électromagnétisme et relat générale

[benjgru]

Bonjour,
est-ce que le tenseur du champ électromagnétique, qui est issu de la relativité restreinte, est toujours valable en relativité générale ?
Dit autrement est-il un invariant relativiste ?
Merci.
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[Amanuensis]

J'imagine que vous voulez parler des équations différentielles que respectent le champ de tenseur?

Le champ de tenseur reste définissable de la même manière, le groupe d'invariance local de la RG étant le même qu'en RR (le groupe de Lorentz).

Par ailleurs, qu'appelez-vous un "invariant relativiste" en RG?

[benjgru]

En effet "invariant relativiste" est très mal choisi !
je me demandais en fait si la structure du tenseur était respectée , avec les termes du type Ex /c, By, etc, car que signifient x et y dans un espace courbe décrit par des coordonnées curvilignes ? je l'ignore...d'où ma question.

[Amanuensis]

En effet "invariant relativiste" est très mal choisi !
je me demandais en fait si la structure du tenseur était respectée , avec les termes du type Ex /c, By, etc, car que signifient x et y dans un espace courbe décrit par des coordonnées curvilignes ? je l'ignore...d'où ma question.

La même question se pose pareil en espace-temps plat. Si on prend un "point" (un événement), le tenseur e.m. en ce point est indépendant de tout système de coordonnées (en tant qu'objet "géométrique"). La signification des composantes dépend du choix de système de coordonnées. Si c'est un système orthonormé (localement) (1), alors on aura les significations "classiques", et ce aussi bien en RR qu'en RG.

(1) Matrice de la métrique égale à diag(1, -1, -1, -1) par exemple.

Si le système n'est pas orthonormé, c'est plus compliqué, mais c'est pareil en RR. Disons qu'en RR on travaille plus rarement avec des systèmes autres que "classiques"!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Précision : du fait du principe d'équivalence (formulation moderne : en tout point d'une variété riemannienne décrivant l'espace-temps, l'espace-temps tangent est l'espace-temps de Minkowski. Ou plus "clairement" : en tout point il existe un système de coordonnées où la RR s'applique localement = coordonnées attachées aux repères en chute libre) le passage des équations valables en RR à la RG consiste simplement à remplacer les dérivées ordinaires par les dérivées covariantes (adaptées à un espace-temps courbe).

Le "simplement" est à prendre avec deux pincettes : les équations obtenues sont plus compliquées et ce remplacement peut parfois poser quelques petites difficultés techniques.

Cela montre que le passage à la RG est assez naturel.

Mais attention, un modèle physique ne se réduit pas à des équations. Par exemple, en théorie quantique des champs, le passage à des équations différentielles valables en RG est aisé, mais la définition des états et de l'espace de Fock c'est franchement se taper la tête dans les murs.

[benjgru]

ok merci à vous.
En fait je me pose la question du mouvement d'une particule massive chargée soumise à la force de Lorentz dans un espace courbe...
mais je crois que c'est vraiment très ardu !!

[Amanuensis]

Je m'étais posé un peu la même question. En partant de l'idée que la solution en espace-temps plat pour le potentiel généré par une charge est de la forme

charge x transportée parallèle de la 4-vitesse de la source / durée du trajet selon la source

on pourrait avoir la même chose en espace-temps courbe. Au détail près qu'il peut y avoir plusieurs chemins de genre nul entre la source et la cible alors qu'il n'y en qu'un en RR. Et qu'il y a peut-être un effet de "concentration" (l'angle solide de la cible "vu" de la source n'est pas uniforme comme en espace-temps plat). [Source et cible sont ici des événements...]

Ce sont des spéculations miennes à partir du potentiel de Liénard, pas des idées venant de lectures sur la RG. Je suis preneur de "bonnes lectures" si possible développant des idées du genre ce qui précède...

[benjgru]

charge x transportée parallèle de la 4-vitesse de la source / durée du trajet selon la source

d'où vient cette expression ? c'est pas "masse" plutôt que "charge" pour retrouver le PFD ?

[Amanuensis]

c'est pas "masse" plutôt que "charge" pour retrouver le PFD ?

Non, il s'agit du potentiel électromagnétique générée par une charge ponctuelle. À rapprocher du potentiel électro-statique généré par une charge ponctuelle, q/r, où q est la charge générant le champ (hors convention de signe et constante dimensionnante).

[Rincevent]

Bonjour

C'est effectivement un sujet assez complexe, en particulier en raison de la self-force qui apparaît (en quelque sorte le champ de gravitation affecte le champ électromagnétique créé par la charge qui agit sur elle en retour). Voir par exemple The Motion of Point Particles in Curved Spacetime par E. Poisson.

[benjgru]

Merci pour le doc.
Pour ce qui est du mouvement de la particule, peut-on réécrire l'équation des géodésiques de la RG avec un 2nd membre non-nul ? en l'occurrence = q* le tenseur électromagnétique?
d'où ma question initiale...

[Rincevent]

À deux-trois subtilités près, l'équation des géodésiques ce n'est rien d'autre que Donc oui, il suffit de rajouter dans le membre de droite la force de Lorentz (qui n'est pas exactement q x T).

[Amanuensis]

J'ai lu quelque part que la force de Lorentz n'est pas qT même en "classique", parce que cela ne prend en compte que l'effet du champ sur la charge, et ignore la réaction entre champ et charge due à l'action de la charge sur le champ. (Non respect de la conservation locale de l'énergie-quantité de mouvement.)

Est-ce à cela que réfère le "pas exactement" ?

[Rincevent]

disons qu'il y a un problème d'homogénéité : q T n'a pas la dimension d'une variation temporelle de quantité de mouvement (ou de sa densité).

en fait je vois pas trop à quoi fait référence ce que tu dis...

voici un bref résumé de la situation : la force de Lorentz F_l est ce qui traduit (du point de vue d'un système chargé) l'échange de quantité de mouvement entre ce système (une particule ici) et le champ EM. Or, pour ce dernier cette grandeur est associée au vecteur de Poynting (avec une approche non-covariante qui sépare espace et temps, sinon c'est évidemment le T du champ EM qu'il faut utiliser) donc en pratique tu as en quelque sorte

où p est la quantité de mouvement de la particule, le vecteur de Poynting et le tenseur des contraintes de Maxwell (je te laisse voir ce qu'il faudrait corriger pour ne pas avoir d'un côté une densité et de l'autre une quantité totale, ainsi que l'analogie avec la mécanique des milieux continus... et si tu veux t'amuser, essaie de montrer ça à partir des équations de Maxwell... ce n'est pas dur même s'il y a quelques astuces dans le calcul... qu'il soit fait de manière covariante ou pas).

Si tu écris l'équation similaire pour l'énergie (ce que l'on nomme parfois le théorème de Poynting, quand on se place avant tout du point de vue du champ EM), tu obtiens la 4ème équation cachée derrière la conservation covariante du tenseur T total, T = T_particule + T_EM, équation que l'on peut effectivement écrire sous la forme .

La force n'est donc un truc qui n'a de sens que si on découpe le système total en d'un côté le champ EM et de l'autre le reste... ce qui est naturel avec une approche lagrangienne si tu considères indépendamment les variations par rapport aux degrés de liberté de chaque sous-système (comme dans les équations d'Euler-Lagrange) mais pas vraiment si tu raisonnes en terme de loi de conservation pour un "système total".

À toi de voir si tu penses que c'est à cela que faisait référence le texte que tu avais lu...

[Amanuensis]

en fait je vois pas trop à quoi fait référence ce que tu dis...

Cela par exemple : http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/E...s/node153.html

(Texte que j'ai découvert suite à indication de ta part, merci encore.)

Ma reformulation était sûrement incorrecte, désolé.

À toi de voir si tu penses que c'est à cela que faisait référence le texte que tu avais lu...

Peut-être, pas évident d'entrée, ni pour, ni contre.

[benjgru]

La force de Lorentz F = q (E+v^B) n'est qu'un approximation classique alors ?
De toutes façons ça ne m'étonne pas si on veut traiter le problème dans son intégralité il faut travailler dans le cadre de la théorie quantique des champs...à laquelle je ne comprends pas grand chose...!

[bobdémaths]

Bonjour,

La force de Lorentz F = q (E+v^B) n'est qu'un approximation classique alors ?
De toutes façons ça ne m'étonne pas si on veut traiter le problème dans son intégralité il faut travailler dans le cadre de la théorie quantique des champs...à laquelle je ne comprends pas grand chose...!

En effet, ce n'est qu'une approximation, puisque le concept même de force est un concept classique ! Dans la théorie quantique des champs, l'objet de base est le lagrangien, qui contient un potentiel (c'est lui qui donne, quand on le dérive, le champ de force). Mais tout l'objet est justement de quantifier ce potentiel, et le concept de force n'est alors plus pertinent.

[Amanuensis]

Le point est plus subtil que ça, il me semble.

Les équations de Maxwell, sous la forme dF=0, d*F=J, restent valables en espace-temps courbe.

On peut définir la 4-force , et alors la partie spatiale, une fois choisi un référentiel, est bien la force "classique". La question est si [Eq. 1] reste valide pour une particule test.

Au passage, j'ai fait un quiproquo dans la lecture des messages. Dans le message #3, il semble clair que benjgru parle du tenseur F, du "tenseur électromagnétique" (cause la forme des composantes), et j'avais lu le q x T dans le message #11 comme , suivant le terme utilisé ("tenseur électromagnétique") plutôt que la notation. Mais Rincevent a interprété T comme le tenseur énergie-impulsion du champ, il me semble.

Or, comme l'indique Rincevent, on peut utiliser la conservation de l'énergie-impulsion comme autre approche pour obtenir l'équation du mouvement, en annulant la divergence de la somme du tenseur énergie-impulsion des charges et du tenseur énergie-impulsion électromagnétique T. Mais si je comprends bien, on obtient une équation équivalente à [Eq. 1] pour une particule test.

Je suis un peu perdu, me demandant maintenant si le "pas exactement" n'était pas lié au (potentiel) quiproquo entre F et T.

Par ailleurs, en espace-courbe, l'équation de mouvement est modifiée pour une particule autre que particule-test, parce qu'une telle particule affecte gravitationnellement sa propre trajectoire, ainsi que le champ électromagnétique.

Enfin, je référais à un problème qui (après examen) a l'air différent, à savoir que la force de Lorentz, ainsi que la conservation de l'énergie-impulsion, ne parlent que de l'action du champ sur les charges (on prend le champ fixé, et on regarde l'effet sur le mouvement des charges). Or le mouvement des charges affecte le champ (on prend le mouvement des charges fixé, et on regarde l'effet sur le champ). Qu'obtient-on si on combine les deux? La question se pose aussi bien en classique, en espace-temps plat et en espace-temps courbe, mais pourrait avoir des réponses différentes selon le cas?

[benjgru]

Comment est construit le tenseur énergie-impulsion électromagnétique ? avec le vecteur de Pontying je suppose ?
et le tenseur énergie impulsion d'une charge est-il le même que celui d'une masse non chargée ?

[benjgru]

Le point est plus subtil que ça, il me semble.


Par ailleurs, en espace-courbe, parce qu'une telle particule affecte gravitationnellement sa propre trajectoire, ainsi que le champ électromagnétique.

oui y a une "rétroaction gravitationnelle"...va falloir faire une théorie de la renormalisation gravitationnelle alors pour s'en sortir !

[Amanuensis]

Comment est construit le tenseur énergie-impulsion électromagnétique ? avec le vecteur de Pontying je suppose ?

Pas seulement. Il y a les infos de base là: http://en.wikipedia.org/wiki/Electro...-energy_tensor, ou là : http://en.wikipedia.org/wiki/Covaria...ectromagnetism

et le tenseur énergie impulsion d'une charge est-il le même que celui d'une masse non chargée ?

Oui, si on ne couvre que l'aspect "cinétique".

[Amanuensis]

oui y a une "rétroaction gravitationnelle"...va falloir faire une théorie de la renormalisation gravitationnelle alors pour s'en sortir !

Je ne pense pas, cela ne fait pas apparaître d'infini, si?

Pour moi, c'est "juste" que les équations ne sont plus linéaires...

[benjgru]

En effet, je n'en sais rien. Cependant, vu la similarité avec l'électrodynamique ( le champ d'un électron agit sur lui-même) cela ne m'étonnerait guère ! Mais cela reste à prouver...