Thermique

[dalfred]

Bonsoir,

Je vois que faire dès le début :

Enoncé : On considère un milieu semi-infini ( x>0), de masse volumique de conductivité thermique et de chaleur massique c, initialement à la température . On y étudie la diffusion thermique dans le cas unidimensionnel afin de trouverle profil de température T(x,t).
A l'instant t=0, on impose à la paroi x=0.

1) Ecrire les conditions limites du problème T(x,0), T(0,t) et T(,t)

J'arrive pas à me représenter la situation, y'a pas de parois, y'a pas deux milieux pour que je puisse écrire des relations aux niveaux des parois...

Merci de m'aider


Cordialement.
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[ulyss]

Bonsoir,

On a un milieu semi-infini (tout le demi-plan ou demi-espace des x>0 )
à t=0 on le met en contact avec une "paroi" en x=0 qui a pour température Te et qui va rester à Te tout le temps.
à t=0 tous les points x >0 sont à température initiale T0
à l'infini x=infini je dirai que quel que soit l'instant t , la température restera T0 car l' "onde" de chaleur n'atteindra jamais l' "infini"

[dalfred]

D'accord merci je comprends à présent.

Ensuite on me dit qu'on pose avec
Je dois écrire les conditions limites avec a fonction T*(u)

Dites moi si c'est ca : 1 ère : lorsque t=0 : T*(u)=1 sauf que là pour u on aurait quelque chose divisée par 0 ?

2 ème : x=0 : T*(0)=0

3 ème : x infini : T*()=1 La aussi je suis pas sur de la notation T*()

Au passage T* est adimensionnelle si ne me trompe pas.

Ensuite j'ai un soucis : je dois montrer que :

En partant de l'équation de la chaleur j'ai (en notant la production P) :

soit, en faisant apparaître la diffusivité thermique



Ensuite je suis bloqué, j'en tenté d'isoler t et x dans puis de remplacer mais ca marche pas, et c'est compliqué.
A noté qu'il ne doit pas y avoir de production au regard de l'allure de l'équation, je suis d'accord que le milieu ne produit rien mais en x=0 il y a un échange constant de chaleur.

Merci de me répondre.
Cordialement.

[ulyss]

Je suis pas un spécialiste mais là je dirais:

-conditions aux limites :
* si t tend vers 0 alors u tend vers l'infini. Si x tend vers l'infini idem pour u, donc la 1ere et la 3eme cond aux limites se réécrit:
limite de T* en + infini vaut 1
(comme tu l'as écrit)
* si x = 0 T*(0) = 0 comme tu l'écris

- Pour réécrire l'equation de la chaleur tu sais que T(x,t) = T*(u) * (T0 - Te) + Te
pour calculer par exemple dT/dt = dT*/du * du/dt * (T0 - Te)
bref tu utilise les formules de dérivation composée : dT*/dx = dT*/du * du/dt
ou dT*/dx = dT*/du * du/dx (que tu refait pour la dérivée seconde)

Tu mets les dérivées trouvées dans l'equation de la chaleur sans terme de production et tu dois arriver au résultat cherché....

[A voir en vidéo sur Futura]

[ulyss]

Il faut bien voir que : laplacien de T vaut d²T/dx² en monodimensionnel (bref pour ton pb)

[dalfred]

Désolé mais je peine :



Et :

qui vaut

et là je suis bloqué.

[dalfred]

Je pensais écrire : donne

puis

mais ca marche pas

[ulyss]

L'Equa diff de la chaleur est
d2T/dx2 - 1/a dT/dt = 0

avec ici u = x/2/ racine (at)
et T(x,t) = (T0_Te) T*(u) + Te
(désolé je ne maîtrise pas TeX)

donc :
d'abord dT/dt = (T0 - Te). dT*/du . du/dt
ensuite dT/dx = (T0 _ Te) dT*/du . du/dx
d'où d2T/dx2 = (T0-Te) . [(d2T*/du2 . (du/dx)2) + (dT*/du . d2u/dx2)]
car (fg)' = f'g + fg'
ensuite du/dt = .... (à calculer)
du/dx = ....
d2u/dx2 = 0 d'où simplification de l'écriture de d2T/dx2

On remplace dans [ d2T/dx2 - 1/a dT/dt = 0 ] avec les expressions trouvées... Tu y arrives??

Tiens a propos : si tu as la solution de y" - 2x.y = 0
(bref la solution de ton pb) Cela m'intéresserait. J'ai cherché mais je n'ai pas trouvé...
C'est un equa diff du second ordre à coefficients non constants... pas forcément évident
Peut-être que tu connais la (ou les) solutions ou que ton énoncé te guide dans la solution??
Quelle fonction a pour dérivée seconde elle-même multipliée par 2x??
Au fait c'est un exo de quel niveau, çà : 2eme ou 3eme année post-bac?
Merci.

[dalfred]

J'y arrive avec les expressions merci sauf que j'ai toujours pas compris pourquoi

d2T/dx2 = (T0-Te) . [(d2T*/du2 . (du/dx)2) + (dT*/du . d2u/dx2)]

Pour moi on a : dT/dx = (T0-Te) dT*/du . du/dx soit en posant f=dT*/du et g=du/dx et en dérivant par rapport à x

d2T/dx2= (T0-Te) d2T*/dxdu + (T0-Te) (dT*/du . d2u/dx2)= (T0-Te) . [(d2T*/dxdu . du/dx) + (dT*/du . d2u/dx2)]

Concernant l'équation différentielle à résoudre je crois que vous vous trompez, ce qu'il résoudre ce n'est pas :

y" - 2x.y = 0 mais plutot y" - 2x.y' = 0

On me demande de trouver seulement l'expression de y' soit de

donc pour moi je dirai : soit

Cet exo est du niveau 3ème année post bac mais les dérivées partielles se voient en 1ère année.

Si ca vous intéresse pour le TeX : http://forums.futura-sciences.com/ph...e-demploi.html ( c'est très simple, j'ai mis dix minutes pour maitriser les choses essentielles avec les exemples fournis)

[dalfred]

Et d'ailleurs j'ai mal écrit l'équation différentielle car x est déjà une variable c'est : soit

[dalfred]

Autre erreur, ce n'était pas : y" - 2x.y' = 0 mais y" + 2x.y' = 0

soit

Et je n'avais pas lu la suite qui demande de trouver T*(u) sachant que la fonction erreur :
avec erf(+)=1 et erf(0)=0

Nous on a : soit

Soit d'où

mais c'est bizarre ca donne T*(u)=erf(u)

J'ai un doute sur l'égalité suivante :
J'ai pris des exemples normalement j'ai le droit d'écrire ça, je crois qu'il faut le u dans l'exponnentielle par l'infini

[ulyss]

Ah oui j'avais mal identifié l'équa diff finale!
C'est sûr que comme çà c'est moins embêtant. Merci.

Sinon tu te mélanges un peu dans ta dérivation.
Bon et bien:
d2T*/dx2 = d [ dT*/dx ] / dx
par def de la dérivée seconde (et on multiplie après par (T0-Te)

d2T*/dx2 = d [ dT*/du . du/dx ] / dx
par "dérivation composée"

d2T*/dx2 = d[ dT*/du ]/dx . (du/dx) + dT*/du d[du/dx]/dx
car(fg)' = f'g+ fg'
et comme d[ dT*/du ]/dx = d[ dT*/du ]/du * (du/dx) = d2T*/du2 * du/dx
et finalement on obtient:
d2T*/dx2 = d2T*/du2 . (du/dx)² + dT*/du d2u/dx2
et voila!

autre façon de le voir :
dérivons fog avec ici f =T*(u) et g = u(x)
(fog)' = g' * (f' o g)
dérivons encore:
(fog)" = g"*(f'o g) + g'*(g'*(f" o g)
D'où
(fog)" = (g')² * (f"og) + g"*(f'og)

[ulyss]

mais c'est bizarre ca donne T*(u)=erf(u)

J'ai un doute sur l'égalité suivante :
J'ai pris des exemples normalement j'ai le droit d'écrire ça, je crois qu'il faut le u dans l'exponnentielle par l'infini

Si T*(u)=erf(u) m'a l'air de bien correspondre à priori.
"Physiquement" çà va :
Comme T(x,t) = T*(u) * (T0 - Te) + Te
Si u tend vers +infini alors c'est comme si t tend vers 0 ou x tend vers l'infini et on retrouve bien T(x,t) qui tend vers T0... çà a l'air bon

J'arrive pas à lire ton lien vers le mode d'emploi TeX.

[dalfred]

Merci beaucoup.

Lien : http://forums.futura-sciences.com/fo...e-demploi.html

Là ca devrait fonctionner.