Température d'un cylindre plein en fonction du temps

[Louic]

Bonjour à tous,

Je me heurte à un problème. N'ayant rien trouvé de très convaincant après avoir fait quelques recherches sur le net, je tente ma chance sur ce forum.
Je tiens à préciser que mes compétences en thermique sont assez basiques.

Donc voila mon problème :
Je chauffe un cylindre plein par extérieure. Et je voudrais connaitre sa température en fonction du temps. Le but était de savoir en combien de temps j'atteins une température stable.
J'ai trouvé une formule sur internet donnant une approximation de la température finale du cylindre sous la forme Tint = Text + Flux/(4.Pi.L.Lambda)

Comme je disais, je n'ai rien trouvé d'autres concernant la température en fonction du temps.

Est ce que je peux simplement écrire que Flux = C.m.dT/dt + (Tint - Text)/R, le premier terme étant l'énergie à fournir pour augmenter la température du cylindre de dT, et le deuxième terme le phénomène de conduction (en reprenant la formule citée précédemment) ?

merci beaucoup si vous pouvez m'apporter une réponse ou une piste de recherche
-----

[invite07941352]

Bonjour,
Pour amorcer la discussion, il faut être réaliste :
- Vous chauffez par l'extérieur , après l'arrêt, faites vous l'hypothèse qu'il est homogène en température ?
- Ensuite, vous en faites quoi : il est posé sur un support ? Il est en lévitation dans l'air calme ? dans un courant d'air ou d'eau ?

[Louic]

Ok voici plus d'informations :
Mon cylindre est composée de trois couches :
au centre se trouve mon cylindre dont je veux connaitre la température en fonction du temps
autour se trouve une couche chauffante. Plus précisemment ce sont des fils métalliques dans lesquels je fais passer un courant électrique.
Enfin autour de tout ça j'ai une couche isolante.

Cet ensemble est placé dans l'air.

Je ne comprend pas pourquoi vous me parlez d'arrêt. CE que je cherche c'est la température pendant que je chauffe, pas après.
De plus la chaleur n'est clairement pas uniforme à l'intérieur de mon premier cylindre. Après avoir fait une coupe, je remarque que la partie en contact avec les fils métalliques a été plus chauffé que le centre (ce qui en soit est logique)

[invite07941352]

Re,
C'est juste que je n'avais pas tout compris ...
Pour moi, à l'équilibre , il ne ne doit pas y avoir de gradient de température dans le cylindre intérieur , car il est chauffé par l'extérieur .
Mais si le cylindre est court, il pourrait y avoir des effets " de bouts " , des fuites thermiques par les extrémités .
Votre cylindre est en quelle matière , quelles dimensions et quelle température voulez vous obtenir ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Louic]

Mon cylindre est en polypropylène
L'ensemble du cylindre mesure 20m de long pour un diamètre de 8mm. Je donne une puissance électrique à mes fils métalliques de façon à les faire monter à environ 120°C.
Le diamètre de mon cylindre n'est pourtant pas grand mais comme je l'ai dis je peux voir une différence entre la partie qui touche les fils électriques et la partie du milieux (le milieu est intact alors que le reste est fondu)

[invite07941352]

Re,
Il doit y avoir une erreur sur la longueur .
Un cylindre en matière isolante ? Il fond sur l'extérieur parce que vous chauffez trop fort et trop vite ;
Pour moi, il faut plusieurs heures pour être à l'équilibre et il faut commencer par des puissances électriques très faibles , surtout si vous êtes bien isolé vers l'extérieur .
Mais le plus simple serait d'équiper un cylindre d'un thermo-couple de très faible diamètre .

[Titou27]

Donc vu les dimensions, on est dans un cas assimilable à un infini 1D (8mm <<<<< 20m).

Vous aviez oublié de préciser un petit détail pour présenter le problème: il y a changement d'état. En gros, vous voulez comprendre pourquoi vos fils à 120°C ne font pas fondre entièrement le cylindre de plastique, c'est ça ?

On est dans un cas de diffusion thermique relativement simple et la formule donnée plus haut est pas très loin d'être exacte.

On considère le système "cylindre", il reçoit un flux de chaleur de l'extérieur égal à l'apport de chaleur par les fils chauffants et il perd de la chaleur par diffusion et par convection.

On a donc un bilan d'énergie qui donne m.Cp.dT/dt = P - h. (T-Text) où m est la masse du cylindre, Cp sa capacité calorifique globale à pression constante, T sa température moyenne, Text la température de l'air autour et h le coeff d'échange.

Là où ça se corse c'est que:
- cp va varier avec la température (différent selon que le plastique est solide ou liquide)
- cette équation voit un terme de changement d'état arriver en plus (dm.Le) où dm est la quantité qui a fondu et Le l'énergie de changement d'état
- il sera difficile de calculer P car c'est la puissance reçue par le cylindre via les fils (et il faut déduire celle qui part dans l'air)
et en plus cela ne vous donnera pas la température locale mais globale du cylindre !

Alors on peut aussi regarder "seulement" la température: 120°C en périphérie du cylindre, en combien de temps on obtient 120°C à coeur.

localement on a: (rho.cp.dT/dt)dv= (Lambda.dT/dx)ds, à intégrer en volume du côté gauche, en surface du côté droit. Pour un cylindre, il faut le faire en coordonnées cylindriques (moins drôle).

Le hic c'est que là encore on a laissé de côté le changement d'état. Donc si au final le but est de savoir au bout de combien de temps on a 120°C partout, c'est raté.

Mais il y a plus simple, puisque ce qu'on veut c'est juste l'état final (tout fondu, à 120°C):

L'énergie à apporter est m. Cp. (Tf-Ti) + m. Le, où Tf est la température finale (120°C), Ti la température initiale (20°C ?)
Le flux apporté, en négligeant les pertes est P.t où P est la puissance électrique, t le temps nécessaire pour atteindre les 120°C

Il vient donc t = m. (Cp. (Tf-Ti)+Le)/P

[Louic]

Merci de ta réponse titou27, ça m'a bien aidé, j'arrive à avoir un modèle qui se rapproche assez bien de la réalité. Mais j'ai encore quelques petits points qui m'intriguent.



Je simplifie le problème : 24 fils métalliques de diamètre 0.25mm sont tressés autour d'un cylindre
J'ai un premier problème pour trouver la valeur de la résistance électrique de cet ensemble.
Tout d'abord j'ai cherché à connaitre la résistivité électrique des filsd'inox que j'utilise. Pour cela j'ai pris un fil que j'ai fait varier en longueur et à l'aide d'un Ohmmètre j'ai mesuré la résistance du fil. En traçant R(L), je détermine la résistivité à partir du coefficient directeur de la droite.
Je trouve un rho = 80.7 µOhm.cm. Ce qui correspond à la valeur moyenne d'un acier d'inox.

Ensuite,
Je branche les fils électriques à un transformateur afin de les alimenter en courant. Avant ce branchement j'ai mesuré la résistance électrique de mon cylindre à 0.7 Ohms.
En mesurant la tension et l'intensité aux bornes du transfo je calcule une résistance de 0.3 Ohms. (Je pense que ça doit prendre en compte la résistance interne du transfo , mais ça devrait être supérieure à 0.7Ohms, non ?)
Enfin, d'après la théorie je devrais avoir une résistance de 0.14Ohms...bigre.


Ensuite, si je reprend la formule de titou27 : t = m. (Cp. (Tf-Ti)+Le)/P
Je veux atteindre Tf=130°C. Si je fourni une puissance de 200W, je vais mettre (par exemple) 1minute pour atteindre Tf.
Mais du coup, si je fourni que 30W, techniquement d'après la formule, je devrais quand même atteindre Tf, mais en un temps beaucoup plus grand. Est ce vraiment exact ? Est ce qu'en réalité je ne vais pas atteindre une température finale bien plus basse, à cause des déperditions qui limitent tout ça... ? Il devrait dnoc y avoir une Puissance minimale.

[invite2313209787891133]

Bonjour

Si la surface du plastique est fondue et pas le cœur c'est uniquement parce que tu n'as pas chauffé assez longtemps.
Pour calculer l’énergie nécessaire il faut prendre le Cp en compte, mais également la quantité de chaleur nécessaire pour obtenir la fusion.
La dissipation vers l'extérieure est proportionnelle à la température, donc linéaire le temps de la montée en chauffe, puis constante sur toute la durée de la fusion.

Est-ce que tu pourrais en dire plus sur ton isolant (nature, diamètre, environnement) ?

[invite07941352]

Re,
Ou bien si le but n'est pas de faire fondre le plastique , c'est que le chauffage est trop fort : je l'écrivai déjà au post 6 ...
De plus, si tout est bien isolé, le temps d'équilibre va être long à s'établir de l'ordre de l'heure, voir plusieurs heures ,
et à l'équilibre, il est impossible que le centre de l'échantillon soit moins chaud que l'extérieur ( de l'échantillon).

[invite2313209787891133]

Tout dépend de ce qu'on défini comme l'équilibre : Si le but est de fondre toute la matière alors l'équilibre peut être atteint en quelques instants. Si le but est d'atteindre 100°C à cœur et ne pas dépasser 110°C sur la face externe alors il faudra environ 2 minutes. Si le but est d'être exactement à 100°C partout alors ça prendra une éternité.