Bac – Relativité restreinte – Paradoxe des jumeaux

[invitea29d1598]

Bonjour

Quelques remarques en passant :

géométrie contre algébre?

Il n'y a aucune incompatibilité entre un point de vue algébrique et un point de vue géométrique. La géométrie et l’algèbre sont 2 aptitudes mentales complémentaires de notre cerveau. Selon les situations c'est l' une ou l'autre des approches qui est la plus commode. S'agissant de la RR c'est de loin l'approche géométrique qui est la plus commode et je vais le démontrer (en raccourcis) sur l'exemple du fameux paradoxe des jumeaux.

attention :
* la commodité est une notion personnelle...
* ce que l'on appelle "algèbre" dans ce cadre-là est différent de ce dont tu parles... en lisant ce terme dans ce contexte on penserait plutôt à l'algèbre de Lie du groupe de Poincaré...

Remarque 1: Il n'est fait allusion a aucune notion de repères fut-il galiléen.

si tu parles d'observateur il y a intrinsèquement un référentiel, et inversement... d'ailleurs essaie de définir la métrique de Minkowski sans définir au préalable celle de référentiel...

Le jumeau voyageur comme le jumeau sédentaire mesure chacun la longueur de leur trajectoire respective. Il n'y a pas de dilatation du temps au sens stricte (on pourrait a la rigueur dire que tout se passe comme si......). De même il n'y a pas de temps impropre.

tout ça n'est que du vocabulaire. Tu n'insistes pas sur le point principal : il n'y a pas LE temps il y a DES temps.

Remarque 2: La personne qui critique les manuels scolaires avec une approche algébrique est obligé d'expliquer que la dilatation du temps du jumeau voyageur s'explique par un changement de repère galiléen lors du retour sur Terre là ou certains y voient une accélération. C'est l'exemple non seulement d'une impasse mais d'une faute conceptuelle grave car les repères galiléens n' ont rien a voir avec le problème.

ils ont au contraire tout à voir : la métrique de Minkowski n'a cette forme que pour les observateurs inertiels...

Remarque 3: Pour éviter l'erreur conceptuelle précédente il suffit de comparer 2 jumeaux voyageurs avec des trajectoires exotiques, les temps propres seront nécessairement différents et la différence n'est pas liée en aucune façon aux accélérations.

oui et non : sans accélération tu n'as que des trajectoires rectilignes uniformes...

La métrique de minskovski

.

En adoptant le point de vue géométrique tout est simple sauf l'introduction de la métrique de minkovski.

donc en clair ça ne simplifie pas les choses au bout du compte (je joue l'avocat du diable ici : la relativité restreinte est effectivement géométrique par nature... reste que la physique ce n'est pas que des équations comme tu le sais très bien... et du coup parler de "plus simple" est extrêmement relatif...)

A- Métrique familière:

dl2= dx2+dy2

Apres changement de repère galiléen:

dl2= dx'2+dy'2

c'est faux... fais vraiment le calcul et tu verras que tu as zappé une subtilité

bien sur on observe que le temps est ici une coordonnée d'un point, temps coordonnée qui lui même dépend du repère choisit (qui n'a donc rien a voir avec le temps propre qui est la mesure d'une longueur d'une courbe et donc propriété intrinsèque).

le temps propre n'est défini que le long d'une courbe du genre temps.... il correspond donc à un observateur et donc à ce que tu nommes "un temps coordonnée"... c'est en RG que la notion de "temps coordonnée" a vraiment un sens... en RR tout temps est un temps propre

Les formules de passage d'un système de coordonnée a un autre sont les transformations de Lorentz.

pour les observateurs inertiels uniquement... donc si tu prends deux lignes d'univers quelconques tu ne sais rien dire sur ce qu'observent les personnes qui suivent ces lignes...

Par ailleurs on peut admettre que la métrique de Minskovski et les transformations de Lorentz sont cachées dans les lois de l'électromagnétisme (Equations de maxwell).

en disant cela tu sautes à pieds joints dans l'un des trucs que l'on reproche aux présentations de la RR faites par les gens qui ne l'ont jamais vraiment étudiée (je ne dis pas que c'est ton cas, hein) : tu donnes à l'électromagnétisme un rôle privilégié qu'il n'a que pour raisons "pratiques/historiques". La constante "c" n'est pas la vitesse de la lumière. C'est une constante de structure de l'espace-temps (la "vitesse de la causalité" à la rigueur même si le plus "correct" c'est de dire que "c" n'existe pas car c=1 en unités "naturelles")

En bref La démarche géométrique est non seulement plus compréhensible que de partir du postulat de la constance de la vitesse de la lumière mais aussi nous introduit au pied de la théorie des représentations des groupes.

euh... mais tu pars de l'invariance de c pour avoir la métrique de Minkowski... ça se mord la queue là...

Remarque historique: Lorsque Minskovski a sorti son papier en 1908 Einstein s'est moqué de lui en disant que les mathématiciens compliquent tout. Einstein s'est excusé en 1913 de sa critique..

alors que Poincaré (qui avait fait la même chose que Minkowski avant lui) a maintenu jusqu'au bout que tout ceci n'était qu'une sorte d'artifice...

et pouir cause c'est l'approche géométrique qui lui a permi de penser la RG qui techniquement est bien une généralisation des changements de repères mais en fait un changement de paradigme relativement à la RR dans la mesure ou l'espace est une entité dynamique (notion intrinséque indépendante de toute notion de repères)

c'est pas mal plus subtil que ça... en particulier parce que si tu parles de dynamique tu parles d'évolution temporelle... or il n'y a pas de temps en soi en RG...
-----

[invite76543456789]

BOnjour,

Le temps propre c'est la longueur (en unités de temps) d'une courbe entre 2 points de l'espace-temps (on a donc ici 2 familiers concepts de géométrie: le point et la courbe). Il est important de noter que les concepts de points et de courbe sont des notions intrinsèques indépendant de toute notion de repère.

Dans ce cas, c'est cette phrase qu'il faut "justifier", le temps usuel dont on a l'habitude, c'est un temps coordonnée (chez moi, je regarde l'heure sur ma pendule, qui m'indique le temps coordonnée du referentiel de mon appartement), relier l'intégrale de ds et le temps "effectivement vecu" n'est pas une chose a priori evidente, surtout quand on prend des experience terre a terre pour l'illustrer.
Il me semble que pour comprendre (et etre convaincu par) le fait que la longueur des courbes (vis a vis de la métrique de minkowski) des trajectoires des deux jumeaux soit differentes, implique qu'ils n'auront pas le meme age à la fin, il faut se convaincre de ce qu'est le temps propre.
Se convaincre que ce que mesure la montre a notre poignet, c'est l'intégrale de ds le long de notre ligne d'univers.
C'est, ce me semble, le point délicat dans cette approche.

Avec l'approche par les referentiels, et la tranformée de Lorrenz, les jumeaux adoptent l'approche de monsieur tout le monde pour mesurer leur age (leur temps propre donc), i.e regarder une horloge (d'un repere intertiel) fixe dans le "milieu dans lequel ils evoluent" (bien sur le fait qu'ils "evoluent" i.e se meuvent, implique que leur temps propre va a priori differer de ce que va indique l'horloge du ref intertiel, mais comme leur vitesse est tres petite devant c, on peut negliger ce phenomène).

L'avantage des reperes inertiels, c'est quand meme que leur temps propre (i.e celui de l'origine, ou de tout observateur immobile dans ce referentiel) est leur temps coordonée (lu dans le meme referentiel).

[Amanuensis]

Se convaincre que ce que mesure la montre a notre poignet, c'est l'intégrale de ds le long de notre ligne d'univers.
C'est, ce me semble, le point délicat dans cette approche.

Sûrement, mais c'est un point tellement essentiel de la RR que ne pas le comprendre, que ce soit posé d'entrée ou expliquer après des développements indépendants de ce point, c'est ne pas comprendre du tout la RR.

Du coup, il n'est pas idiot de prendre le taureau par les cornes d'entrée, et de bâtir ensuite sur une base qu'on sait solide, plutôt que sur des ambiguïtés laissées dans l'ombre.

L'avantage des reperes inertiels, c'est quand meme que leur temps propre (i.e celui de l'origine, ou de tout observateur immobile dans ce referentiel) est leur temps coordonée (lu dans le meme referentiel).

C'en est le défaut principal. Cela amène les gens à ne pas réaliser que le temps propre dépend de la trajectoire, Y COMPRIS quand il s'agit de trajectoires immobiles dans un référentiel. On ne compte plus sur le forum le nombre de cas de personnes bloquées dans leur compréhension pour avoir "confondu" le temps propre de deux trajectoires immobiles l'une par rapport à l'autre.

L'énorme défaut de la confusion entre le temps coordonnée et le temps propre de TOUTES les trajectoires immobiles, partout dans l'Univers, propriété très spécifique à la RR et aux référentiels inertiels, est de "conforter" le mode de pensée en terme d'un "temps universel", ce qui est le point conceptuel contre lequel on est obligé de "ramer" en permanence quand on veut essayer d'expliquer la RR en termes de concepts et non de quelques calculs matriciels niveau TS.

[invite6754323456711]

d'ailleurs essaie de définir la métrique de Minkowski sans définir au préalable celle de référentiel...

Par la notion de tenseur non ? Du moins pour définir le cadre mathématique de la géométrie de l'espace-temps de Minkowski. Par la suite concernant les questions de physique les résultats d'opération de mesure deviennent modélisées comme des opérations mathématiques dans cet espace, comme par exemple des produits pseudo scalaires non ?

Patrick

[invite76543456789]

Sûrement, mais c'est un point tellement essentiel de la RR que ne pas le comprendre, que ce soit posé d'entrée ou expliquer après des développements indépendants de ce point, c'est ne pas comprendre du tout la RR.

Du coup, il n'est pas idiot de prendre le taureau par les cornes d'entrée, et de bâtir ensuite sur une base qu'on sait solide, plutôt que sur des ambiguïtés laissées dans l'ombre.

Il me semble quand meme que le paradoxe des jumeaux, sert justement a faire sentir la notion de temps propre, et pourquoi elle est ce qu'elle est (il sert a introduire la notion de temps propre). Si on part directement du point de vue que le temps propre c'est l'intégrale de ds, et c'est le temps que l'on ressent (i.e le temps que va mesurer notre montre), le paradoxe ne me semble plus avoir d'interet.

J'ai toujours considere le paradoxe des jumeaux comme un exemple paradigmatique du fait justement que, si l'on accepte les formules de transformations de lorrentz, alors le temps ressenti dependait de la trajectoire. Si l'on accepte d'emblée que le temps depend de la trajectoire, j'ai l'impression que ca vide un peu le paradoxe de sa substance. Apres je rate peut etre le point.

[Amanuensis]

Il me semble quand meme que le paradoxe des jumeaux, sert justement a faire sentir la notion de temps propre, et pourquoi elle est ce qu'elle est (il sert a introduire la notion de temps propre).

On pourrait le croire. L'expérience permet de mettre en doute l'efficacité de la méthode: nombre de personnes réagissent en cherchant à mettre en correspondance point à point les deux trajectoires, à "penser" leurs temps propres comme dérivés (par "dilatation du temps") d'un même "temps" commun.

Si on part directement du point de vue que le temps propre c'est l'intégrale de ds, et c'est le temps que l'on ressent (i.e le temps que va mesurer notre montre), le paradoxe ne me semble plus avoir d'interet.

Bien d'accord. C'est pour cela qu'il devrait être utilisé comme une illustration du temps propre, et non comme une sorte de bizarrerie de la physique moderne qui ne s'explique que grâce à des calculs compliqués étalés sur des pages, avec des matrices ésotériques, et des "concepts" qui ne le sont pas moins comme "dilatation du temps".

J'ai toujours considere le paradoxe des jumeaux comme un exemple paradigmatique du fait justement que, si l'on accepte les formules de transformations de lorrentz, alors le temps ressenti dependait de la trajectoire. Si l'on accepte d'emblée que le temps depend de la trajectoire, j'ai l'impression que ca vide un peu le paradoxe de sa substance. Apres je rate peut etre le point.

Non, je ne pense pas. Perso, je pense qu'il faut poser a priori que la philosophie du temps est très différente de la classique, demande une adaptation non triviale, etc. Comment voulez-vous partir des TL, qui parlent de temps sous la forme de t et t', et dire ENSUITE "le temps ressenti dépend de la trajectoire"? En étudiant la TL, les personnes sont bien obligé d'avoir une "idée" de ce que représente t et t', donc de commencer à se construire une philosophie du temps, et ce sans notion de "temps ressenti". Et ils le feront de travers si on recule la notion de temps propre à bien après. Il y a une contradiction à utiliser une notion mal définie de temps (dans les TL) pour pouvoir présenter ensuite le concept de temps correctement, non?

[invite76543456789]

En fait a relire ce qu'on ecrit Mariposa et Amanuensis. Finalement je pense que leur objection vient de la manière dont est enseigné la relativité restreinte.

J'ai dans l'idée qu'un enseignement "classique" de la relativité restreinte est grosso modo le suivant.

1/ On part du postulat que la vitesse de la lumière est constante par changement de referentiel intertiel et que le temps que l'on ressent (i.e le temps propre) entre un evenement A et un evenement B, est donné pour qqun d'imobile dans un ref intertiel par la difference des coordonnées temporelles de A et B.
Il me semble que ceci a l'avantage d'etre conforme a l'intuition (pour le second) et un postulat imposé par l'experience (pour le premier).

2/ On en déduit les formules de changement de refrentiels.

3/ On etudie grace à ces formules, le paradoxe des jumeaux.
Constat: le temps propre depend de la trajectoire suivie.

4/ Définiton du temps propre "locale" et "globale", qui cadre avec celle illustrée par le paradoxe qui correspond au temps ressenti et qui est une extension de la notion naive de temps ressenti.

Je crois comprendre qu'il prefereait une approche
1/ Le temps propre est l'intégrale de ds le long d'une trajectoire.

2/ Il depend donc de la trajectoire, meme si ces trajectoires ont les memes extremités.

etc etc....

Mais dans cette approche là, je ne vois pas tres bien ou s'insere le paradoxe des jumeaux.

Edit: Croisement avec Amanuensis (dont je vais lire le message)!

[invite76543456789]

Non, je ne pense pas. Perso, je pense qu'il faut poser a priori que la philosophie du temps est très différente de la classique, demande une adaptation non triviale, etc. Comment voulez-vous partir des TL, qui parlent de temps sous la forme de t et t', et dire ENSUITE "le temps ressenti dépend de la trajectoire"? En étudiant la TL, les personnes sont bien obligé d'avoir une "idée" de ce que représente t et t', donc de commencer à se construire une philosophie du temps, et ce sans notion de "temps ressenti". Et ils le feront de travers si on recule la notion de temps propre à bien après. Il y a une contradiction à utiliser une notion mal définie de temps (dans les TL) pour pouvoir présenter ensuite le concept de temps correctement, non?

Ok, finalement je pense que j'avais cerné plus ou moins votre point.
Il est vrai que l'approche que vous preconisez est plus elegante, et qu'elle a l'avantage d'etre bien mieux adaptée a une comprehension de la RG.
Apres est ce que le "leap of faith" de considerer qu'effectivement le temps ressenti est bien ds est plus grand que le "leap of faith" de l'invariance de c, je ne sais pas (j'ai ete moi meme circonspecte la première fois que j'ai vu la definiton de la notion de temps propre, et j'ai eu du mal au premier abord a la relier a la notion de temps ressenti, donc je dois porter encore cette "cicatrice").

[invite6754323456711]

J'ai dans l'idée qu'un enseignement "classique" de la relativité restreinte est grosso modo le suivant.

Déjà en amont avant d’attaquer la relativité restreinte il y a t-il un bonne compréhension physique de la relativité du mouvement galiléenne ? Une fois acquit cette notion de relativité n'est-il pas plus aisé de l'étendre au concept de temps et d'espace ?

Patrick

[invite76543456789]

Déjà en amont avant d’attaquer la relativité restreinte il y a t-il un bonne compréhension physique de la relativité du mouvement galiléenne ? Une fois acquit cette notion de relativité n'est-il pas plus aisé de l'étendre au concept de temps et d'espace ?

Patrick

C'est tres possible mais rarement le cas en pratique.
La relativité galileenne, et la mecanique newtonienne, etant enseignée la aussi de façon classique, qui ignore la RR (en fait qui ignore le langage de la RR), cette dernière etant enseignée dans un langage qui n'est pas tout a fait non plus celui de la RG.
Finalement oui on pourrait directement enseigner la relativité galileenne, de façon a ce que la transition Mecanique universelle->RR->RG soit plus "douce" (en enseignant directement la meca de newton dans le langage de la RG) mais en pratique ca n'est pas fait (bien qu'il existe des ouvrages le faisant).
Mais nous nous eloignons un peu du sujet là.

[invitea29d1598]

Mais nous nous eloignons un peu du sujet là.

pas complètement car la question de base est celle de l'enseignement... mais même s'il est vrai que pour "vraiment comprendre" la RR (et d'une certaine façon la physique newtonienne) il faut avoir compris la RG, c'est un point de vue réducteur qui oublie de nombreux aspects pragmatiques :

- la plupart des gens n'ont pas besoin de comprendre la RG voire même la RR
- même parmi ceux qui ont "besoin" de la RG, ils n'ont pas tous besoin de maîtriser toutes les subtilités de la géométrie différentielle (pour plein d'utilisateurs de RG une métrique est juste une machine à monter/descendre des indices)
- commencer un enseignement pour physiciens de relativité restreinte par l'approche minkowskienne est utopiste... [ou c'est une façon efficace pour larguer encore plus d'étudiants]
- peu d'enseignements de mécanique classique insistent sur le principe de relativité galiléenne car pour la plupart des gens il n'a aucune "importance pratique" (un ingénieur ou chercheur appliqué se contrefout du "sens profond" des "outils" qu'il utilise)

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Soit un vaisseau se déplaçant à v par rapport à une station supposé fixe
on a

Si dans un premier temps j'écris la condition de Minkowsky :


en posant



ce qui donne en facorisant,



Mainteant :


en posant

j'ai


en posant

j'ai

C'est l'énoncé du paradoxe des jumeaux.








->


d'une façon analogue,

->



Est ce genre de calcul qui vous fait préférerer la géométrie Minkowskienne au TL ?

Le problème ici est de bien savoir de quoi on parle précisément. Il me semble que les TL une fois posées sont plus explicites, mais je me trompe peut être.

Cordialement,
Zefram

[invite6754323456711]

Mais nous nous eloignons un peu du sujet là.

Pour moi cela fait partie du sujet de l'enseignement de la RR car l'on peut constater au vue de certaines interventions la difficulté d’appréhender la rupture conceptuelle. Je ne parlais pas d'enseigner la méca de Newton dans le langage de la RG, mais de se focaliser sur une dialectique s'aidant d'épistémologie. Eric Gourgoulhon a rédiger un livre sur la relativité restreinte en la présentant dans un langage proche de celui de la RG on se se poser la question de l'efficacité pédagogique.

Patrick

[invitea29d1598]

Eric Gourgoulhon a rédiger un livre sur la relativité restreinte en la présentant dans un langage proche de celui de la RG on se se poser la question de l'efficacité pédagogique.

tout à fait... son livre est très complet et intéressant, mais c'est pas avec ça qu'on peut enseigner la RR à quelqu'un qui ne la connaît pas déjà, sans même parler du fait que le principe de relativité n'est pas vraiment abordé... d'une certaine façon il utilise parfois le principe de relativité généralisé mais sans le dire explicitement... d'où (à mon avis) risque de confusion sur ce que sont les deux théories d'Einstein... en particulier sur le fait que la RG est 2 choses à la fois : une généralisation du principe de relativité et une théorie relativiste de la gravitation...

[invite7ce6aa19]

Bonjour,
Soit un vaisseau se déplaçant à v par rapport à une station supposé fixe
on a

Si dans un premier temps j'écris la condition de Minkowsky :


en posant



ce qui donne en facorisant,



Mainteant :


en posant

j'ai


en posant

j'ai

C'est l'énoncé du paradoxe des jumeaux.








->


d'une façon analogue,

->



Est ce genre de calcul qui vous fait préférerer la géométrie Minkowskienne au TL ?

Le problème ici est de bien savoir de quoi on parle précisément. Il me semble que les TL une fois posées sont plus explicites, mais je me trompe peut être.

Cordialement,
Zefram

C'est de cela qu'il s'agit mais je te propose une autre présentation des mêmes calculs

Soit un repère (t,x) et une courbe quelconque C allant de D a A.

t est ici un temps coordonnée.

Un élement de longueur de cette courbe est ds2 =c2t2-dx2

que l'on écrit:

ds = Racine c.[1-v(t)2].dt

où v(t) est la vitesse du jumeau voyageur à l'instant t.

La longueur de la courbe C est l'intégrale de l'expression précédente entre t(D) et t(A).

En divisant par c on obtient la longueur en unité de temps, cad le temps propre Tau (celui mesuré par une horloge)

C'est tout!!!!!!

On notera que pour le jumeau sédentaire qui se déplace en ligne droite le long de l'axe des temps (donc dx=0) on a ds(sédentaire) = c.dt

Conclusion:

1- le temps propre du jumeau voyageur est toujours plus petit que celui du sédentaire.

2-Ce temps peut-être très proche de zéro si celui-ci vit durablement (au sens du jumeau sédentaire) au voisinage de la vitesse de la lumière;

3-Il n'y a aucun rôle a l'accélération: Si le jumeau voyageur subit sans arrêts des accélérations gigantesques tout en étant borné par des vitesses faibles devant celle de la lumière alors son temps propre sera visiblement proche de celui du jumeau sédentaire.

On notera que la donnée de la métrique entraine sans pratiquement aucune ligne de calculs la compréhension du paradoxe des jumeaux. Toute la physique du problème est contenue dans les phrases dés lors que l'on pense géométrie.


Il faut donc en amont d'expliquer que dans les fondements de la RR il y une unité de l'espace-temps cad que le temps c'est presque comme l'espace(a la causalité pres). je ne voie aucun inconvénient dans une première approche de postuler la métrique de minkovski (On vous expliquera plus tard.......)

Un autre avantage de mettre en avant la métrique est de pouvoir écrire:

ds2= [c.dt]2-dx2

et

m.c2= E2 -[p.c]2

Les 2 formules se ressemblent et cela n'est pas du au hasard car la la deuxième est la conséquence immédiate de la première (la démonstration n'est pas accessible au niveau terminal)


Voilà comment a mon gout on peut présenter la RR même si on est faché avec les maths.

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
Puisque nous abordons le sujet de l'énergie et de l'impulsion, je voudrais vous faire part d'un exercice dans lequel j'essayais de comprendre la relation entre les TL et l'énergie-impulsion
Calculs préliminaires


E = mc²
Dans un message de futura j'avais proposé pour déterminer E = mc² la démonstration suivante :

pour une vitesse relative v << c , o n pouvait procéder à l'approximation suivante du facteur de Lorentz

(1a)
avec

-> en multipliant par c²
(1b)

-> puis en multipliant par m
(1c)

posons Eo = mc² ,

(1d)

finalement nous obtenons ce premier résultat :

(1e)


E² = (mc²)² + c²P²

Considérons la relation suivante :

(2a)

Posons
(2b)

nous obtenons donc :
(2c)

Avec d'une part et

nous avons :
(2d)

En mettant la partie de droite de (2d) au même dénominateur nous obtenons :


(2e)

d'où

(2f)

On en tire la relation entre la masse inertielle et la masse au repos :

(2g)

condition de Minkowsky / l'énergie - impulsion

Soit K (E, cP ) le référentiel stationnaire du cosmonaute dans une station
Soit K' (E', cP') le référentiel mobile de l'astronaute dans un vaisseau se déplaçant avec une vitesse relative v par rapport au référentiel fixe.
Soit K" le référentiel d'un spationaute dans un chasseur lancé à l'instant initial à la vitesse w (K); w' (K') du vaisseau.

La loi de compositions des vitesses, avec et

on a :

(3a)

On démontre facilement que

(3b)

Comme

(3c)

Pour un chasseur de masse m (K) , m' (K') , m" (K") , en utilisant (2g)

(3d)
(3e)
->
(3f)

En élevant l'équation (3f) au carré et compte tenu du fait que et que

(3g)

Les transformations de Lorentz

De là on trouve les transformations de Lorentz :
(4a)
(4b)

Et pour un photon se déplaçant dans le sens positif des x
(4c)

de même pour un photon se déplaçant dans le sens positif des x
(4d)

J'avoue avoir du mal à interpréter les équations 4 les deux dernières notemment, un peu d'aide serait bienvenue
Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Comme un de mes ordinateurs était hors connexion depuis hier après-midi, j'ai pu sauver une page html contenant des messages d'hier, ceux de n° 49 à 63.

La page est jointe, pour qui cela intéresse. (C'est une page html, chargée avec l'extension .txt, l'extension .html n'étant pas acceptée...)

PJ convertie en PDF, philou67 pour la modération.

[obi76]

[Par mariposa, 17/07/2013 12h20]

BOnjour,
Dans ce cas, c'est cette phrase qu'il faut "justifier", le temps usuel dont on a l'habitude, c'est un temps coordonnée (chez moi, je regarde
l'heure sur ma pendule, qui m'indique le temps coordonnée du referentiel de mon appartement), relier l'intégrale de ds et le temps
"effectivement vecu" n'est pas une chose a priori evidente, surtout quand on prend des experience terre a terre pour l'illustrer.
Il me semble que pour comprendre (et etre convaincu par) le fait que la longueur des courbes (vis a vis de la métrique de minkowski)
des trajectoires des deux jumeaux soit differentes, implique qu'ils n'auront pas le meme age à la fin, il faut se convaincre de ce qu'est le
temps propre.
Se convaincre que ce que mesure la montre a notre poignet, c'est l'intégrale de ds le long de notre ligne d'univers.
C'est, ce me semble, le point délicat dans cette approche.
Avec l'approche par les referentiels, et la tranformée de Lorrenz, les jumeaux adoptent l'approche de monsieur tout le monde pour
mesurer leur age (leur temps propre donc), i.e regarder une horloge (d'un repere intertiel) fixe dans le "milieu dans lequel ils evoluent"
(bien sur le fait qu'ils "evoluent" i.e se meuvent, implique que leur temps propre va a priori differer de ce que va indique l'horloge du ref
intertiel, mais comme leur vitesse est tres petite devant c, on peut negliger ce phenomène).
L'avantage des reperes inertiels, c'est quand meme que leur temps propre (i.e celui de l'origine, ou de tout observateur immobile dans
ce referentiel) est leur temps coordonée (lu dans le meme referentiel).

Bonjour,

Je vous revenir sur le statut du repère inertiel dans le problème des jumeaux.

Pour cela je commence a reformuler le paradoxe des jumeaux autrement.

Reformulation du paradoxe des jumeaux.

Soient 2 jumeaux Pierre et Paul âgés de 20 ans qui quittent la Terre à l'instant zéro et s'accordent à faire chacun de son coté une balade dans l'espace et revenir ultérieurement sur Terre.

Au retour sur Terre Pierre est jeune il a 30 ans (confirmé par son horloge atomique) alors que Paul a 90 ans (confirmé par son horloge atomique), il marche avec une canne et présente des symptômes de la maladie de Parkinson.

Voilà donc l'énoncé du paradoxe, situation qui confine à l'absurde.

La solution du paradoxe

Heureusement il y un physicien nommé Einstein qui a la clef du problème.

A partir de la seule donnée de la métrique de Minkowski il est capable d'expliquer pourquoi les temps indiqués par les horloges sont si différents.

Pour faire ce calcul des temps horloges il se place dans un référentiel inertiel (t,x) celui correspond aux vitesses initiales nulles et montre que les 2 lignes d'univers de Pierre et Paul sont très différentes. Le calcul prend 2 lignes (voir mon post précédent).

Comme on peut le voir le repère inertiel est le moyen mathématique pour calculer les temps propres de Pierre et Paul mais ne joue aucun rôle physique. On notera qu'il n y a pas de transformation de Lorentz a faire. De même les accélérations ne joue aucun rôle dans l'explication du paradoxe des jumeaux.

[obi76]

[Par Clairesprit, 17/07/2013 12h36]

Au retour sur Terre Pierre est jeune il a 30 ans (confirmé par son horloge atomique) alors que Paul a 90 ans (confirmé par son horloge
atomique), il marche avec une canne et présente des symptômes de la maladie de Parkinson.

Voilà donc l'énoncé du paradoxe, situation qui confine à l'absurde.

La solution du paradoxe

Heureusement il y un physicien nommé Einstein qui a la clef du problème.

Bonjour,
pour moi, comme Amanuensis l'a souligné, le paradoxe des jumeaux ne réside pas dans la différence d'âge mais dans l'apparente symétrie des points de vue. C'est d'ailleurs comme ça qu'on me l'a introduit en fac : d'abord un cours sur la RR puis la présentation du paradoxe (on l'avait eu sous forme de question de partiel d'ailleurs, à laquelle j'avais répondu qu'il n'y avait pas de paradoxe car selon moi on tentait de traiter un problème en RR avec des référentiels non inertiels ce qui n'était pas approprié puisque le demi-tour impliquait une accélération).

[obi76]

[Par al1brn, 17/07/2013 12h46]

Pour faire ce calcul des temps horloges il se place dans un référentiel inertiel (t,x) celui correspond aux vitesses initiales nulles et
montre que les 2 lignes d'univers de Pierre et Paul sont très différentes. Le calcul prend 2 lignes (voir mon post précédent).

Comme on peut le voir le repère inertiel est le moyen mathématique pour calculer les temps propres de Pierre et Paul mais ne joue
aucun rôle physique. On notera qu'il n y a pas de transformation de Lorentz a faire. De même les accélérations ne joue aucun rôle dans
l'explication du paradoxe des jumeaux.

Bonjour,

Est-ce que nous sommes d'accord que "se placer dans un référentiel inertiel" signifie en choisir un parmi ceux qui existent. Je ne suis pas complètement satisfait de ma formulation, j'en cherche une qui s'oppose au point de vue classique dans lequel le choix du référentiel est quelconque. En RR, il y a deux classes de référentiels : les inertiels et les autres. Les inertiels ne sont pas arbitraires, ils font partie de la structure de l'univers en quelque sorte.

Ceci étant dit, si, dans le référentiel inertiel choisi, je décris les chemins de Pierre et de Paul par une succession de référentiels inertiels "tangents" (le référentiel inertiel ayant la vitesse du voyageur à un instant t dans le référentiel inertiel choisi initialement), je vais bien arriver à la conclusion que le plus jeune a vécu des différences de vitesses plus importantes. Ce constat me semble vrai quel que soit le référentiel inertiel initial.

Pourquoi est-ce si horrible d'appeler ça une accélération plus importante ?

[obi76]

[Par Amanuensis, 17/07/2013 12h46]

situation qui confine à l'absurde.

Elle n'est pas absurde en elle-même. Et présenter cela comme absurde est un défi à la logique et au raisonnement.

La différence d'âge acquis est juste contraire à la notion de temps absolu, et il n'y a aucun argument logique, rien, nada, en faveur d'un temps absolu.

L'idée de temps absolu est seulement une habitude acquise, une sorte de "vérité" sans base logique qu'on ne met pas en doute parce qu'on n'a pas de raison de le faire.

Présenter la seule différence d'âge acquis comme absurde renforce l'idée, fausse, que l'idée de temps absolu ait une quelconque base rationnelle.

La solution du paradoxe

C'est un exemple de ce que j'ai indiqué, non pas une explication qui viendrait contrer une "absurdité", mais juste un cours de RR.

Si on considère la différence d'âge absurde, alors avec une telle "explication" on devrait conclure que la RR est absurde...

[obi76]

[Par Amanuensis, 17/07/2013 12h56]

Est-ce que nous sommes d'accord que "se placer dans un référentiel inertiel" signifie en choisir un parmi ceux qui existent. Je ne suis
pas complètement satisfait de ma formulation

Il y a de quoi. "Se placer dans", "existe", ...

"Choisir de modéliser la situation en postulant un référentiel inertiel".

Pour mémoire personne n'a jamais été capable d'exhiber "un référentiel inertiel qui existe".

En RR, il y a deux classes de référentiels : les inertiels et les autres.

Comme en classique. Et pas comme en RG, où il n'y a pas de référentiel inertiel là où le tenseur de courbure n'est pas nul.

Les inertiels ne sont pas arbitraires, ils font partie de la structure de l'univers en quelque sorte.

Ils sont liés à l'inertie, et donc à toutes les expériences pratiques mettant en jeu l'inertie. Mais si l'inertie "fait partie de la structure de l'Univers", les référentiels inertiels sont des idéalités.

Ceci étant dit, si, dans le référentiel inertiel choisi, je décris les chemins de Pierre et de Paul par une succession de référentiels inertiels
"tangents"

Totale horreur, qui n'a pas de sens. Si on choisit un référentiel, c'est pour décrire une situation, un mouvement, des chemins. Cela n'a aucun sens de parler de "description par une succession de référentiels".
Il y a une énorme confusion (déjà bien détectée...) entre "référentiel" et quelque chose qui est peut-être la 4-vitesse.
(En RR, il suffit d'un vecteur de genre temps pour décrire un référentiel ; mais ce n'est pas une raison pour confondre les deux concepts. Et encore moins à chercher à la diffuser, à contaminer des lecteurs, en répétant cette confusion message après message.)

[obi76]

[Par MissPacMan, 17/07/2013 13h13]

Bonjour,(...)des jumeaux.

Bof, chuis pas vraiment convaincue. Parce que pour moi, comme dit plus haut, cette présentation, en l'etat, elude un point délicat qui est "Pourquoi le temps propre c'est ds (pour les courbes de genre temps)"?
Il me semble que l'explication la plus convaincante passe qd meme par l'evocation de plusieurs choses.
1/ Dans un referentiel intertiel où on est immobile, le temps mesuré par les horloges est le temps ressenti (ce que je qualifierai de definition naive du temps ressenti).
2/ Les transformations de lorrentz (ou les changement de reperes intertiels si on prefere) conservent la métrique (on peut d'ailleurs définir directement une formule de changement de repere intertiel comme un element (de la composante neutre) du groupe orthochrone, sans donner de formule explicite)
3/ Du referentiel intertiel "tangent".

Et on prouve alors que l'extension naturelle du temps naif ressenti, ne peut etre que l'integrale le long de la trajectoire de ds, ce qui s'identifie au calcul classique de la longueur de la trajectoire, a ceci pres que ds2 peut etre negatif, et qu'on se limite a ce genre de calcul pour les trajectoires de genre temps (ce qui au passage explique la convention de choix des signes dans la métrique, (1,3) au lieu de (3,1)).

On imagine se deplacer dans un referentiel intertiel de base, disons celui du laboratoire.
Dans le referentiel intertiel tangent (qui est le referentiel intertiel dont la vitesse de l'origine coincide avec notre vitesse instantanée (mesurée dans le ref du labo bien sur) à la date t, et dont l'origine a la date t coincide avec notre position), il est facile de se convaincre que dt2 est le carré du temps vécu parce que c'est le temps coordonnée du ref intertiel dans lequel on est immobile, d'autre par dx2=dy2=dz2=0, dans ce referentiel... parce qu'on est immobile. Dans ce referentiel là, le temps vecu (enfin son carré) vaut ds2 (pendant un instant infinitesimal).
Pour passer du referentiel intertiel tangent au referentiel intertiel "du laboratoire" (celui considéré fixe dans lequel se passe l'experience), on doit utiliser une transformation de lorrentz, qui a la forme qu'elle a, mais dont on se fiche, et dont la seule propriété qu'on retient c'est qu'elle conserve ds2. Autrement dit, pour connaitre le temps que nous avons vecu "infinitesimalement" à la date t, à partir des mesures effectuées dans le referentiel du laboratoire, il faut calculuer . C'est bien cette quantité là, et pas une autre qui correpond au temps vecu (a partir du moment ou l'on accepte la definition naive du temps vecu)
A partir de là, (c'est un procédé classique en physique, mais on peut de toute façon le justifier en subdivisant le mouvement en des temps de plus en plus petit) il est facile de se convaincre que pour connaitre l'integralité du temps vecu le ong de notre trajectoire... hé bien on calcule l'integrale de ds le long de la trajectoire.
Et ensuite on peut se rebrancher sur votre raisonnement, et expliquer que cela correspond a la longueur minkowski de la trajectoire, et tout comme en euclidien, deux trajectoires differentes n'ont aucune raison d'avoir la meme longueur etc etc...
Je sais bien que ceci n'est pas une explication du paradoxe stricto sensu, mais il me semble que cet ajout est necessaire à la resolution du paradoxe consistant a calculer des longueurs de trajectoires dans l'espace de minkowski.

[obi76]

[Par MissPacMan, 17/07/2013 13h21]

Pour répondre ensuite aux deux "visions" du paradoxe des jumeaux.

C'est vrai qu'historiquement ce qui etait "paradoxal" c'est l'apparente symétrie de la situation, opposé a la dyssimétrie des ages des jumeaux sur terre à l'arrivée. Ca c'est le coté paradoxe. Je ne trouve pas forcement extremement pertinent d'insister sur cela dans une approche pedagogique de la RR, on peut eventuellement en parler (ou repondre a
l'interrogation si elle est levée).

Il y a ensuite ce que je qualifierai du "cas d'ecole" des jumeaux, qui est juste une illustration de la notion de temps propre, et d'une prevision frappante de la RR, le temps propre varie avec les trajectoires, ou dit de façon plus spectaculaire, l'age va dependre de la façon dont on se deplace. Il me semble que plus que la dyssimétrie, c'est cette prevision etonnante qui heurte les gens, et a laquelle "ils ont du mal a croire".

Apres je dois avouer que je lis rarement les (innombrables) fils à ce sujet, et que peut etre ce qui heurte effectivement les gens, c'est la dyssimétrie.
Dans les deux cas, je pense qu'expliciter pourquoi le temps propre (i.e celui que l'on ressent) est la longueur (pour le (pseudo) produit scalaire de minkowski) d'une trajectoire est un passagé "clé", qui vient agreablement completer l'agument sur les longueurs des trajectoires.

La preuve avec les transformations de lorrentz "explicite", shunte cette explication.

[obi76]

[Par ù100fil, 17/07/2013 14h16]

et d'une prevision frappante de la RR, le temps propre varie avec les trajectoires, ou dit de façon plus spectaculaire, l'age va dependre de la façon dont on se deplace.

Comment cette interprétation colle avec l'unité de temps qu'est la seconde par exemple ? Elle varie avec les trajectoires

cela poserait problème non ?

Patrick

[obi76]

[Par MissPacMan, 17/07/2013 14h33]

Comment cette interprétation colle avec l'unité de temps qu'est la seconde par exemple ? Elle varie avec les trajectoires cela poserait problème non ?

Patrick

Ca pose pas vraiment probleme, la seconde est défini comme un certain nombre de transitions de niveau d'energie dans le krypton (ou le cesium), elle "varie" avec la trajetoire dans le sens que si on prend un atome de krypton avec soi et qu'on part faire un petit tour (a des vitesses rapides) en comptant le nombre de transition de notre atome, et qu'on
revient a notre point de depart, où qqun d'autre était resté immobile avec son petit atome de krypton lui aussi, en comptant lui aussi le nombre de transition, et bien nos nombres de transitions seront different a priori.
Mais la seconde reste ce qu'elle est.

PS: Je m'apercois de deux choses dans mes messages precedents, 1- j'ai mis un t a inertiel!
2- J'ai fait disparaitre c dans la métrique de minkowski (désolé habitude de matheux).

[obi76]

[Par Zefram Cochrane, 17/07/2013 14h35]

Du tout MissPacMan,

Les "gens" intègrent facilement le concept de variation du temps (temps propre ou temps coordonnée ? ) ; LA problématique est d'expliquer en profondeur pourquoi est-ce le voyageur qui revient plus jeune et pas l'autre fixe au regard de la symétrie coordonnée du problème

comme l'illuste l'égalité

Cordialement,
Zefram

[obi76]

[Par Amanuensis, 17/07/2013 14h51]

2- J'ai fait disparaitre c dans la métrique de minkowski (désolé habitude de matheux).

C'est l'habitude de moult physiciens aussi (ils disent qu'ils prennent c=1 "coordonnées classiques", c'est assez naturel...

[obi76]

[Par Amanuensis, 17/07/2013 14h56]

Comment cette interprétation colle avec l'unité de temps qu'est la seconde par exemple ? Elle varie avec les trajectoires cela poserait problème non ?

C'est l'invariance active sous-entendue. La physique, donc le résultat d'une expérience donnant la seconde (une horloge), est invariant par transformation ACTIVE, et donc un intervalle "droit" de genre temps suivant par l'horloge et obtenu par 1 sur 6tout transformation du groupe de Poincaré appliqué à un intervalle B suivi par une horloge de même construction à la même "longueur" que B.

D'où une préférence qu'on peut avoir pour la version active du principe de relativité.

[obi76]

[Par Zefram Cochrane, 17/07/2013 15h04]

Pourquoi il n'écrivent pas alors ?
ds² = dx² + dy² + dz² + d(it)² ; s'il prennent c = 1 ?