Help : solution du problème à N corps

[hclatomic]

Bonjour,

Pouvez-vous m'expliquer où je fais une erreur car un raisonnement me tarabuste et me donne immanquablement la solution du problème à N corps.

Le problème à N corps consiste à déterminer la trajectoire d'une particule test confrontée à N-1 autres corps de masses quelconques et disparates. Poincaré a démontré qu'en utilisant les lois de Newton la formulation mathématique de ce problème ne possède aucune solution analytique connue. Bien sûr on parvient tout de même, dans certains cas particulier (points de Lagrange, trajectoire en huit de Chenciner et Mongomery, ...), à résoudre le problème à 3 corps, et même plus parfois mais toujours avec des techniques non analytiques.

L'expérience montre pourtant que la solution du problème à N corps est une conique keplerienne : cercle, ellipse, parabole ou hyperbole respectant la loi des aires (seconde loi de Kepler).
En effet tous les astres repérés dans l'univers jusqu'à présent (étoiles, planètes, astéroïdes, comètes, satellites, ...) suivent tous, sans exception, une conique keplerienne. Si je prends l'un de ces corps comme particule test, force est de reconnaître qu'il possède un mouvement keplerien. Par conséquent la solution du problème à N corps est une conique keplerienne. Il reste certes à déterminer son paramètre, son excentricité et son orientation mais la forme de la trajectoire est évidente : une conique keplerienne.

Mon raisonnement ne peut être faux que si les données expérimentales sont fausses, ou au moins non représentatives de la réalité. Et dans ce cas nous serions en plein paradoxe physique.

J'aimerais donc votre avis sur cela car je dois bien vous avouer mon trouble.

Cordialement
Hervé
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[Amanuensis]

Pas un seul astre connu n'a une orbite qui serait exactement une conique képlerienne.

Les orbites sont souvent, en première approximation, des coniques képleriennes, et encore: en général dans un référentiel accéléré particulier.

Suffit de commencer par la Lune pour réaliser l'horrible complexité de son orbite autour du Soleil (sic).

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Si je ne me trompe pas, il me semble que la très grande majorité des systèmes planétaires observés sont constitués de planètes dont l'influence gravitationnelles des unes sur les autres peuvent être négligées (en première approximation).
En effet, la plupart du temps, les planètes sont "loin" les unes des autres et/ou la masse de l'étoile centrale dépasse largement la somme des masses du reste du système.
La détermination de la trajectoire d'une planète peut être alors réduit approximativement à un problème à deux corps (la planète et son étoile).

Il y a bien sur le cas des satellites, signalé par Amanuensis. Dans la plupart des cas, la masse du satellite est très petite en face de celle de sa planète (par exemple les satellites de Jupiter ou de Saturne); de sorte que leurs trajectoires soit approximativement une orbite de Kepler (dans le référentiel accéléré de la planète). Il est clair que l'orbite du satellite dans le référentiel centré sur l'étoile est plus compliquée.

Je crois avoir lu quelque part, que l'un ou l'autre système planètes+étoile a trois corps a été découvert, mais il me semble que la plupart de ces systèmes sont instables (une planète finira par se faire éjecter du système ou reléguée à une orbite plus lointaine/plus proche de l'étoile).

[LPFR]

Bonjour.
D'abord, descendons un peu Kepler de son piédestal.
On a tendance à présenter Kepler comme l'inventeur des Lois de Newton.
Les lois de Kepler ne sont valables que pour des planètes dont la masse est négligeable par rapport à l'étoile centrale et quand l'interaction entre les planètes est négligeable. Les lois de Kepler ne sont même pas valables pour la Lune.
La trajectoire d'un objet dans le problème de N-corps, n'est jamais une ellipse (sauf pour N = 1 ou 2).
Comme Amanuensis a dit, aucune planète n'a une orbite strictement elliptique.
C'est à partir de ces déviations de l'orbite "idéale" d'Uranus que Le Verrier calcula (sans calculettes ni ordinateur) la position d'une planète inconnue: Neptune.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hclatomic]

Oui, vous avez raison, j'aurai du ajouter "en première approximation" car en plus du mouvement keplerien stricto sensus il y a d'autres mouvements (précession, nutation, ...). Mais ces mouvements supplémentaires sont de faible amplitude au regard de la trajectoire principale qui est keplerienne.

Oui il faut rappeler effectivement que Kepler n'est pas le découvreur de ce qu'a découvert Newton. En fait c'est Newton qui est parvenu à expliquer les lois de Kepler grâce à son hypothèse de gravitation universelle.

Il me semble néanmoins que les lois de Kepler ne s'appliquent pas uniquement à des objets de masse faible orbitant autours d'objets lourds, pour preuve les systèmes d'étoiles binaires qui sont légion dans l'univers. Une telle restriction n'apparaît d'ailleurs dans aucun cours de mécanique.

[LPFR]

...
Il me semble néanmoins que les lois de Kepler ne s'appliquent pas uniquement à des objets de masse faible orbitant autours d'objets lourds, pour preuve les systèmes d'étoiles binaires qui sont légion dans l'univers. Une telle restriction n'apparaît d'ailleurs dans aucun cours de mécanique.

Re.
La première loi dit (wikipedia):
Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil occupe l'un des foyers.
Dans le cas des étoiles binaires ou du système Terre-Lune, le foyer des ellipses est le centre de masses du système et non l'autre corps.
A+

[hclatomic]

Deux astres en interaction gravitationnelle tournent toujours tous deux autour de leur centre de masse commun. Si l'un d'eux est beaucoup plus lourd que l'autre le centre masse est presque situé sur le centre de l'objet le plus lourd, mais pas tout à fait (système Soleil/Terre par exemple). Ainsi l'objet le plus lourd tourne lui aussi autour du centre de masse, c'est d'ailleurs grâce à ce mouvement qu'on détecte les exoplanètes.

[LPFR]

Deux astres en interaction gravitationnelle tournent toujours tous deux autour de leur centre de masse commun. Si l'un d'eux est beaucoup plus lourd que l'autre le centre masse est presque situé sur le centre de l'objet le plus lourd, mais pas tout à fait (système Soleil/Terre par exemple). Ainsi l'objet le plus lourd tourne lui aussi autour du centre de masse, c'est d'ailleurs grâce à ce mouvement qu'on détecte les exoplanètes.

Re.
Donc, exit Kepler et ses lois. Vive Newton.
A+

[mariposa]

L'expérience montre pourtant que la solution du problème à N corps est une conique keplerienne : cercle, ellipse, parabole ou hyperbole respectant la loi des aires (seconde loi de Kepler).

Bonjour,

Non ceci est totalement faux. La solution problème à N corps n' a rien à voir les orbites Keplerienne. Les orbites Kepleriennes sont des solutions pour le problème A 2 corps (pas plus) de 2 masses ponctuelles.