Symbole de Christoffel

[inviteafe88240]

Bonjour, en Relativité Générale, à quoi servent les symboles de Christoffel s'il vous plaît?

Merci d'avance et bonne matinée.

PS : Est-il possible d'avoir une réponse sans aborder de la géometrie differentiel mais juste de l'algèbre tensoriel?
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[Deedee81]

Bonjour,

Le plus simple à dire :
ils permettent d'écrire l'équation des géodésiques (le chemin le plus court entre deux événements).

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...od%C3%A9siques

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...de_Christoffel

[inviteafe88240]

Bien merci je vais voire ça. Toutefois puis-je attendre d'autre réponse pour compléter vos dire et mes connaissances?

Sur ce bonne après-midi.

[Deedee81]

Toutefois puis-je attendre d'autre réponse pour compléter vos dire et mes connaissances?

Hé bien, si tu as d'autres questions sur leur usage ou leur signification, bien entendu. De moi ou d'autres plus qualifiés que moi.

Si tu veux une définition, c'est lié au transport parallèle. Intuitivement :
Supposons qu'en un point tu aies un vecteur. Supposons qu'à partir de ce point tu te déplace le long d'une courbe fermée (géodésique ou pas) en gardant le vecteur dans la même direction (transport parallèle) de proche en proche. Puis de retour au point de départ, tu compares au vecteur d'origine. Les deux vecteurs seront en général différent, sauf dans un espace affine (Minkowski par exemple). La différence entre les deux est exprimé par la connexion. Les symboles de Christoffel sont un cas particulier (c'est la connexion en RG).

http://fr.wikipedia.org/wiki/Connexi...%A9matiques%29
Plus complet en anglais :
http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport

Il y a aussi un lien entre connexion et systèmes de coordonnées. La connexion (dite parfois connexion affine) permet de passer d'un système de coordonnées curvilignes à un système de coordonnées localement affine.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Connexion_affine

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76543456789]

Salut,

PS : Est-il possible d'avoir une réponse sans aborder de la géometrie differentiel mais juste de l'algèbre tensoriel?

Etant donné que les symboles de christoffel sont un objet qui releve purement de la géométrie differentielle et qui n'a absolument rien a voir avec l'algèbre tensorielle per se, ca va etre difficile.

[Amanuensis]

PS : Est-il possible d'avoir une réponse sans aborder de la géometrie differentiel mais juste de l'algèbre tensoriel?

Même opinion que MissPacMan...

La notion de connexion se comprend le mieux dans le cadre des fibrés. En prenant le cas de la RG, à chaque point de l'espace-temps on définit l'ensemble des bases orthonormées possibles de l'espace vectoriel tangent. Choisir une connexion consiste à choisir une base pour chaque point de manière à ce que l'application point -> (point, base) soit différentiable. Si on se déplace de manière "lisse" dans les points, alors le passage entre les bases des espaces vectoriels tangent se fait aussi de manière "lisse".

Maintenant, si on prend un système de coordonnées, il définit aussi une base de l'espace vectoriel tangent en chaque point (en prenant les quatre gradients), mais qui ne correspond pas nécessairement à la connexion désirée. Les coefficients de Christofell donnent les corrections à faire pour obtenir la "bonne" connexion.

Enfin, en RG (en géométrie (pseudo-)Riemannienne en général), la "bonne" connexion est celle qui conserve la métrique, ou encore, en termes de transport parallèle, qui transporte parallèlement la métrique.

Pour donner un exemple (incomplet), les coordonnées comobiles dans le cas "espace plat" donnent comme expression de la métrique dt²-a²(t)(dx²+dy²+dz²). En un point (t, x, y, z), le vecteur e_x a pour norme 1-a²(t), donc n'est pas normé: le repère (t, x, y, z, e_t, e_x, e_y, e_z) ne conserve pas la métrique (le transport parallèle--celui qui conserve la métrique--de e_x d'un point A à un point B de coordonnée temporelle différente ne peut pas donner le e_x en B, puisque la norme est différente). Les coefficients de Christofell pour ce repère ne seront pas nuls.

Notons que c'est une idée plus simple qu'elle n'en a l'air si on l'aborde par la RG. Des coefficients de correction apparaissent de la même manière en euclidien quand on utilise des coordonnées curvilignes (non cartésiennes): prendre la différentielle d'un champ de vecteur demande une correction par rapport à la simple dérivation des coordonnées, et cette correction s'exprime par les symboles de Christofell. Voir par exemple http://mathematique.coursgratuits.ne...hristoffel.php

Une manière simplifiée de le présenter est dire que si on exprime un champ de vecteurs comme , alors la dérivée en toute généralité est ; le premier terme est la dérivation des coordonnées, le second la "dérivation" des vecteurs de base. Ce second terme va s'exprimer avec les coefficients de Christofell, voir explications détaillées dans le lien.

[Deedee81]

Même opinion que MissPacMan...

Moi aussi.

Je n'avais pas relevé mais dans mon deuxième message je parle de notions de géométrie différentielle. Je vois mal comment l'éviter.

Merci pour ton explication qui approfondit de manière précise ma remarque sur la "connexion affine". C'est vraiment ça. C'est aussi bien expliqué dans la plupart des cours RG (en tout cas ceux que j'ai lu). Je ne peux que conseiller à physic_teorik de se plonger dans tous ces liens, je trouve le sujet fort passionnant.

[inviteafe88240]

Ok merci pour vos réponse surtout celle de Deedee81 qui était très intuitive. En parlant d'intuitif voilà : l'algèbre linéaire qui tourne largements autour des vecteurs est largements compréensible quant on a fait les"vecteur du lycée"
alors est-ce pareil pour la géometrie differentiel; existe-t-il des cours qui montre comment on traite de la géometrie differentiel dans l'espace usuelle(courbure dans les espace à "trois dimension"courbure de plan par exemple.). et qui généralise à tous les espaces en général s'il vous plaît? Parce que jusqu'à maintenant, les seuls cours sur lesquels je suis tombé traite tous cela de manière très générale et très abstraite uniquement. Merci d'avance et bonne après midi.
PS : désolez de mon temps de réponse.

[Amanuensis]

Je corrige une erreur de ma part:

En un point (t, x, y, z), le vecteur e_x a pour norme 1-a²(t)

lire "a pour norme carrée -a²(t)".

Cela ne change pas l'idée indiquée...

[Amanuensis]

alors est-ce pareil pour la géometrie differentiel; existe-t-il des cours qui montre comment on traite de la géometrie differentiel dans l'espace usuelle(courbure dans les espace à "trois dimension"courbure de plan par exemple.). et qui généralise à tous les espaces en général s'il vous plaît?

L'espace usuel est euclidien, donc de courbure (de Gauss) nulle. La géométrie différentielle "élémentaire", en espace plat, c'est simplement les notions de dérivation, de tangente, puis les gradient/divergence/rotationnels, etc.

La géométrie différentielle (pseudo-)riemannienne en est la généralisation pour une courbure non nulle.

Une expérience peut être acquise en "usuel" en étudiant la géométrie différentielle sur la sphère (projections cartographiques, trigo. sphérique, géodésiques, ...), qui est une surface de courbure positive constante.

[invite76543456789]

Parce que jusqu'à maintenant, les seuls cours sur lesquels je suis tombé traite tous cela de manière très générale et très abstraite uniquement.

Ca n'est pas exactement ce que tu demande, mais si tu cherches un livre qui traite ca de manière tres concrete et sans se perdre dans des theories trop profondes, je te conseille de jeter un oeil à ceci, le traitement est tres concret et détaillé, avec beaucoup d'exemples et d'exercices a traiter.

[inviteafe88240]

Et bien merci cela tombe bien je suis bon en Anglais; en parlant d'anglais je profite au passage de recommander à tous ce qui veulent apprendre la relativité de suivre les cours de relativité de yale sur youtube de Ramamurti Shankar surtout pour la relativité restreinte.

Bonne matinnée.

[invitec913303f]

On utilise la géométrie differentiel pourquoi? A cause de la connection?; Du fait que le tenseur E-P dépend du tenseur de Ricci et du tenseur métrique?

Merci de me corriger car je me trompe certainement.

Aussi les coefficients de Christoffel servent à établir l'évolution de la courbure non?

Voila désolé si je suis à coté de la plaque.
Merci à vous

[Deedee81]

Salut,

On utilise la géométrie differentiel pourquoi?

Parce que c'est la branche qui s'occupe des variétés différentiables (le lien est assez évident) Et les variétés géométriques utilisées pour modéliser l'espace-temps en RG sont des variétés différentiables. Dans d'autres domaines aussi d'ailleurs (théories des champs de jauge non abéliens, par exemple, avec là en plus les fibrés utilisés à fond)

A cas où : https://fr.wikipedia.org/wiki/Vari%C...C3%A9rentielle

A cause de la connection?

La connexion est un des outils assez naturel de la géométrie différentielle.

Du fait que le tenseur E-P dépend du tenseur de Ricci et du tenseur métrique?

Non, ce n'est pas lié directement. Déjà avant d'arriver là, pour les géodésiques (voir ma première réponse dans ce fil), il faut la connexion (les symboles de Christoffel).

Aussi les coefficients de Christoffel servent à établir l'évolution de la courbure non?

C'est lié, en effet. On peut exprimer le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel comme une combinaison de symboles de Christoffel et de ses dérivées.

Tout ça est un peu technique mais se trouve entièrement dans Wikipedia aux rubriques correspondantes.

[invite76543456789]

En fait y a vraiment rien de compliqué derrière les symboles de christoffel.

Le fait est que la définition naive de la derivation d'une champ de vecteur ne fonctionne pas sur une variété lisse.

En effet si on prend un petit ouvert U de carte dans une variété X (de dimension n) isomorphe a un ouvert V de R^n, on a envie de dire que les champs de vecteur au dessus de X, s'identifient aux fonctions de V (ou de U ce qui revient au meme via la carte) dans R^n. Et bien sur la premiere idée que l'on a c'est de dire que la dérivée de ce champ de vecteur dans la direction e_i va simplement etre la dérivée partielle de (v1,...,v_n) selon e_i. Puis ensuite on se dit que bien sur sur un autre ouvert U' (identifié lui à V' ouvert de R^n), d'intersection non vide avec U, le calcul doit donner le "meme vecteur" c'est a dire si l'on identifie les vecteurs de Vinter V'xR^n à ceux de V' \inter V xR^n via le couple (f,df), c'est a dire (f,df)(x,v)=(f(x),df(x)(v)), ou f est l'application de changement de carte, qui est simplement un diffeomorphisme de V inter V' dans lui meme.
Pourquoi cette identification, et bien c'est tout simplement celle qui intervient dans le cas d'une sous variété de R^n, (les vecteurs tangent d'une sous variété de R^n vu via des cartes s'identifient selon cette relation qui est celle que l'on prescrit aussi dans le cas d'une variété quelconque).

Or un petit calcul immédiat montre que ca ne fonctionne pas. L'action de (f,df) et la dérivée partielle selon e_i (et df(.).ei) ne commutent pas. La définition naive, ne fonctionne pas. Il faut donc proceder autrement.

Comment fait on? Et bien on en fait le moins possible. On dit que se donner une application de dérivée partielle des champs de vecteurs sur X, selon un autre champ de vecteur sur X, notée disons v et u, c'est se donner une application \nabla_u qui à un champ de vecteur v associe un champ de vecteur \nabla_u(v) et qui verifie les propriétés qu'on attend pour une derivation partielle, à savoir linéarité et règle de Liebniz. Et c'est un theorème qu'il existe toujours ce genre de chose. Ca c'est la notion de dérivée covariante (et la notion de connexion est une abstraction de ca).

Ensuite, quand on choisit cette dérivée covariante ben il faut bien spécifier ce qu'elle vaut, apres tout d'apres ce que l'on a dit la dérivée de u selon v peut valoir a peu pres n'importe quoi, puisqu'on s'est autorisé a peu pres tout. C'est justement ce a quoi sert le symbole de Christoffel, qui est quelque sorte la matrice de la dérivée covariante (attention j'utilise ici un vocable impropre il existe qqch qui s'appelle matrice la connexion mais ca n'est pas ca). Si on choisit comme plus haut, via une carte, d'identifier un ouvert U de X a un ouvert V de R^n, et donc de facto un champ de vecteur tangent au dessus de U, a une fonction (u_1,...,u_n) de V dans R^n, la dérivée covariante de n'importe quel champ de vecteur est connue (par liebniz et par linéarité) des que l'on connait les dérivées covariantes de u_i selon les u_j. La seule chose dont on sait de ces trucs c'est que c'est aussi un vecteur, donc ce sont ces coeff a_k que l'on note (donc la composante selon e_k de la dérivée du champ e_i, selon e_j) et que l'on appelle symbole de christoffel.

Autrement dit, pour calculer avec une dérivée covariante, il suffit de connaitre ses symboles de christoffels.

Dans R^n, une dérivée covariante est donnée par les dérivées partielles usuelles, et les symboles de christoffels sont identifquement nuls.

[bobdémaths]

Ok merci pour vos réponse surtout celle de Deedee81 qui était très intuitive. En parlant d'intuitif voilà : l'algèbre linéaire qui tourne largements autour des vecteurs est largements compréensible quant on a fait les"vecteur du lycée"
alors est-ce pareil pour la géometrie differentiel; existe-t-il des cours qui montre comment on traite de la géometrie differentiel dans l'espace usuelle(courbure dans les espace à "trois dimension"courbure de plan par exemple.). et qui généralise à tous les espaces en général s'il vous plaît? Parce que jusqu'à maintenant, les seuls cours sur lesquels je suis tombé traite tous cela de manière très générale et très abstraite uniquement. Merci d'avance et bonne après midi.
PS : désolez de mon temps de réponse.

Bonjour,

Il y a aussi le livre de Do Carmo, qui explique très bien les bases de la géométrie différentielle, avec beaucoup d'exemples.

Mais ça vaut de coup d'essayer de comprendre les très bonnes explications qu'ont données MissPacMan, Amanuensis et Deedee, car l'essentiel y est, concernant le concept de connexion.

[Deedee81]

Je pense tout à coup à ce boquin :

http://www.amazon.fr/Le-Calcul-tenso...eurs+physicien

"Le calcul tensoriel en physique" (avec exercices et corrections) de Jean Hladik

Il est vraiment très bien et il m'a énormément plu et appris.

Et je crois qu'il convient parfaitement à ce qui était demandé :
- il se limite aux vecteurs, tenseurs et donc jusqu'aux symboles de Christoffel, tenseurs de courbure, ... et très peu au-delà
- il est très orienté algèbre vectorielle et tensorielle
- il est très rigoureux
- c'est des maths mais clairement présentée à l'usage du physicien (seule la terminologie "espace ponctuel" m'a un peu dérouté au début, mais on s'y fait vite)

C'est un complément très utile à celui qui fait de l'auto-formation (ce que j'ai fait, au-delà de mes cours d'ingénieur, en particulier pour la théorie quantique des champs et la relativité générale) car c'est souvent dans les bases mathématiques qu'on a des lacunes et besoin de bonnes bases.

[inviteafe88240]

Bonjour, je relance le sujet, deux questions sur les symboles de Chrisstoffel en ésperant ne pas vous faire perdre votre temps :


Amanuensis, vous avez parlez d'une application (point.). -> (une base de espace tangeant.). j'en est rarement entendu parlez, pouvez vous je vous pris développez d'avantage à propos de cette application?

Enfin, je vous avertis au préalable que je n'ai rien pour faire les symboles de Christoffel, je les ferais donc avec un R majuscule.

Soit a b et c trois indice et exposant comme présenté si dessous; est il vrai(du moins en ce qui concerne la Relativité Générale pour la connexion.). que

R_{b a}^c = R_{a b}^c ???

Merci de me répondre bonne soirée.

[Amanuensis]

Amanuensis, vous avez parlez d'une application (point.). -> (une base de espace tangeant.). j'en est rarement entendu parlez,

Si, mais sans le savoir...

Prenons l'exemple de la sphère, comme (en approximation) la surface de la Terre. Si on veut un système de coordonnées pour représenter une vitesse (par exemple la vitesse horizontale d'un avion), on ne peut se contenter de dire "on choisit un axe des x et un axe des y". Faut le faire pour chaque point de la sphère. Par exemple on pourra dire "si l'avion se trouve ailleurs qu'à un pôle, alors on prendra comme repère pour les vitesses la direction du nord et la direction de l'est, là où se trouve l'avion". Or la vitesse horizontale d'un avion, c'est un vecteur du plan tangent là où se trouve l'avion.

En termes mathématiques, on a choisit en chaque point (ou presque) une base des vecteurs tangents, et c'est bien une application des points de la sphère dans l'espace (points, bases de l'espace vectoriel tangent). [Notons qu'on ne prend pas comme espace image un "ensembles des bases de l'espace vectoriel tangent", parce qu'un tel espace est difficile à définir et structurer; il est plus simple de dire qu'il y a un espace tangent différent en chaque point, et donc un ensemble de bases du tangent en chaque point. Du coup l'espace image doit inclure le point, même si la réduction de l'application au point est l'identité.]

Cela se généralise à toute variété. Choisir un repère pour les vecteurs sur une variété consiste à choisir en chaque point une base de l'espace vectoriel tangent.

Dans les cas "plats", il se trouve qu'il y a un isomorphisme canonique entre les espaces de base en différents points et on va "assimiler" les bases en un point avec les bases en un autre point, et pouvoir parler d'un seul ensemble de bases; mais il faut voir cela comme un cas particulier.

pouvez vous je vous pris développez d'avantage à propos de cette application?

Enfin, je vous avertis au préalable que je n'ai rien pour faire les symboles de Christoffel, je les ferais donc avec un R majuscule.

Soit a b et c trois indice et exposant comme présenté si dessous; est il vrai(du moins en ce qui concerne la Relativité Générale pour la connexion.). que

R_{b a}^c = R_{a b}^c ???

Merci de me répondre bonne soirée.

[maxwellien]

Bonjour, est-ce qu'on peut dire que la conneixon affine correspond a des matrices hessiennes multipliées par des vecteur?
Merci.

[ThM55]

Bonjour,

je viens de m'inscrire sur ce site, que je lis depuis longtemps avec intérêt. Je vois qu'on a donné de très bonnes réponses à la question sur le plan mathématique, aussi je me permets d'ajouter un mot sur la signification physique des symboles de Christoffel. Après tout, la relativité générale c'est de la physique...

Et il y a une chose qu'il faut souligner du point de vue de la physique: les symboles de Christoffel permettent d'exprimer le principe d'équivalence. J'ignore pourquoi on ne le fait jamais dans les cours sur la relativité restreinte, mais on peut déjà introduire les symboles de Christoffel sur l'espace-temps plat de la relativité restreinte (Minkowski): ils apparaissent naturellement quand on écrit les équations tensorielles en coordonnées curvilignes. Or, les coordonnées curvilignes sont des coordonnées non inertielles sur l'espace-temps de Minkowski. En examinant les équations (qui sont, pour le mouvement d'un point matériel, celles des géodésiques), on comprend vite que les symboles de Christoffel ne sont autres que les forces inertielles, "fictives", apparaissant dans un repère non inertiel (accélération centrifuge, Coriolis, etc) exprimées de manière très générale pour des référentiels quelconques, sans avoir besoin de manipuler un formalisme faisant intervenir des produits vectoriels et autres. Il est essentiel que ces symboles ne soient pas eux-mêmes des tenseurs: il faut en effet pouvoir les annuler quand on retourne vers un référentiel inertiel, ce qui n'est pas possible pour toutes les composantes d'un tenseur, en vertu de la loi de transformation des composantes tensorielles. Quand on passe à un espace-temps riemannien (ou pseudo-riemannien), ces symboles représentent toujours les forces inertielles mais aussi les forces de gravité: les deux sont confondues et sont indiscernables localement. C'est donc une expression mathématique du principe d'équivalence d'Einstein.

Pour "voir" la présence d'un champ de gravitation, il faut passer au tenseur de Riemann, qui s'exprime au moyen de dérivées et de produits quadratiques des symboles de Christoffel. Dans le premier cas (Minkowski), ce tenseur est identiquement nul, on est assuré que les forces que l'on éprouve sont inertielles. Dans le second cas, ils permettent à deux géodésiques très voisines de s'éloigner et de se rapprocher, ce qui représente des forces dites (un peu improprement) "de marée", qui n'apparaissent pas dans des effets purement inertiels.

Dès que j'ai étudié la relativité générale, j'ai trouvé merveilleux qu'un formalisme mathématique en apparence abscons épousait de manière aussi naturelle et parfaite, dans tous ses détails, une réalité physique. C'est en ce sens à mon avis qu'on doit comprendre Einstein quand il disait qu'on ne peut qu'être convaincu de la justesse de cette théorie une fois qu'on l'a comprise. Ou encore Landau & Lifschitz quand ils écrivent que c'est la plus belle des théories physiques.

[inviteafe88240]

Bonjour et merci de toute vos réponse(j'en attendait pas autant.). et désolez albanxiii, il était 23h OOmin 00s(où quelque chose du genre petite blague.). et j'ai attendu jusqu'à minuit en ne faisant que réactualiser le sujet pour voire si on me répondais mais comme ce n'étais pas le cas j'en ai relancé un autre; bref.

Maintenant soit x^u un système de coordonées (ou u va de 0 à 3.). soit l'application base : M -> e_i posons :

Pièce jointe 222797

Ca veut dire que lorsque mon point M(mobile.). change de position, si sa kième coordonée varie de dx^k on pose les symboles de Christoffel comme si dessus. On a donc :

christoffelmetrique1.gif

Cristoffel2.gif


A la fin on ne peut "barré" les termes que si il y a symetrie

g_lk * R_ij ^l = g_lk * R_ji ^l

<=>

R_ij ^l = R_ji ^l


Ai je tors?

En outre, quand on a

variationvecteurbase0.gif

C'est que l'on pose l'égalité comme ça? Cela veut il dire que l'on pose les symboles de Christoffel comme vérifiant cette égalité?


Merci d'avance et bonne soirée.

PS : Amanuensis merci pour l'éclairante métaphore de l'avion pour les Espace Vectoriel Tangeant.

Les R désigne les symboles de christoffel et pas le tenseur de Ricci ou le tenseur de Rieman.

[albanxiii]

Bonjour,

et désolez albanxiii,

Ne soyez pas désolé pour moi, mais plutôt pour la charte que vous ne respectez pas.

@+

ps : votre orthographe, entre autres, vous discrédite...

[benjgru]

Bonjour,

je déterre ce topic pour savoir si on peut trouver une interprétation "cinématique " des symboles de Christoffel, par exemple en coordonnées polaires ?

par exemple Gamma (theta r theta) = 1/r
Gamma (r theta theta) -r


ça doit bien correspondre à une dérivée selon un vecteur non ?
j'ai essayé de faire un dessin, mais je n'ai rien "vu" ...!

D'avance merci.

PS je me suis aidé de ce cours mais il me semble qu' il ya une erreur: aucun symbole de Christoffel ne vaut -1/r il me semble...

http://astro.physics.free.fr/RG/05.pdf

[benjgru]

Personne ne s'intéresse (encore) à cette question ?