Combinaison de deux transformations de Lorentz

[invite9e429388]

Bonjour à tous,

Quelqu'un pourrait me montrer comment faire une combinaison de deux transformations de Lorentz dont le résultat serait une encore une transformation de Lorentz?
Merci pour vos réponses!
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Étant donne que par définition la composition de deux transfo de Lorentz en est une troisième, je ne vois pas bien ce que tu veux.

[invite9e429388]

J'aimerai un exemple concret qui montre tout celà

[Amanuensis]

Étant donne que par définition la composition de deux transfo de Lorentz en est une troisième, je ne vois pas bien ce que tu veux.

Euh... Dans la littérature courante, "transformation de Lorentz" réfère à un boost, et non un élément quelconque du groupe de Lorentz (e.g., on ne trouve jamais ou presque une rotation spatiale présentée comme une "transformation de Lorentz"). Et la combinaison de deux boosts n'est pas nécessairement un boost, loin de là.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Quelqu'un pourrait me montrer comment faire une combinaison de deux transformations de Lorentz dont le résultat serait une encore une transformation de Lorentz?

[réponse supposant que "transformation de Lorentz" = boost, aka rotation hyperbolique]

Il suffit (et il faut, il me semble) qu'elles aient le même plan spatial invariant élément par élément.

[invite9e429388]

Je me suis certainement mal exprimé.
J'aimerai obtenir un exemple concret qui me montrerait comment deux transformation de lorentz vont en former une troisième.
Tout ceci en utilisant la transformation:

x' = (x+ v.t)/√(1 - v^2/c^2 )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c^2 )/√(1 - v^2/c^2 )

[invite7ce6aa19]

Bonjour à tous,

Quelqu'un pourrait me montrer comment faire une combinaison de deux transformations de Lorentz dont le résultat serait une encore une transformation de Lorentz?
Merci pour vos réponses!

Bonsoir,

Dans les transformations de Lorentz (qui forment un groupe) il y a les compositions des rotations dont tu sais qu'elles donnent une autre rotation (c'est le sous- groupe SO(3) en ne raisonnant que les transformations de rotation propre)

Pour les autres type de transformations (boost-boost et rotation boost) il faut prendre pour chaque transformation sa representation matricielle et donc faire un produit de matrices et verfier que ce produit est bien une transformation de Lorentz. Pour simplifier les calculs il suffit de faire une transformation dans un plan.

[invite9e429388]

Bonsoir,

Dans les transformations de Lorentz (qui forment un groupe) il y a les compositions des rotations dont tu sais qu'elles donnent une autre rotation (c'est le sous- groupe SO(3) en ne raisonnant que les transformations de rotation propre)

Pour les autres type de transformations (boost-boost et rotation boost) il faut prendre pour chaque transformation sa representation matricielle et donc faire un produit de matrices et verfier que ce produit est bien une transformation de Lorentz. Pour simplifier les calculs il suffit de faire une transformation dans un plan.

Bonsoir,
Vous n'auriez pas un exemple qui fonctionne avec la transformation:
x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

[invite47ecce17]

Euh... Dans la littérature courante, "transformation de Lorentz" réfère à un boost, et non un élément quelconque du groupe de Lorentz (e.g., on ne trouve jamais ou presque une rotation spatiale présentée comme une "transformation de Lorentz"). Et la combinaison de deux boosts n'est pas nécessairement un boost, loin de là.

Mmh, pour moi une transformation de Lorentz c'est un élément quelconque du groupe de Lorentz. C'est par exemple défini comme ça ici. Après je ne sais pas ce qu'entend l'op exactement.

[Amanuensis]

Mmh, pour moi une transformation de Lorentz c'est un élément quelconque du groupe de Lorentz. C'est par exemple défini comme ça

Par "courante" j'entendais "le plus couramment" (et en particulier dans le langage des non pros...). C'est l'ambiguïté que je pointais ; j'aurais pensé que cela aurait été compris. Je n'argumente pas pour défendre une "opinion normative".

Après je ne sais pas ce qu'entend l'op exactement.

Ne sachant pas, en répondant message #2, vous avez fait un pari...

[invite47ecce17]

Bonsoir,
Vous n'auriez pas un exemple qui fonctionne avec la transformation:
x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

Reapplique ta formule a (x', y', z', t') en changeant v en v' et tu devrais trouver les même relation entre x (resp t) et x'' (resp t'') avec un v'' qui vaut la composition de v et v' au sens relativiste i.e v+v'/1+vv'

[Amanuensis]

Bonsoir,
Vous n'auriez pas un exemple qui fonctionne avec la transformation:
x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

Comme indiqué plus tôt suffit de partager le même plan spatial invariant, soit ici le plan (y, z). Un candidat est donc tout simplement elle-même.

Edit: croisement, je laisse mon message quand même

[invite9e429388]

Bonsoir,

Dans les transformations de Lorentz (qui forment un groupe) il y a les compositions des rotations dont tu sais qu'elles donnent une autre rotation (c'est le sous- groupe SO(3) en ne raisonnant que les transformations de rotation propre)

Pour les autres type de transformations (boost-boost et rotation boost) il faut prendre pour chaque transformation sa representation matricielle et donc faire un produit de matrices et verfier que ce produit est bien une transformation de Lorentz. Pour simplifier les calculs il suffit de faire une transformation dans un plan.

Bonsoir,

Je recherche un exemple simple qui fonctionne en partant de la transformation:
x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

Du genre:
Vue du référentiel S1 on trouve pour un évènement A une vitesse v1 et x1;y1; z1 et t1
Vue du référentiel S2 on trouve pour le même évènement A une vitesse v2 et x2;y2; z2 et t2

Et que la combinaison des référentiels S1 et S2 nous permette de retrouver une transformation de Lorentz

[invite7ce6aa19]

Bonsoir,
Vous n'auriez pas un exemple qui fonctionne avec la transformation:
x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

Ce que tu as ecrits c'est une seule transformation de Lorentz qui te fait passer des coordonnées initiales aux cordonnées primées. Apres ça il faut que tu choissises une deuxieme transformation de Lorentz qui te fait passer des coordonnées primées a des coordonnées doublement primées.

Tu ecrits les 2 transformations sous formes matricielles et tu fais le produit que tu donnes la transformée de Lorentz des coordonnées initiales aux coordonnées doublement primées. Par identification du produit matriciel tu dois reconnaitre qu il s'agit bien d'une transformée de Lorentz.

Si tu as des difficultés techniques il faut d'entrainer a composer dans le plan le produit de 2 rotations ( produit de 2 matrices 2*2

[invite9e429388]

Ce que tu as ecrits c'est une seule transformation de Lorentz qui te fait passer des coordonnées initiales aux cordonnées primées. Apres ça il faut que tu choissises une deuxieme transformation de Lorentz qui te fait passer des coordonnées primées a des coordonnées doublement primées.

Tu ecrits les 2 transformations sous formes matricielles et tu fais le produit que tu donnes la transformée de Lorentz des coordonnées initiales aux coordonnées doublement primées. Par identification du produit matriciel tu dois reconnaitre qu il s'agit bien d'une transformée de Lorentz.

Si tu as des difficultés techniques il faut d'entrainer a composer dans le plan le produit de 2 rotations ( produit de 2 matrices 2*2

Bonsoir,


Il me faudrait un exemple sans utiliser les matrices mais simplement la transformation :

x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

[Amanuensis]

x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

Prenez

x" = (x'+ v.t')/√(1 - v²/c² )
y" = y'
z" = z'
t" = (t'+ (v.x')/c² )/√(1 - v²/c² )

et combinez avec l'autre (i.e., exprimez t", x" etc en fonction de t, x etc)

[invite7ce6aa19]

Bonsoir,

Je recherche un exemple simple qui fonctionne en partant de la transformation:
x' = (x+ v.t)/√(1 - v²/c² )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c² )/√(1 - v²/c² )

Du genre:
Vue du référentiel S1 on trouve pour un évènement A une vitesse v1 et x1;y1; z1 et t1
Vue du référentiel S2 on trouve pour le même évènement A une vitesse v2 et x2;y2; z2 et t2

Et que la combinaison des référentiels S1 et S2 nous permette de retrouver une transformation de Lorentz

Non ce n'est pas ča. avec tes notations tu as un referentiel x°, y°, z°, t° et 2 autres referentiels indicés avec des 1 des 2,
Il n' y a pas de vitesses. Les vitesses, de meme que les angles interviennent dans les matrices de transformations qui te font passer d'un repere a un autre. Soit:

du repere R° au repere R1 tu as une matrice M1 4.4, de même du repere R1 au repere R2 tu as une matrice M2 4.4.

tu fais le produit desmatrices M1 par M2 et tu obients une matrice M qui represente la composition de transformations de Lorentz. qui reprsente le passage du repere R° au repere R2

[invite9e429388]

Reapplique ta formule a (x', y', z', t') en changeant v en v' et tu devrais trouver les même relation entre x (resp t) et x'' (resp t'') avec un v'' qui vaut la composition de v et v' au sens relativiste i.e v+v'/1+vv'

Ok pour réappliquer (x', y', z', t') en changeant v en v' , mais le reste va trop vite (je ne comprend pas resp t...)

[invite47ecce17]

Fais le calcul tu verras bien.

[invite9e429388]

Prenez

x" = (x'+ v.t')/√(1 - v²/c² )
y" = y'
z" = z'
t" = (t'+ (v.x')/c² )/√(1 - v²/c² )

et combinez avec l'autre (i.e., exprimez t", x" etc en fonction de t, x etc)

Désolé, je ne comprend pas ce que vous voulez direi.e., exprimez t", x" etc en fonction de t, x etc)
Merci pour votre patience...

[invite7ce6aa19]

@ Belette 27.

Il me semble que ce qui te manques c'est la philosophie du probleme.

Donc en complement il faut remarquer que tu as 3 reperes noté R°,R1, R2 et 2 transformations T1 et T2 qui se composent sous laforme d'un produit T1.T2 = T et cette derniere transformation te faispasserde R° a R2.

[ordage]

Je me suis certainement mal exprimé.
J'aimerai obtenir un exemple concret qui me montrerait comment deux transformation de lorentz vont en former une troisième.
Tout ceci en utilisant la transformation:

x' = (x+ v.t)/√(1 - v^2/c^2 )
y' = y
z' = z
t' = (t+ (v.x)/c^2 )/√(1 - v^2/c^2 )

Salut
Si par transformation de Lorentz tu entends "boost" (ce qui est restrictif) , le plus simple c'est le cas où les boosts sont parallèles.
Par rapport à un référentiel R0, tu définis un référentiel R1 animé d'une vitesse V1 par rapport à R0 et tu considère un référentiel R2 animé d'une vitesse V2 (vecteur parallèle à V1) par rapport à R1, le résultat est une vitesse V3 (composition relativiste des vitesses parallèles V1 et V2) de R2 par rapport à R0.

Par contre si tu prends deux transformations de Lorentz quelconques (chacune étant une composition de boost et de rotation) le résultat est bien une transformation de Lorentz mais son calcul peut être délicat. Cf "Gravitation" p. 1144-1145

Cordialement

[invite9e429388]

@ Belette 27.

Il me semble que ce qui te manques c'est la philosophie du probleme.

Donc en complement il faut remarquer que tu as 3 reperes noté R°,R1, R2 et 2 transformations T1 et T2 qui se composent sous laforme d'un produit T1.T2 = T et cette derniere transformation te faispasserde R° a R2.

Vous avez tout à fait raison monsieur.
Pouvez-vous me détailler la façon de faire le produit T1.T2 pour obtenir T
Merci d'avance

[invite7ce6aa19]

Vous avez tout à fait raison monsieur.
Pouvez-vous me détailler la façon de faire le produit T1.T2 pour obtenir T
Merci d'avance

La premiere a faire est d'ecrire la matrice T1

pour faire cela tu presentes les 2 reperes comme une matrice colonne que j'appelle C° et C1.

a l'aide des formules que tu as ecrites tu fais apparaitre la matrice M1 4 par 4 tel que:

C1 = M1.C°


La vitesse apparait bien sur dans la matrice M1.


A toi le crayon!

[invite9e429388]

La premiere a faire est d'ecrire la matrice T1

pour faire cela tu presentes les 2 reperes comme une matrice colonne que j'appelle C° et C1.

a l'aide des formules que tu as ecrites tu fais apparaitre la matrice M1 4 par 4 tel que:

C1 = M1.C°


La vitesse apparait bien sur dans la matrice M1.


A toi le crayon!

Est-il possible de m'expliquer ce problème sans utiliser de matrices ?
merci pour votre patience!!!!!

[invite7ce6aa19]

Est-il possible de m'expliquer ce problème sans utiliser de matrices ?
merci pour votre patience!!!!!

Les matrices ne sont pas faites pour complexifier le probleme mais le simplifier. Peux-étre n'as-tu jamais fais de cacul matriciel!

De toute façon pour resoudre ton probleme il faut d'abord s'entrainer a effectuer des rotations dans le plan ( une rotation dans le plan est une version simplifiée d'une transformation de Lorentz).

Donc sais-tu faire le produit de 2 transformations dansle plan?

[invite9e429388]

Les matrices ne sont pas faites pour complexifier le probleme mais le simplifier. Peux-étre n'as-tu jamais fais de cacul matriciel!

De toute façon pour resoudre ton probleme il faut d'abord s'entrainer a effectuer des rotations dans le plan ( une rotation dans le plan est une version simplifiée d'une transformation de Lorentz).

Donc sais-tu faire le produit de 2 transformations dansle plan?

Non je ne sais pas faire ce produit...

[invite9e429388]

Les matrices ne sont pas faites pour complexifier le probleme mais le simplifier. Peux-étre n'as-tu jamais fais de cacul matriciel!

De toute façon pour resoudre ton probleme il faut d'abord s'entrainer a effectuer des rotations dans le plan ( une rotation dans le plan est une version simplifiée d'une transformation de Lorentz).

Donc sais-tu faire le produit de 2 transformations dansle plan?

Je ne connais pas du tout le calcul matriciel, c'est pour cette raison que je demandais s'il était possible de m'expliquer mon problème uniquement en utilisant la transformation de Lorentz...

[invite7ce6aa19]

Je ne connais pas du tout le calcul matriciel, c'est pour cette raison que je demandais s'il était possible de m'expliquer mon problème uniquement en utilisant la transformation de Lorentz...

La transformée de Lorentz c'est une matrice!

[invite47ecce17]

Tu n'as pas besoin de calcul matriciel. Écris simplement x' en fonction de x et t (ça tu l'as déjà fait) écris x'' en fonction de x' et t' (même relation en remplaçant v par v' ou même en gardant le même v si tu veux) puis exprime x'' en fonction de x et t et regarde.