Opérateur antilinéaire (mécanique quantique)

[nash06]

Bonjour à tous !

Tout d'abord, je ne savais pas trop si je devais mettre ce topic dans "maths" ou physique. En fait, je l'ai mis là parce que j'ai rencontré ce problème en faisant de la physique et que je pense que si je mets ça sur le forum maths je risque d'avoir des réponses nécessitant un bagage théorique mathématique que je n'ai pas.

Bref, dans un cours de physique quantique relativiste, on en vient à parler de l'opérateur "renversement du temps" T, et donc il y a une petite explication sur ce que sont les opérateurs antiunitaires.

En particulier, il y a une démonstration que pour un opérateur antiunitaire V et un complexe c, Vc=c*V. (la définition donnée étant que pour un opérateur antiunitaire et idem pour b

On considère un ket et le ket
Donc après quelques calculs assez simples on en arrive à :
(V* étant l'adjoint de V)

De là, il est déduit directement que c*=VcV*... sauf que ça ne me semble pas du tout évident.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce point (c'est frustrant parce que j'ai vraiment l'impression que c'est juste une trivialité, mais je n'arrive pas à mettre le doigt dessus) ? Merci d'avance !
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[nash06]

En particulier, il y a une démonstration que pour un opérateur antiunitaire V et un complexe c, Vc=c*V. (la définition donnée étant que pour un opérateur antiunitaire et idem pour b

On considère un ket et le ket
Donc après quelques calculs assez simples on en arrive à :
(V* étant l'adjoint de V)

De là, il est déduit directement que c*=VcV*... sauf que ça ne me semble pas du tout évident.

Visiblement il y a des problèmes d'affichages...
Donc, tant pis pour les notations usuelles, je vais écrire les crochets [ et ] .

Donc je disais :
On considère un ket |a] et le ket |b]=c|a] pù c est un complexe.
On arrive ensuite à [a|b] = [a'|(VcV*)|a'] et on en déduit que c*=VcV*... et donc c'est là que je bloque.
Plus précisément, je suis bien d'accord que si c*=VcV* la relation précédent est bien vérifiée, mais c'est sur l'autre sens que je ne suis pas convaincu (disons, je ne trouve pas d'argument précis qui me permettrait de l'affirmer avec certitude)

[Amanuensis]

Cela s'affiche correctement pour moi.

Par ailleurs, |a> c'est plus lisible que |a].

[invite54165721]

Pour commencer plus simplement:
Comment montrer qu'une isométrie vectorielle est linéaire?
Si les physiciens ne savent pas je poserai la question sur le forum des maths (la honte)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

Prenons d'abord f unitaire. a est un nombre complexe et x un vecteur.
formons le produit scalaire < f(ax) - a f(x) | f(ax) - a f(x) > =
<f(ax)|f(ax)> + <a f(x)|af(x)> - <f(ax)|af(x)> - <af(x)|f(ax)>
que f soit unitaire ou antiunitaire les deux premiers termes donnent 2 aa* <x|x>
si f est unitaire les deux termes suivant donnent - 2 aa* <x|x>
dans ce cas [f(ax] - a f(x)> est de noeme nulle donc nul: f(ax) = a f(x)

si f est antiunitaire le troisieme terme donne - a <f(ax)|f(x)> = - a <x|ax> = - a² <x|x> ce qui ne va pas donner zero.
en partant de < f(ax) - a* f(x) | f(ax) - a* f(x) >
on trouvera 0 si f est antiunitaire donc: f(ax) = a* f(x)

Bon je me recouche.