statique du solide

[Minialoe67]

Bonjour

je ne comprends pas la question 2 de cet exercice: qu'est-ce qu'une base principale pour un tenseur des déformations?


Merci de m'expliquer.
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[NicoC14]

Bonjour,

Il s'agit d'une base dans laquelle le tenseur des déformations est une matrice diagonale.
Les vecteurs e1, e2 et e3 sont alors appelés directions principales de déformations, et les 3 composantes du tenseur des déformations sont les déformations principales (les directions principales et les déformations principales sont respectivement les vecteurs propres et valeurs propres du tenseur).

Dans ton cas, la question 2 se résume à déterminer les relations que doivent vérifier a, b et c pour que les termes non diagonaux s'annulent dans la base (e1,e2,e3).

[Minialoe67]

ah d'accord et c'est normal que l'on trouve:
a=0?
c=0?
et b≠0?
donc on obtient une matrice des déformations E avec seuls les coefficients E₂₁ et E₂₂ non nuls?

j'ai calculé les différentes déformations avec E₁₁=dU₁/dx₁ , E₁₂=dU₁/dx₂...

[NicoC14]

L'hypothèse des petites déformations permet effectivement un calcul simple et rapide des déformations dans un repère orthonormé.
Ceci étant dit, la formule est Ɛ_ij = 1/2 (dU_i/dx_j + dU_j/dx_i), il y a donc une erreur sur la valeur du Ɛ₁₂ que tu proposes

De fait, le tenseur obtenu doit être symétrique sous les hypothèses utilisées, et donc Ɛ₂₁ et Ɛ₂₂ ne peuvent pas être les deux seuls coefficients non nuls, Ɛ₂₁ et Ɛ₁₂ étant nécessairement égaux.

Par ailleurs, l'objectif de la question est de déterminer les valeurs de a, b et c afin que seuls Ɛ₁₁, Ɛ₂₂ et Ɛ₃₃ soient non nuls, que l'on note souvent dans ce cas Ɛ_I, Ɛ_II et Ɛ_III, avec la base associée (e_I,e_II,e_III).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Minialoe67]

Merci!

b=c=2a

j'ai réussi à terminer la suite grâce à votre aide.