Des propriétes d'un cône futur

[Amanuensis]

en expliquant notamment le comportement de la gravité.

La question de l'effet de la gravitation se pose pour un cône futur quelconque tout aussi bien.

Comment réussissez-vous à voir le message #1 comme parlant d'un trou noir?

mais je rappelle l'introduction de votre mess#1.

Ma question n'était pas rhétorique! Bien sûr que j'ai indiqué qu'il y avait un rapport.

Mais lequel?

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Ceci dit, je n'ai pas lancé ce fil pour qu'on s'y occupe de trous noirs (ni donc pour dupliquer une quelconque autre discussion présente ou passée), mais bien, explicitement, pour faire remarquer les propriétés générales des cônes futurs.
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[stefjm]

Ma question n'était pas rhétorique! Bien sûr que j'ai indiqué qu'il y avait un rapport.

Mais lequel?

Chaque observateur ne sortira jamais par définition de son cone futur?

[invite51d17075]

il me semble que le cône est défini pour un observateur donné.

mais j'ai deux questions.
que se passe t-il à vitesse relativiste, la ligne d'univers suivie s'approche du bord de son cône, non?

et plus généralement, en fct de la ligne suivie, le cône futur n'évolue t-il pas à chaque instant ?

[Amanuensis]

Chaque observateur ne sortira jamais par définition de son cone futur?

Exact. Ou plus précisément, la partie de la ligne d'Univers d'un observateur strictement postérieure à un événement E de cette ligne est strictement incluse dans l'intérieur du cône futur de E.

[Amanuensis]

il me semble que le cône est défini pour un observateur donné.

Pour un événement donné. Ce qui est indépendant de la notion d'observateur.

que se passe t-il à vitesse relativiste, la ligne d'univers suivie s'approche du bord de son cône, non?

Faudrait préciser. Déjà pour parler de vitesse, faudrait une référence. Ou parler d'une différence de vitesse.

et plus généralement, en fct de la ligne suivie, le cône futur n'évolue t-il pas à chaque instant ?

Le cône futur est la propriété d'un événement. Il n'évolue pas.

Si vous parlez de la suite des cônes futurs le long d'une ligne d'Univers, elle est décroissante, au sens indiqué plus tôt dans les échanges: le cône futur d'un événement A postérieur à B, les deux événements en séparation temporelle, est inclus dans le cône futur de B.

Désolé si je que j'écris là est une évidence, je ne cherche qu'à traduire ce que je crois comprendre de la question.

[invite6c093f92]

Bonjour,
J'ai hésité à poster, car je sens que cela va encore être une idiotie, mais ça me titille, quand est-il de la propriété d'un événement(par ex l'effet gravitationnel), à la "limite", "frontière", "bordure" du cône?
(pas de réponse m'en donnera une)
Cordialement,

[Amanuensis]

Rien de particulier. En fait tout événement est sur(1) une infinité de cônes futurs d'événements passés! (Précisément de tous les événements sur le cône passé!!!)

(1) J'appelle cône la "limite", et "intérieur du cône futur" ce qui est bordé par cette "limite" et côté futur.

En 3D un cône est une surface formée de droites passant par un même point (le sommet) ; l'intérieur est 3D, c'est une portion de volume non nul de l'espace. En 4D un cône est un "volume" (une hypersurface) formé de lignes passant par un même événement. Cette hypersurface n'est pas un volume spatial, mais de genre nul (localement généré par deux directions spatiales et une direction nulle). L'intérieur est 4D.

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La réflexion dont je fais part dans le message #1 est justement intéressante parce qu'elle concerne n'importe quel événement origine, mais aussi n'importe quel événement en tant que "faisant partie d'un cône". Dans le message #1, ce qui est distingué ce sont les observateurs "restant indéfiniment à l'extérieur d'un cône donné". Ce qui va alors "particulariser" le cône, c'est le comportement de l'observateur.

En règle normale, les observateurs coupent un cône futur donné tôt ou tard. Il n'y a que quelques situations particulières qui peuvent amener à "rester indéfiniment à l'extérieur".

Dans les présentations usuelles, on ne présente pas ces situations particulières comme étant "juste" des cas de "observateur restant indéfiniment à l'extérieur d'un cône futur donné". Or cette condition suffit à elle seule à amener des effets attribués à autre chose.

[invite6c093f92]

Ok, merci de la réponse.
Cordialement,

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
Je pensais une chose : toute relation entre A et E sont reliés par une trajectoire de genre temps si A et E sont à l'extérieur du cône, si un observateur B est à l'extérieur du cône lui aussi, il va être relié à E par une trajectoire de genre temps et par transition, à A aussi par une trajectoire de même genre. Cela veut dire qu'il existe une vitesse relative v < c tel que l'on puisse appliquer des TL entre A et B.
Maintenant si E passe H, A et E seront relié par une trajectoire de genre espace, B et E également, mais A et B seront toujours reliés par une trajectoire de genre temps.
Si B traverse H, A et B sont liés par une trajectoire de genre espace. Non?
B et E seront ils liés par une trajectoire de genre temps où conserveront ils leur trajectoire de genre espace?

Cordialement Zefram

[Amanuensis]

Faudrait préciser les notations. "Le cône" est quoi, le cône futur de quoi?

De même "observateur B" désigne-t-il un événement ou (comme souvent pour "observateur") une ligne d'Univers?

Cela veut dire qu'il existe une vitesse relative v < c tel que l'on puisse appliquer des TL entre A et B.

Incompréhensible pour moi.

B et E seront ils liés par une trajectoire de genre temps où conserveront ils leur trajectoire de genre espace?

Jusqu'à cette phrase on pouvait penser que B et E étaient des événements, alors que "conserver leur trajectoire" n'a aucun sens pour des événements.

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Je veux bien essayer de donner des réponses rigoureuses, mais une condition sine qua non est que la question soit rigoureuse, ou au minimum traduisible en une question rigoureuse.

[Zefram Cochrane]

soit O dans le référentiel R( t,x ), O' dans R' (t, x') et O''
O'' n'est qu'un générateur d'événement E.
on ne considère qu'une trajectoire radiale suivant l'axe des x.

tu dois pouvoir décrire la trajectoire de O'' dans R et R' par une équation du type : F'dt' - G'dx' = Fdt - Gdt
Où F et G sont deux fonctions qui décrivent ton champ dans lequel évoluent les observateurs.

Donc mettre cette équation sous la forme : dt' ( F' - G'w') = dt ( F - Gw ) . w est la vitesse de O'' dans R et w' la vitesse de O'' dans R'.
Au niveau de H la vitesse coordonnée de la lumière doit être nulle.
Quand O'' traverse H, pour O et O' sa vitesse coordonnée est nulle w =w' = 0 . Pour eux O'' reste collé sur H.

Avant de poursuivre j'attends d'avoir le retour de ton point de vue.
Cordialement,
Zefram

mon problème est de rester assez général pour ne aps tomber dans le cas particulier du TN de Schwarzschild

[Amanuensis]

Dans cette discussion, j'ai fait bien attention de ne jamais parler en termes de référentiel ou de coordonnées. Est-ce que la question peut être posée dans le même esprit, en ne parlant que d'événements, de lignes d'Univers et de cônes futurs?

[invite51d17075]

Le cône futur est la propriété d'un événement. Il n'évolue pas.
.

pour mieux comprendre le post#1.
s'il n'évolue pas dans cette présentation, pourquoi évoquer des entrée/sorties de ce cône ?

[Amanuensis]

pour mieux comprendre le post#1.
s'il n'évolue pas dans cette présentation, pourquoi évoquer des entrée/sorties de ce cône ?

Je ne comprends pas. Les frontières de la France n'évoluent pas, mais on peut quand même entrer et sortir de France, non?

Un cône futur délimite une portion de l'espace-temps (l'intérieur), une ligne d'Univers peut intersecter cette limite, et avoir une partie à l'intérieur de ladite portion. Dire "entrer" est possible de par l'orientation temporelle de la ligne (la partie dans l'intérieur est postérieure à la partie à l'extérieur).

[invite1a73c863]

Bonjour,

4) Si un observateur A reste indéfiniment à l'extérieur,

C'est une condition. Est-elle réalisable? Comment?

Merci. Cordialement.

[invite69d38f86]

Avec les intégrales de chemins entre un évenement A et un autre évenement B dans le cone du futur de A, on considère aussi des chemins qui vont flairer ce qui se passe en dehors du cone avant d'y revenir (sauf erreur). Cà relativise un peu son coté absolu.

[invite6c093f92]

Bonjour,


C'est une condition. Est-elle réalisable? Comment?

Merci. Cordialement.

En accélérant..?
Cordialement,

[invite69d38f86]

Avec deux evenements A et B, B dans le futur de A on peut considérer l'intersection du futur de A et du passé de B.
C'est ce que Rovelli appelle le diamant. il est constitué de tous les evenement accessibles pour une particule joignant A et B.
l'extérieur lui est inaccessible et est une source d'ignorance et donc d'entropie. C'est pourquoi Rovelli associe une température à ce diamant.
Voir http://arxiv.org/abs/gr-qc/0212074

[invite1a73c863]

En accélérant..?

Quelquesoit A, quelquesoit la ligne d'univers de A, quelquesoit son accélération, il parviendra en H. Sauf... Amanuensis a la compétence pour remplacer les 3 points par ...?

[invite1a73c863]

Avec deux evenements A et B, B dans le futur de A on peut considérer l'intersection du futur de A et du passé de B.

On peut considérer cela.
Mais ce n'est pas ce qui est considéré dans l'énoncé. H, dans l'énoncé, incorpore toutes les lignes d'univers potentielles faisant suite à l'événement origine du cône futur. L'hypersurface ultimum liée au caractère inconnu du futur. Dans votre présentation, vous considérez le futur de A comme une ligne d'univers unique, et son intersection avec le passé de B, qui par définition, est connu. Il ne s'agit pas du même domaine.
Cordialement.

[invite69d38f86]

Bien sur.
Si un observateur nait en A (espace temps) et meurt en B il peut envoyer des instruments de mesures et recevoir des réponses pour tout évenement dans son diamant D(A,B)
La réunion de tous les diamants donne le cone du futur de A
le cone du futur correspond à un observateur immortel.

[Amanuensis]

C'est une condition. Est-elle réalisable? Comment?

Commençons par l'inverse: dans quels cas un observateur (une ligne d'Univers) intersecte-t-il nécessairement tout cône futur? Le cas le plus "évident" est celui d'une ligne d'Univers inertielle dans l'espace-temps de Minkowski (plat).

Mais c'est plutôt un cas "anormal", idéalisé. Suffit de virer une des hypothèses pour obtenir des cas de lignes d'Univers qui restent indéfiniment à l'extérieur de certains cônes futurs.

Différents cas apparaissent dans la littérature. Faisons sauter la condition d'inertialité, et prenons une ligne d'Univers en accélération constante (au sens de l'accélération propre) ; c'est étudié via les coordonnées de Rindler, et on montre que la ligne d'Univers reste indéfiniment en dehors de certains cônes futurs. Une manière simple de visualiser est un diagramme de Penrose, si quelqu'un a le courage de le dessiner...

Si on fait sauter la condition d'un espace-temps plat, les cas sont courants. Un premier est celui des trous noirs. Cela permet des cônes futurs dont les "tranches spatiales" restent "petites". Essayons de développer: dans le cas d'un cône futur "normal", ses tranches spatiales "grossissent" très vite avec le "temps" (quel que soit la coordonnée temporelle choisie), et il faut accélérer fort pour "rester dehors". Dans le cas d'un trou noir, c'est plus facile, et on se permet souvent (!) de considérer des "observateurs stationnaires", c'est à dire des observateurs qui restent indéfiniment hors de ces cônes sans s'occuper de leur accélération.

On peut garder la condition d'une ligne d'Univers inertielle avec un Univers en expansion accélérée. Là, même en "restant sur place" (relativement au référentiel comobile) on n'intersecte pas tous les cônes futurs.

Bref, non seulement c'est réalisable, mais c'est même peut-être la règle en pratique, i.e., que pour une ligne d'Univers donnée on puisse trouver au moins un cône futur qu'elle n'intersecte pas. Faut choisir des hypothèses fortes (espace-temps plat et ligne d'Univers inertielle à partir d'un certain point par exemple--le seul que je connaisse) pour être sûr que ce ne soit pas le cas.

[Amanuensis]

La réunion de tous les diamants donne le cone du futur de A

? J'aimerais en voir la démo. J'ai de sérieux doutes au moins pour le cas d'un Univers en expansion accéléré (cf. l'idée de "galaxies disparaissant" ; pas le temps pour le moment de retrouver des références, mais cela a été discuté dans le passé...)

[invite57f37970]

Différents cas apparaissent dans la littérature. Faisons sauter la condition d'inertialité, et prenons une ligne d'Univers en accélération constante (au sens de l'accélération propre) ; c'est étudié via les coordonnées de Rindler, et on montre que la ligne d'Univers reste indéfiniment en dehors de certains cônes futurs. Une manière simple de visualiser est un diagramme de Penrose, si quelqu'un a le courage de le dessiner...

Déjà avec un diagramme de Minkowski, comme celui de la première image de https://en.wikipedia.org/wiki/Rindler_coordinates , on voit que n'importe lequel de ces observateurs uniformément accélérés reste en dehors du cône futur de tout événement tel que .

J'ai de sérieux doutes au moins pour le cas d'un Univers en expansion accéléré (cf. l'idée de "galaxies disparaissant" ; pas le temps pour le moment de retrouver des références, mais cela a été discuté dans le passé...)

Je ne suis pas sûr qu'on puisse parler de galaxies disparaissant dans ce contexte même pour un univers en expansion accélérée puisqu'alors dans ce cas même si la sphère de Hubble comobile rétrécit, la distance comobile de l'horizon des particules , qui correspond à l'univers observable, continue d'augmenter. Par contre il se peut qu'à cause de l'accélération de l'expansion cette distance comobile tende vers une valeur limite qu'elle ne dépassera jamais même en un temps cosmique infini, définissant un horizon des événements, ce qui implique que l'observateur n'entrera jamais dans le cône futur de tout événément situé plus loin. Et pourtant l'accélération propre de l'observateur est bien nulle.

[Amanuensis]

Par contre il se peut qu'à cause de l'accélération de l'expansion cette distance comobile tende vers une valeur limite qu'elle ne dépassera jamais même en un temps cosmique infini, définissant un horizon des événements, ce qui implique que l'observateur n'entrera jamais dans le cône futur de tout événément situé plus loin. Et pourtant l'accélération propre de l'observateur est bien nulle.

Oui, c'était le troisième exemple de mon message #52.

Mais j'ai l'impression que la propriété proposée par alovesuprême est différente. J'essaye de trouver un contre-exemple clair, ce qui serait une (demi-)ligne d'Univers partant d'un événement E et pas entièrement dans la réunion des diamants d'une autre (demi-)ligne d'univers partant de E.

[Amanuensis]

J'avais une référence, que je ne trouve plus immédiatement, avec un diagramme conforme (lignes nulles à 45°) pour le cas d'une expansion accélérée. On y voit, de mémoire, que la réunion des diamants prend une forme en "cabasse de cacao", et donc ne peut pas être le cône futur.

Il suffit qu'un diagramme conforme présente une valeur finie pour la coordonnée temporelle. Car alors il est clair que le cône passé maximal (celui du point limite pour la coordonnée temporelle) ne peut pas contenir tout le cône futur d'un événement antérieur de la même ligne d'Univers. (Et la réunion des diamants est le diamant maximal, nécessairement inclus dans le cône passé maximal.)

Si quelqu'un comprend de quoi je parle (!) et peut indiquer la référence...

[PS: J'essaye volontairement de parler en termes géométriques descriptifs. Devrait être plus parlant que des équations...]

[invite57f37970]

J'avais une référence, que je ne trouve plus immédiatement, avec un diagramme conforme (lignes nulles à 45°) pour le cas d'une expansion accélérée. On y voit, de mémoire, que la réunion des diamants prend une forme en "cabasse de cacao", et donc ne peut pas être le cône futur.

Il suffit qu'un diagramme conforme présente une valeur finie pour la coordonnée temporelle. Car alors il est clair que le cône passé maximal (celui du point limite pour la coordonnée temporelle) ne peut pas contenir tout le cône futur d'un événement antérieur de la même ligne d'Univers. (Et la réunion des diamants est le diamant maximal, nécessairement inclus dans le cône passé maximal.)

Si quelqu'un comprend de quoi je parle (!) et peut indiquer la référence...

[PS: J'essaye volontairement de parler en termes géométriques descriptifs. Devrait être plus parlant que des équations...]

Il y a peut-être la troisième figure de la page 3 de

http://arxiv.org/abs/astro-ph/0310808v2

où la sphère de Hubble forme une "cabosse de cacao", mais ce n'est pas une réunion de diamants, ce n'est donc peut-être pas ce qui t'intéresse. Le cône passé maximal m'y semble décrit comme l'horizon des événements, et il ne peut pas contenir tout le cône futur d'un événement antérieur de la même ligne d'univers, par exemple le cône futur matérialisé par les pointillés. Mais à mon avis la réunion des diamants de cet événement à l'origine des temps est bien l'intérieur de son cône futur matérialisé en pointillé. Je ne vois pas pourquoi il serait nécessairement inclus dans le cône passé maximal.

L'idée que le cône futur soit la réunion des diamants ne me choque pas...

[Amanuensis]

Il y a peut-être la troisième figure de la page 3 de

http://arxiv.org/abs/astro-ph/0310808v2

Thanks. Oui c'est ça.

L'idée que le cône futur soit la réunion des diamants ne me choque pas...

Pourtant ce n'est clairement pas le cas sur la figure mentionnée!

Sur un diagramme conforme, un diamant D(A,B) se présente comme un carré dont A et B sont des sommets opposés (le "diamond" au sens de la figure des carreaux dans les jeux de cartes). Clairement le diamant maximal D(A, B à t=infini) ne peut pas contenir le cône futur de A (qui est un triangle de sommet A et de côté opposé une partie de la ligne t=infini).

[Amanuensis]

où la sphère de Hubble forme une "cabosse de cacao", mais ce n'est pas une réunion de diamants

Je suis d'accord. Je m'étais trompé (bêtement) sur la forme de la réunion des diamants, qui est le diamant maximal côté futur, et donc un carré comme indiqué dans le message précédent.

Le cône passé maximal m'y semble décrit comme l'horizon des événements,

Oui

et il ne peut pas contenir tout le cône futur d'un événement antérieur de la même ligne d'univers, par exemple le cône futur matérialisé par les pointillés.

Oui.

Et le diamant maximal de la ligne d'Univers centrale x=0 (qui contient tout autre diamant de cette ligne) est le carré obtenu par l'intersection du cône futur maximal (limité par les pointillés et la ligne t=infini) et du cône passé maximal (limité par l' horizon des événements).

[invite57f37970]

Pourtant ce n'est clairement pas le cas sur la figure mentionnée!

Sur un diagramme conforme, un diamant D(A,B) se présente comme un carré dont A et B sont des sommets opposés (le "diamond" au sens de la figure des carreaux dans les jeux de cartes). Clairement le diamant maximal D(A, B à t=infini) ne peut pas contenir le cône futur de A (qui est un triangle de sommet A et de côté opposé une partie de la ligne t=infini).

J'ai interprété ce que alovesupreme a dit comme voulant dire "la réunion de tous les diamants de sommets A et n'importe quel événement du cône futur de A donne le cône futur de A". Pas "la réunion de tous les diamants de sommets A et n'importe quel événement de la ligne d'univers future de A". Donc comme je l'ai compris, un diamant particulier de cette réunion dans un diagramme conforme n'est pas en général un carré mais un rectangle.