensis]

Ben oui...

On sait donc qu'il existe un cas où on peut calculer cette durée "en ligne droite" avec les seuls instruments indiqués.

[tranquillos]

Pour le parcours linéaire avec a(tau)>0, et levant juste un petit doigt timide :

Il faut que l'accélération principale ait eu lieu le plus près possible de la position à laquelle se fait l'estimation.
Mais

calculer en permanence la durée maximale entre l'événement A et la position courante ?

En permanence signifie aussi par avance, et donc également pour les datations à venir.
Ca tord un peu plus le cervelas.
Je propose, à la hussarde, que la durée intégrale soit et sera (tout-à-la fois) la plus forte si l'accélération est au final la plus progressive possible, donc que l'accéléromètre a montré une mesure constante. Peut-être par l'adjonction mécanique d'un oscilloscope, qui montrera une courbe en forme de droite, dorénavant à suivre ?

[Amanuensis]

Il faut que l'accélération principale ait eu lieu le plus près possible de la position à laquelle se fait l'estimation.

Je ne comprends pas. Je fais l'approximation que les trois instruments peuvent être considérés comme un seul solide matériel infiniment petit.

En permanence signifie aussi par avance, et donc également pour les datations à venir.

Je voulais dire à tout moment B du voyage, connaissant uniquement ce qu'ont indiqué les instruments entre A et B.

[Amanuensis]

Correction:

- Un ensemble de gyroscopes à effet Sagnac indiquant continuellement une direction fixe par rapport aux étoiles ;

lire:

indiquant continuellement deux directions fixes par rapport aux étoiles, faisant un angle entre elles de l'ordre de pi/2.

(Pas important pour le cas "linéaire", mais nécessaire pour le cas général.)

[tranquillos]

Je ne comprends pas. Je fais l'approximation que les trois instruments peuvent être considérés comme un seul solide matériel infiniment petit.

Je me suis très mal exprimé.
Je vais essayer de mieux formuler "Il faut que l'accélération principale ait eu lieu le plus près possible de la position à laquelle se fait l'estimation" par : La durée propre la plus longue entre A et B est celle qui aura conservé le plus longtemps les conditions du hors d'oeuvre, afin que le carré de la distance restante à partir de début de l'accélération soit le plus faible possible. Donc dans ce cas l'accéléromètre montre la valeur la plus forte possible et seulement sur la toute fin du parcours.

Je voulais dire à tout moment B du voyage, connaissant uniquement ce qu'ont indiqué les instruments entre A et B.

C'est noté. Je reste alors à la proposition ci-dessus, et la propositon antérieure d'une accélération constante depuis le début du voyage n'a plus lieu d'être.

Merci.

[pelkin]

Bonsoir,

La seule chose dont je sois sûr, en temps que vieux "voileux", c'est que pour une sortie en mer, je préfère la faire sans vous ... j'aurais la certitude de partir mais je ne serais certain ni d'arriver ni de revenir

[Amanuensis]

Je vais essayer de mieux formuler "Il faut que l'accélération principale ait eu lieu le plus près possible de la position à laquelle se fait l'estimation" par : La durée propre la plus longue entre A et B est celle qui aura conservé le plus longtemps les conditions du hors d'oeuvre, afin que le carré de la distance restante à partir de début de l'accélération soit le plus faible possible. Donc dans ce cas l'accéléromètre montre la valeur la plus forte possible et seulement sur la toute fin du parcours.

Hmm... Il n'y a pas de notion de "position" dans le problème posé. A est un événement, et le dispositif pris a un moment donné B est un autre événement. AB est un intervalle de genre temps, qui a une "longueur", en fait une durée maximale donnée par la métrique. C'est valable quels que soient les mouvements du dispositif.

Peut-être utile de passer par une "entrée" après le hors d’œuvre!

On a vu que si l'accéléromètre indique continuellement 0, la réponse est tau, la durée depuis A indiquée par l'horloge.

Prenons maintenant une accélération "ponctuelle", très courte, et telle que l'intégrale pendant la petite durée soit , et ce à l'instant (par "instant", je réfère en fait à l'événement pour le dispositif correspondant à l'indication correspondante de l'horloge), soit l'événement C. Que vaut la durée max pour ?

Pour comprendre ce que signifie ce cas, il existe un "sédentaire" potentiel qui rencontre le dispositif en A avec une certaine vitesse relative puis en B avec une autre vitesse relative, et qui aura suivi entre A et B une trajectoire uniforme de durée propre la durée max en question.

C'est un calcul du cas des jumeaux de Langevin "à l'estime", le sédentaire n'étant que potentiel. L'accélération ponctuelle correspond au "demi-tour" (qui n'est vécu comme tel dans la présentation usuelle uniquement à cause de la connaissance de l'existence du "sédentaire" ; dans le cas présenté ici, c'est une accélération indiquée par l'accéléromètre (et ressentie par l'observateur), rien d'autre).

(Question subsidiaire: quelles sont les vitesses relatives ?)

PS : Le cas d'une accélération ponctuelle reste simple. C'est avec plusieurs que cela devient intéressant ; et le cas continu encore plus...

[tranquillos]

C'est un calcul du cas des jumeaux de Langevin "à l'estime", le sédentaire n'étant que potentiel.

Bon, j'vais m'accrocher, le flou qui traverse mon petit pois n'est que potentiel...
N'empêche, va me falloir un sacré bout de temps pour mouliner tout ça, et par les chemins de traverse ainsi ouverts, c'est pas tout de suite que je vais faire surface.
Ben quoi, les poteaux, devant, là, y a un très gros avec qui j'ai voulu faire le kéké. Je vais profiter du K.o. pour réfléchir. Et pis dormir...dormir...
Mais allez-y, vous aussi, vous allez voir si c'est si facile, au lieu de rigoler. Parceque jusqu'ici, vous ne vous l'avez pas énervé...va falloir vous y coller un peu.

[tranquillos]

Bonjour,

Peut-on, à partir des mesures disponibles (essentiellement a(tau)), calculer en permanence la durée maximale (ou ds² de la ligne droite, pareil) entre l'événement A et la position courante ?
Si oui, indiquer comment.
Le cadre théorique est la RR pure, espace-temps plat de Minkowski.

J'ai pansé mes plaies, j'y reviens. Le cadre théorique étant l'espace-temps plat de Minkowski, a(tau) ne joue pas sur l'horloge embarquée, lue par le conducteur embarqué (on a tout loisir de penser que tous les éléments constituant l'horloge sont accélérés simultanément, celle-ci ne contient alors pas d'accéléromètre dans ses composants). La durée maximale entre l'événement A et la position courante est alors quoiqu'il arrive celle que l'horloge embarquée indique. (dans le cadre théorique de l'espace-temps plat de Minkowski).
Cordialement.

[tranquillos]

celle-ci ne contient alors pas d'accéléromètre dans ses composants).

Ou, pour essayer de le dire mieux : chaque interaction entre ses composants étant un accéléromètre potentiel, toutes indiquent zéro, quelque soit a(tau).

[Amanuensis]

La durée maximale entre l'événement A et la position courante est alors quoiqu'il arrive celle que l'horloge embarquée indique. (dans le cadre théorique de l'espace-temps plat de Minkowski).

Le "paradoxe" des jumeaux indique le contraire. Le jumeau voyageur, celui qui subit une accélération par opposition au sédentaire qui par hypothèse n'en subit pas, lit une valeur de tau plus petite que l'équivalent pour le sédentaire. Le trajet du sédentaire a donc une durée plus grande (et c'est la durée maximale).

[invite06459106]

Bonjour,
A l'instant ta , évenement A perçu par le sédentaire, en t'amesuré peut-etre en "avance" ou en "retard" de tau par rapport aux évenement A et B, alors t'=t+tau, on fait pareil pour l 'instant tb et t'bmesuré pour l'evenement B.
Je sais, c'est brouillon, et mal formulé, en plus d'etre surement à coté...mais arrive pas à exprimé plus proprement ce que je pense....(avais envie de dire aussi, que la durée max serait la longueur max de l'intervalle de genre temps, comme dis plus haut, et essayer de "positionner" le sédentaire en mesurant des durées(son "avance ou retard" tau), pour avoir l'heure exacte, et trouver la distance séparant A de B...mais je crois que c'est encore plus bete que ma 1ére proposition...)

Cordialemlent,

[Amanuensis]

C'est plus simple d'oublier le sédentaire et de calculer directement la longueur de l'intervalle AB.

En prenant un système de coordonnées tel que le dispositif suive la trajectoire avant , et tel que le dirac d'accélération soit selon l'axe des x, la trajectoire pour sera uniforme, et d'équation horaire avec . En notant , la durée maximale T est donc telle que


Ce qui se réécrit


ou encore


Ce qui montre que le décalage, mesuré entre les carrés des durées, est le produit .

La difficulté principale est de relier à tel que mesuré par l'accéléromètre.

[invite06459106]

C'est plus simple d'oublier le sédentaire et de calculer directement la longueur de l'intervalle AB.

Comme c'était mentionné, je me suis dis que c'était un indice permettant de se poser le problème autrement(d'une façon plus simple...).
Sinon, merci pour la démo, mais je ne la comprends pas pleinement, à cause de cela:

le dirac d'accélération

.
Déja, je ne sais pas ce que c'est....(pas eu le temps de chercher non plus...) mais surtout, qu'est-ce qui amène à s'en servir? je pense bien qu'il y a forcément une justification, mais laquelle?(à voir avec l'impulsion?)Pourquoi choisir cet outil et pas un autre? bref...

et un autre truc que je ne saisis pas :

Le tau ²/²...

Merci d 'avance pour les réponses, ou en renvoi vers un lien si trop long ou trop hs.

La difficulté principale est de relier à tel que mesuré par l'accéléromètre.

Je ne sais meme pas par quel bout prendre le problème(mais je vais essayer, et aurais besoin d'un indice après plantage quasi-sur...).

[Amanuensis]

qu'est-ce qui amène à s'en servir?

L'accélération, vu du dispositif, est une fonction . Si on prend cette fonction comme valant 0 sauf pendant une durée extrêmement courte, on peut la modéliser comme une distribution de Dirac, , caractérisée juste par l'instant où elle se passe () et son intégrale ().

Le tau ²/²...

C'est au carré.

Je ne sais meme pas par quel bout prendre le problème(mais je vais essayer, et aurais besoin d'un indice après plantage quasi-sur...).

Pour la relation entre a et , je ne suis pas sûr de la réponse.

[Amanuensis]

Après consultation, extérieure à FS, d'autorités, c'est , et .

Dans l'autre fil j'ai donné une formule différente, fausse donc ; mais pour les petites valeurs l'indication était correcte, la différence des carrés des durées est bien approximativement fonction de

[invite06459106]

La difficulté principale est de relier à tel que mesuré par l'accéléromètre.

Bon, je propose un truc dont je ne sais la pertinence, pour relier les deux, vu qu'il y a un gyroscope...peut-on s'en servir?
La variation de la vitesse est équivalent à un changement d'angle, une rotation dans l'espace-temps de Minkowskisi(si je ne dis pas de betise). Au moment de l'accéleration, l'intervalle de genre espace et l'intervalle de genre temps("longueur et durée" ) sont "raccourcies" (dans le sens de mon déplacement) car elles dépendent de mon inclinaison par rapport à l'évenement, alors si je connais l'angle grace au gyro, p'tete que je peux relier les deux.....
Est-ce une voie à suivre?
Si non, vers ou aller?
Cordialement,
Ps: suis étonné du peu de personne à table, mais vais pas m'en plaindre, ça laisse le temps, et il m'en faut...m'enfin, viendront peut-etre pour le dessert)

[Amanuensis]

La variation de la vitesse est équivalent à un changement d'angle, une rotation dans l'espace-temps de Minkowskisi(si je ne dis pas de betise).

C'est correct, au détail près que c'est un "angle hyperbolique", d'où les sinh et cosh qui apparaissent.

Au moment de l'accéleration, l'intervalle de genre espace et l'intervalle de genre temps("longueur et durée" ) sont "raccourcies" (dans le sens de mon déplacement) car elles dépendent de mon inclinaison par rapport à l'évenement, alors si je connais l'angle grace au gyro, p'tete que je peux relier les deux.....
Est-ce une voie à suivre?

Je ne pense pas. En 4D, l'angle spatial (ce qu'on retrouve avec le gyroscope) est indépendant de "l'angle hyperbolique".

Le gyroscope mesure une vitesse angulaire spatiale, , avec une orientation dans l'espace, et l'accéléromètre mesure une "vitesse angulaire hyperbolique", , elle aussi avec une direction dans l'espace, mais les deux mesures sont indépendantes.

Dans les deux cas la direction dans l'espace est l'orthogonale à la fois au plan spatial laissé globalement invariant et à la 4-vitesse. Par exemple, une rotation d'axe z laisse globalement invariant le plan (x,y), et une accélération de direction z laisse aussi invariant chaque direction dans le plan (x,y).

D'une certaine manière on a six "gyroscopes unidirectionnels", trois pour les angles spatiaux, et trois (les accéléromètres dans une direction donnée) pour l'angle "hyperbolique", les six mesures étant indépendantes.

[invite06459106]

Pour la relation entre a et , je ne suis pas sûr de la réponse.

N'ayant pas d'idées, est-ce possible d'avoir la (éventuellement bonne) réponse?
Surtout la façon d'y arriver.
Merci.
Cordialement,

[Amanuensis]

La réponse est dans le message #21.

Je vais recopier dans mes termes la méthode qu'on m'a proposée pour y arriver. C'est juste une variation sur des calculs qu'on fait par exemple pour les coordonnées de Rindler.

Dans la suite c=1 et n'est pas indiqué.

Prenons comme référentiel celui relativement auquel le dispositif est immobile avant le "delta d'accélération", et le système de coordonnées pour ce référentiel tel que le mouvement est entièrement dans le plan (t, x).

On note le module de la vitesse du dispositif dans le référentiel. Dans le référentiel tangent, l'accélération propre est alors (0,a,0,0) ce qui transformé dans le référentiel de base donne , avec .

De par la définition de l'accélération propre l'équation 4D du mouvement est , dont on tire (première coordonnée) . Il s'agit d'une équation différentielle dont une solution est une fonction , dépendant de . Cela donne bien ce qui nous intéresse.

Pour simplifier l'équation, on va introduire le paramètre tel que , alors et , l'équation devient



avec comme condition initiale.

C'est une relation générale, on va maintenant l'appliquer au cas particulier d'un dirac d'accélération, noté informellement . L'intégration donne immédiatement donc .

Après l'accélération, les composantes dans le référentiel choisi de la 4-vitesse du dispositif sont alors .

Ce qui montre au passage que ma notation a été très mal choisie, aurait été de meilleur aloi.

[invite06459106]

Ok, merci bien pour l'explication de texte, c'était nécessaire(pour moi...).
Cordialement,

[Amanuensis]

Pour faire le point où j'en suis dans ma démarche, la réponse à la question initiale me semble être oui.

à savoir, en RR les données indiquées par l'horloge (temps propre), un gyromètre [je renomme l'objet...] (le "vecteur" vitesse angulaire instantanée , et un accéléromètre (le "vecteur" [je renomme là aussi]), suffisent à se repérer dans l'espace-temps. Ce sont des données "propres", mesurables localement sans référence extérieure, ayant une signification physique indépendante de tout référentiel ou système de coordonnées.

Une application "pratique" aux jumeaux est la suivante: si les jumeaux, après une rencontre initiale où ils ont pu mettre en correspondance leurs date, orientation spatiale et vitesse relative, se communiquent l'un à l'autre ces données mesurées localement depuis cette rencontre initiale, avec une méthode de communication ne leur donnant aucune autre information exploitable (e.g., non utilisable pour "synchroniser"), alors ils peuvent prédire qu'ils vont entrer en collision. Autrement dit, chacun, dans une boîte fermée ne permettant aucune mesure par rapport à des repères extérieurs (y compris l'autre), peut prédire que s'ils sortent de leur boîte ils verront ou non l'autre passer tout proche.

C'est valable uniquement en RR (et aussi en classique...), ou plus généralement quand la métrique future est parfaitement connue. Ce qui n'est pas le cas en pratique...

[Amanuensis]

Et aussi, pour le résumé, cette formule que je trouve intéressante puisqu'elle ne met en relation que des grandeurs mesurables localement, qui résume le cas le plus simple de jumeaux



Avec

: durée propre du voyage du jumeau A (celui dont l'accéléromètre indique continuellement 0 (trajectoire uniforme)) ;

: durée propre du voyage de B avant changement de vitesse

: durée propre du voyage de B après changement de vitesse

: le changement de vitesse de B, tel que mesuré par l'accéléromètre de B.

L'égalité est en première approximation, pour est << 1.

[invite6754323456711]

avec une méthode de communication ne leur donnant aucune autre information exploitable (e.g., non utilisable pour "synchroniser"),

D'un point de vue mathématique peut on expliciter une bijection entre les deux lignes d'univers ?

Patrick

[Amanuensis]

Le parallèle avec un triangle euclidien est éclairant.

La question est la même que faire une bijection entre la ligne ABC et le côté AB d'un triangle de sommets A, B et C.

Il y en a plein, la question est s'il y en a une ayant un sens intéressant. Et en particulier un sens physique dans le cas des jumeaux.

C'est exactement ce que décrit J. Baez sur la page : http://math.ucr.edu/home/baez/physic...twin_vase.html

Tu y trouveras le triangle en question, et différentes bijections... (Manque d'ailleurs la plus simple, celle correspondant au référentiel du sédentaire.)