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Combinaison de deux transformations de Lorentz



  1. #1
    belette27

    Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Bonjour à tous,

    Quelqu'un pourrait me montrer comment faire une combinaison de deux transformations de Lorentz dont le résultat serait une encore une transformation de Lorentz?
    Merci pour vos réponses!

    -----


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  3. #2
    invite02232301

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Bonjour,
    Étant donne que par définition la composition de deux transfo de Lorentz en est une troisième, je ne vois pas bien ce que tu veux.
    Si je ne vous repond pas, c'est que vous etes dans ma liste d'ignoré. Thx, bye.

  4. #3
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    J'aimerai un exemple concret qui montre tout celà

  5. #4
    Amanuensis

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par MiPaMa Voir le message
    Étant donne que par définition la composition de deux transfo de Lorentz en est une troisième, je ne vois pas bien ce que tu veux.
    Euh... Dans la littérature courante, "transformation de Lorentz" réfère à un boost, et non un élément quelconque du groupe de Lorentz (e.g., on ne trouve jamais ou presque une rotation spatiale présentée comme une "transformation de Lorentz"). Et la combinaison de deux boosts n'est pas nécessairement un boost, loin de là.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  6. #5
    Amanuensis

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Quelqu'un pourrait me montrer comment faire une combinaison de deux transformations de Lorentz dont le résultat serait une encore une transformation de Lorentz?
    [réponse supposant que "transformation de Lorentz" = boost, aka rotation hyperbolique]

    Il suffit (et il faut, il me semble) qu'elles aient le même plan spatial invariant élément par élément.
    Dernière modification par Amanuensis ; 21/12/2013 à 16h54.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Je me suis certainement mal exprimé.
    J'aimerai obtenir un exemple concret qui me montrerait comment deux transformation de lorentz vont en former une troisième.
    Tout ceci en utilisant la transformation:

    x' = (x+ v.t)/√(1 - v^2/c^2 )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c^2 )/√(1 - v^2/c^2 )

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  10. #7
    mariposa

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Bonjour à tous,

    Quelqu'un pourrait me montrer comment faire une combinaison de deux transformations de Lorentz dont le résultat serait une encore une transformation de Lorentz?
    Merci pour vos réponses!
    Bonsoir,

    Dans les transformations de Lorentz (qui forment un groupe) il y a les compositions des rotations dont tu sais qu'elles donnent une autre rotation (c'est le sous- groupe SO(3) en ne raisonnant que les transformations de rotation propre)

    Pour les autres type de transformations (boost-boost et rotation boost) il faut prendre pour chaque transformation sa representation matricielle et donc faire un produit de matrices et verfier que ce produit est bien une transformation de Lorentz. Pour simplifier les calculs il suffit de faire une transformation dans un plan.

  11. #8
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Bonsoir,

    Dans les transformations de Lorentz (qui forment un groupe) il y a les compositions des rotations dont tu sais qu'elles donnent une autre rotation (c'est le sous- groupe SO(3) en ne raisonnant que les transformations de rotation propre)

    Pour les autres type de transformations (boost-boost et rotation boost) il faut prendre pour chaque transformation sa representation matricielle et donc faire un produit de matrices et verfier que ce produit est bien une transformation de Lorentz. Pour simplifier les calculs il suffit de faire une transformation dans un plan.
    Bonsoir,
    Vous n'auriez pas un exemple qui fonctionne avec la transformation:
    x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

  12. #9
    invite02232301

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Euh... Dans la littérature courante, "transformation de Lorentz" réfère à un boost, et non un élément quelconque du groupe de Lorentz (e.g., on ne trouve jamais ou presque une rotation spatiale présentée comme une "transformation de Lorentz"). Et la combinaison de deux boosts n'est pas nécessairement un boost, loin de là.
    Mmh, pour moi une transformation de Lorentz c'est un élément quelconque du groupe de Lorentz. C'est par exemple défini comme ça ici. Après je ne sais pas ce qu'entend l'op exactement.
    Si je ne vous repond pas, c'est que vous etes dans ma liste d'ignoré. Thx, bye.

  13. #10
    Amanuensis

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par MiPaMa Voir le message
    Mmh, pour moi une transformation de Lorentz c'est un élément quelconque du groupe de Lorentz. C'est par exemple défini comme ça
    Par "courante" j'entendais "le plus couramment" (et en particulier dans le langage des non pros...). C'est l'ambiguïté que je pointais ; j'aurais pensé que cela aurait été compris. Je n'argumente pas pour défendre une "opinion normative".

    Après je ne sais pas ce qu'entend l'op exactement.
    Ne sachant pas, en répondant message #2, vous avez fait un pari...
    Dernière modification par Amanuensis ; 21/12/2013 à 17h24.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  14. #11
    invite02232301

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Bonsoir,
    Vous n'auriez pas un exemple qui fonctionne avec la transformation:
    x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )
    Reapplique ta formule a (x', y', z', t') en changeant v en v' et tu devrais trouver les même relation entre x (resp t) et x'' (resp t'') avec un v'' qui vaut la composition de v et v' au sens relativiste i.e v+v'/1+vv'
    Si je ne vous repond pas, c'est que vous etes dans ma liste d'ignoré. Thx, bye.

  15. #12
    Amanuensis

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Bonsoir,
    Vous n'auriez pas un exemple qui fonctionne avec la transformation:
    x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )
    Comme indiqué plus tôt suffit de partager le même plan spatial invariant, soit ici le plan (y, z). Un candidat est donc tout simplement elle-même.

    Edit: croisement, je laisse mon message quand même
    Dernière modification par Amanuensis ; 21/12/2013 à 17h28.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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  17. #13
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Bonsoir,

    Dans les transformations de Lorentz (qui forment un groupe) il y a les compositions des rotations dont tu sais qu'elles donnent une autre rotation (c'est le sous- groupe SO(3) en ne raisonnant que les transformations de rotation propre)

    Pour les autres type de transformations (boost-boost et rotation boost) il faut prendre pour chaque transformation sa representation matricielle et donc faire un produit de matrices et verfier que ce produit est bien une transformation de Lorentz. Pour simplifier les calculs il suffit de faire une transformation dans un plan.
    Bonsoir,

    Je recherche un exemple simple qui fonctionne en partant de la transformation:
    x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

    Du genre:
    Vue du référentiel S1 on trouve pour un évènement A une vitesse v1 et x1;y1; z1 et t1
    Vue du référentiel S2 on trouve pour le même évènement A une vitesse v2 et x2;y2; z2 et t2

    Et que la combinaison des référentiels S1 et S2 nous permette de retrouver une transformation de Lorentz

  18. #14
    mariposa

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Bonsoir,
    Vous n'auriez pas un exemple qui fonctionne avec la transformation:
    x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

    Ce que tu as ecrits c'est une seule transformation de Lorentz qui te fait passer des coordonnées initiales aux cordonnées primées. Apres ça il faut que tu choissises une deuxieme transformation de Lorentz qui te fait passer des coordonnées primées a des coordonnées doublement primées.

    Tu ecrits les 2 transformations sous formes matricielles et tu fais le produit que tu donnes la transformée de Lorentz des coordonnées initiales aux coordonnées doublement primées. Par identification du produit matriciel tu dois reconnaitre qu il s'agit bien d'une transformée de Lorentz.

    Si tu as des difficultés techniques il faut d'entrainer a composer dans le plan le produit de 2 rotations ( produit de 2 matrices 2*2

  19. #15
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Ce que tu as ecrits c'est une seule transformation de Lorentz qui te fait passer des coordonnées initiales aux cordonnées primées. Apres ça il faut que tu choissises une deuxieme transformation de Lorentz qui te fait passer des coordonnées primées a des coordonnées doublement primées.

    Tu ecrits les 2 transformations sous formes matricielles et tu fais le produit que tu donnes la transformée de Lorentz des coordonnées initiales aux coordonnées doublement primées. Par identification du produit matriciel tu dois reconnaitre qu il s'agit bien d'une transformée de Lorentz.

    Si tu as des difficultés techniques il faut d'entrainer a composer dans le plan le produit de 2 rotations ( produit de 2 matrices 2*2
    Bonsoir,


    Il me faudrait un exemple sans utiliser les matrices mais simplement la transformation :

    x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

  20. #16
    Amanuensis

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )
    Prenez

    x" = (x'+ v.t')/√(1 - v²/c² )
    y" = y'
    z" = z'
    t" = (t'+ (v.x')/c² )/√(1 - v²/c² )

    et combinez avec l'autre (i.e., exprimez t", x" etc en fonction de t, x etc)
    Dernière modification par Amanuensis ; 21/12/2013 à 17h42.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  21. #17
    mariposa

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Bonsoir,

    Je recherche un exemple simple qui fonctionne en partant de la transformation:
    x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

    Du genre:
    Vue du référentiel S1 on trouve pour un évènement A une vitesse v1 et x1;y1; z1 et t1
    Vue du référentiel S2 on trouve pour le même évènement A une vitesse v2 et x2;y2; z2 et t2

    Et que la combinaison des référentiels S1 et S2 nous permette de retrouver une transformation de Lorentz
    Non ce n'est pas ča. avec tes notations tu as un referentiel x°, y°, z°, t° et 2 autres referentiels indicés avec des 1 des 2,
    Il n' y a pas de vitesses. Les vitesses, de meme que les angles interviennent dans les matrices de transformations qui te font passer d'un repere a un autre. Soit:

    du repere R° au repere R1 tu as une matrice M1 4.4, de même du repere R1 au repere R2 tu as une matrice M2 4.4.

    tu fais le produit desmatrices M1 par M2 et tu obients une matrice M qui represente la composition de transformations de Lorentz. qui reprsente le passage du repere R° au repere R2

  22. #18
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par MiPaMa Voir le message
    Reapplique ta formule a (x', y', z', t') en changeant v en v' et tu devrais trouver les même relation entre x (resp t) et x'' (resp t'') avec un v'' qui vaut la composition de v et v' au sens relativiste i.e v+v'/1+vv'
    Ok pour réappliquer (x', y', z', t') en changeant v en v' , mais le reste va trop vite (je ne comprend pas resp t...)

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  24. #19
    invite02232301

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Fais le calcul tu verras bien.
    Si je ne vous repond pas, c'est que vous etes dans ma liste d'ignoré. Thx, bye.

  25. #20
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Prenez

    x" = (x'+ v.t')/√(1 - v²/c² )
    y" = y'
    z" = z'
    t" = (t'+ (v.x')/c² )/√(1 - v²/c² )

    et combinez avec l'autre (i.e., exprimez t", x" etc en fonction de t, x etc)
    Désolé, je ne comprend pas ce que vous voulez direi.e., exprimez t", x" etc en fonction de t, x etc)
    Merci pour votre patience...

  26. #21
    mariposa

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    @ Belette 27.

    Il me semble que ce qui te manques c'est la philosophie du probleme.

    Donc en complement il faut remarquer que tu as 3 reperes noté R°,R1, R2 et 2 transformations T1 et T2 qui se composent sous laforme d'un produit T1.T2 = T et cette derniere transformation te faispasserde R° a R2.

  27. #22
    ordage

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Je me suis certainement mal exprimé.
    J'aimerai obtenir un exemple concret qui me montrerait comment deux transformation de lorentz vont en former une troisième.
    Tout ceci en utilisant la transformation:

    x' = (x+ v.t)/√(1 - v^2/c^2 )
    y' = y
    z' = z
    t' = (t+ (v.x)/c^2 )/√(1 - v^2/c^2 )
    Salut
    Si par transformation de Lorentz tu entends "boost" (ce qui est restrictif) , le plus simple c'est le cas où les boosts sont parallèles.
    Par rapport à un référentiel R0, tu définis un référentiel R1 animé d'une vitesse V1 par rapport à R0 et tu considère un référentiel R2 animé d'une vitesse V2 (vecteur parallèle à V1) par rapport à R1, le résultat est une vitesse V3 (composition relativiste des vitesses parallèles V1 et V2) de R2 par rapport à R0.

    Par contre si tu prends deux transformations de Lorentz quelconques (chacune étant une composition de boost et de rotation) le résultat est bien une transformation de Lorentz mais son calcul peut être délicat. Cf "Gravitation" p. 1144-1145

    Cordialement

  28. #23
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    @ Belette 27.

    Il me semble que ce qui te manques c'est la philosophie du probleme.

    Donc en complement il faut remarquer que tu as 3 reperes noté R°,R1, R2 et 2 transformations T1 et T2 qui se composent sous laforme d'un produit T1.T2 = T et cette derniere transformation te faispasserde R° a R2.
    Vous avez tout à fait raison monsieur.
    Pouvez-vous me détailler la façon de faire le produit T1.T2 pour obtenir T
    Merci d'avance

  29. #24
    mariposa

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Vous avez tout à fait raison monsieur.
    Pouvez-vous me détailler la façon de faire le produit T1.T2 pour obtenir T
    Merci d'avance
    La premiere a faire est d'ecrire la matrice T1

    pour faire cela tu presentes les 2 reperes comme une matrice colonne que j'appelle C° et C1.

    a l'aide des formules que tu as ecrites tu fais apparaitre la matrice M1 4 par 4 tel que:

    C1 = M1.C°


    La vitesse apparait bien sur dans la matrice M1.


    A toi le crayon!

  30. Publicité
  31. #25
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    La premiere a faire est d'ecrire la matrice T1

    pour faire cela tu presentes les 2 reperes comme une matrice colonne que j'appelle C° et C1.

    a l'aide des formules que tu as ecrites tu fais apparaitre la matrice M1 4 par 4 tel que:

    C1 = M1.C°


    La vitesse apparait bien sur dans la matrice M1.


    A toi le crayon!
    Est-il possible de m'expliquer ce problème sans utiliser de matrices ?
    merci pour votre patience!!!!!

  32. #26
    mariposa

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Est-il possible de m'expliquer ce problème sans utiliser de matrices ?
    merci pour votre patience!!!!!
    Les matrices ne sont pas faites pour complexifier le probleme mais le simplifier. Peux-étre n'as-tu jamais fais de cacul matriciel!

    De toute façon pour resoudre ton probleme il faut d'abord s'entrainer a effectuer des rotations dans le plan ( une rotation dans le plan est une version simplifiée d'une transformation de Lorentz).

    Donc sais-tu faire le produit de 2 transformations dansle plan?

  33. #27
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Les matrices ne sont pas faites pour complexifier le probleme mais le simplifier. Peux-étre n'as-tu jamais fais de cacul matriciel!

    De toute façon pour resoudre ton probleme il faut d'abord s'entrainer a effectuer des rotations dans le plan ( une rotation dans le plan est une version simplifiée d'une transformation de Lorentz).

    Donc sais-tu faire le produit de 2 transformations dansle plan?
    Non je ne sais pas faire ce produit...

  34. #28
    belette27

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Les matrices ne sont pas faites pour complexifier le probleme mais le simplifier. Peux-étre n'as-tu jamais fais de cacul matriciel!

    De toute façon pour resoudre ton probleme il faut d'abord s'entrainer a effectuer des rotations dans le plan ( une rotation dans le plan est une version simplifiée d'une transformation de Lorentz).

    Donc sais-tu faire le produit de 2 transformations dansle plan?
    Je ne connais pas du tout le calcul matriciel, c'est pour cette raison que je demandais s'il était possible de m'expliquer mon problème uniquement en utilisant la transformation de Lorentz...

  35. #29
    mariposa

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Citation Envoyé par belette27 Voir le message
    Je ne connais pas du tout le calcul matriciel, c'est pour cette raison que je demandais s'il était possible de m'expliquer mon problème uniquement en utilisant la transformation de Lorentz...
    La transformée de Lorentz c'est une matrice!

  36. #30
    invite02232301

    Re : Combinaison de deux transformations de Lorentz

    Tu n'as pas besoin de calcul matriciel. Écris simplement x' en fonction de x et t (ça tu l'as déjà fait) écris x'' en fonction de x' et t' (même relation en remplaçant v par v' ou même en gardant le même v si tu veux) puis exprime x'' en fonction de x et t et regarde.
    Si je ne vous repond pas, c'est que vous etes dans ma liste d'ignoré. Thx, bye.

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