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Thermique



  1. #1
    dalfred

    Thermique


    ------

    Bonsoir,

    Je vois que faire dès le début :

    Enoncé : On considère un milieu semi-infini ( x>0), de masse volumique de conductivité thermique et de chaleur massique c, initialement à la température . On y étudie la diffusion thermique dans le cas unidimensionnel afin de trouverle profil de température T(x,t).
    A l'instant t=0, on impose à la paroi x=0.

    1) Ecrire les conditions limites du problème T(x,0), T(0,t) et T(,t)

    J'arrive pas à me représenter la situation, y'a pas de parois, y'a pas deux milieux pour que je puisse écrire des relations aux niveaux des parois...

    Merci de m'aider


    Cordialement.

    -----
    Dernière modification par dalfred ; 02/03/2014 à 22h01.

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  3. #2
    ulyss

    Re : Thermique

    Bonsoir,

    On a un milieu semi-infini (tout le demi-plan ou demi-espace des x>0 )
    à t=0 on le met en contact avec une "paroi" en x=0 qui a pour température Te et qui va rester à Te tout le temps.
    à t=0 tous les points x >0 sont à température initiale T0
    à l'infini x=infini je dirai que quel que soit l'instant t , la température restera T0 car l' "onde" de chaleur n'atteindra jamais l' "infini"

  4. #3
    dalfred

    Re : Thermique

    D'accord merci je comprends à présent.

    Ensuite on me dit qu'on pose avec
    Je dois écrire les conditions limites avec a fonction T*(u)

    Dites moi si c'est ca : 1 ère : lorsque t=0 : T*(u)=1 sauf que là pour u on aurait quelque chose divisée par 0 ?

    2 ème : x=0 : T*(0)=0

    3 ème : x infini : T*()=1 La aussi je suis pas sur de la notation T*()

    Au passage T* est adimensionnelle si ne me trompe pas.

    Ensuite j'ai un soucis : je dois montrer que :

    En partant de l'équation de la chaleur j'ai (en notant la production P) :

    soit, en faisant apparaître la diffusivité thermique



    Ensuite je suis bloqué, j'en tenté d'isoler t et x dans puis de remplacer mais ca marche pas, et c'est compliqué.
    A noté qu'il ne doit pas y avoir de production au regard de l'allure de l'équation, je suis d'accord que le milieu ne produit rien mais en x=0 il y a un échange constant de chaleur.

    Merci de me répondre.
    Cordialement.
    Dernière modification par dalfred ; 03/03/2014 à 00h45.

  5. #4
    ulyss

    Re : Thermique

    Je suis pas un spécialiste mais là je dirais:

    -conditions aux limites :
    * si t tend vers 0 alors u tend vers l'infini. Si x tend vers l'infini idem pour u, donc la 1ere et la 3eme cond aux limites se réécrit:
    limite de T* en + infini vaut 1
    (comme tu l'as écrit)
    * si x = 0 T*(0) = 0 comme tu l'écris

    - Pour réécrire l'equation de la chaleur tu sais que T(x,t) = T*(u) * (T0 - Te) + Te
    pour calculer par exemple dT/dt = dT*/du * du/dt * (T0 - Te)
    bref tu utilise les formules de dérivation composée : dT*/dx = dT*/du * du/dt
    ou dT*/dx = dT*/du * du/dx (que tu refait pour la dérivée seconde)

    Tu mets les dérivées trouvées dans l'equation de la chaleur sans terme de production et tu dois arriver au résultat cherché....

  6. #5
    ulyss

    Re : Thermique

    Il faut bien voir que : laplacien de T vaut d2T/dx2 en monodimensionnel (bref pour ton pb)

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    dalfred

    Re : Thermique

    Désolé mais je peine :



    Et :

    qui vaut

    et là je suis bloqué.
    Dernière modification par dalfred ; 03/03/2014 à 13h12.

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  10. #7
    dalfred

    Re : Thermique

    Je pensais écrire : donne

    puis

    mais ca marche pas
    Dernière modification par dalfred ; 03/03/2014 à 13h30.

  11. #8
    ulyss

    Re : Thermique

    L'Equa diff de la chaleur est
    d2T/dx2 - 1/a dT/dt = 0

    avec ici u = x/2/ racine (at)
    et T(x,t) = (T0_Te) T*(u) + Te
    (désolé je ne maîtrise pas TeX)

    donc :
    d'abord dT/dt = (T0 - Te). dT*/du . du/dt
    ensuite dT/dx = (T0 _ Te) dT*/du . du/dx
    d'où d2T/dx2 = (T0-Te) . [(d2T*/du2 . (du/dx)2) + (dT*/du . d2u/dx2)]
    car (fg)' = f'g + fg'
    ensuite du/dt = .... (à calculer)
    du/dx = ....
    d2u/dx2 = 0 d'où simplification de l'écriture de d2T/dx2

    On remplace dans [ d2T/dx2 - 1/a dT/dt = 0 ] avec les expressions trouvées... Tu y arrives??

    Tiens a propos : si tu as la solution de y" - 2x.y = 0
    (bref la solution de ton pb) Cela m'intéresserait. J'ai cherché mais je n'ai pas trouvé...
    C'est un equa diff du second ordre à coefficients non constants... pas forcément évident
    Peut-être que tu connais la (ou les) solutions ou que ton énoncé te guide dans la solution??
    Quelle fonction a pour dérivée seconde elle-même multipliée par 2x??
    Au fait c'est un exo de quel niveau, çà : 2eme ou 3eme année post-bac?
    Merci.
    Dernière modification par ulyss ; 03/03/2014 à 14h19.

  12. #9
    dalfred

    Re : Thermique

    J'y arrive avec les expressions merci sauf que j'ai toujours pas compris pourquoi

    d2T/dx2 = (T0-Te) . [(d2T*/du2 . (du/dx)2) + (dT*/du . d2u/dx2)]

    Pour moi on a : dT/dx = (T0-Te) dT*/du . du/dx soit en posant f=dT*/du et g=du/dx et en dérivant par rapport à x

    d2T/dx2= (T0-Te) d2T*/dxdu + (T0-Te) (dT*/du . d2u/dx2)= (T0-Te) . [(d2T*/dxdu . du/dx) + (dT*/du . d2u/dx2)]

    Concernant l'équation différentielle à résoudre je crois que vous vous trompez, ce qu'il résoudre ce n'est pas :

    y" - 2x.y = 0 mais plutot y" - 2x.y' = 0

    On me demande de trouver seulement l'expression de y' soit de

    donc pour moi je dirai : soit

    Cet exo est du niveau 3ème année post bac mais les dérivées partielles se voient en 1ère année.

    Si ca vous intéresse pour le TeX : http://forums.futura-sciences.com/ph...e-demploi.html ( c'est très simple, j'ai mis dix minutes pour maitriser les choses essentielles avec les exemples fournis)
    Dernière modification par dalfred ; 03/03/2014 à 16h10.

  13. #10
    dalfred

    Re : Thermique

    Et d'ailleurs j'ai mal écrit l'équation différentielle car x est déjà une variable c'est : soit

  14. #11
    dalfred

    Re : Thermique

    Autre erreur, ce n'était pas : y" - 2x.y' = 0 mais y" + 2x.y' = 0

    soit

    Et je n'avais pas lu la suite qui demande de trouver T*(u) sachant que la fonction erreur :
    avec erf(+)=1 et erf(0)=0

    Nous on a : soit

    Soit d'où

    mais c'est bizarre ca donne T*(u)=erf(u)

    J'ai un doute sur l'égalité suivante :
    J'ai pris des exemples normalement j'ai le droit d'écrire ça, je crois qu'il faut le u dans l'exponnentielle par l'infini
    Dernière modification par dalfred ; 03/03/2014 à 16h48.

  15. #12
    ulyss

    Re : Thermique

    Ah oui j'avais mal identifié l'équa diff finale!
    C'est sûr que comme çà c'est moins embêtant. Merci.

    Sinon tu te mélanges un peu dans ta dérivation.
    Bon et bien:
    d2T*/dx2 = d [ dT*/dx ] / dx
    par def de la dérivée seconde (et on multiplie après par (T0-Te)

    d2T*/dx2 = d [ dT*/du . du/dx ] / dx
    par "dérivation composée"

    d2T*/dx2 = d[ dT*/du ]/dx . (du/dx) + dT*/du d[du/dx]/dx
    car(fg)' = f'g+ fg'
    et comme d[ dT*/du ]/dx = d[ dT*/du ]/du * (du/dx) = d2T*/du2 * du/dx
    et finalement on obtient:
    d2T*/dx2 = d2T*/du2 . (du/dx)2 + dT*/du d2u/dx2
    et voila!

    autre façon de le voir :
    dérivons fog avec ici f =T*(u) et g = u(x)
    (fog)' = g' * (f' o g)
    dérivons encore:
    (fog)" = g"*(f'o g) + g'*(g'*(f" o g)
    D'où
    (fog)" = (g')2 * (f"og) + g"*(f'og)

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  17. #13
    ulyss

    Re : Thermique

    Citation Envoyé par dalfred Voir le message
    mais c'est bizarre ca donne T*(u)=erf(u)

    J'ai un doute sur l'égalité suivante :
    J'ai pris des exemples normalement j'ai le droit d'écrire ça, je crois qu'il faut le u dans l'exponnentielle par l'infini
    Si T*(u)=erf(u) m'a l'air de bien correspondre à priori.
    "Physiquement" çà va :
    Comme T(x,t) = T*(u) * (T0 - Te) + Te
    Si u tend vers +infini alors c'est comme si t tend vers 0 ou x tend vers l'infini et on retrouve bien T(x,t) qui tend vers T0... çà a l'air bon

    J'arrive pas à lire ton lien vers le mode d'emploi TeX.

  18. #14
    dalfred

    Re : Thermique

    Merci beaucoup.

    Lien : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

    Là ca devrait fonctionner.

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