Problème de particules

[Bonnie_-]

Rebonsoir,

J'ai 2 exemples toujours en rapport avec mon problème précédent (Modèle Standard), qui me perturbent, mais qui pourrait justement m'aider à comprendre cette partie-là de la théorie.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer, s'il vous plaît ? Car je crois qu'avec un exemple concret, je comprendrai mieux et ça devrait être plus court à expliquer (et puis ,j'ai déjà tellement passé de temps là dessus et sur internet que je crois que je ne suis plus qu'à deux doigts de comprendre du moins si quelqu'un m'aide ).

1er exemple avec la particule :

(on distribue ...) (1)

Jusque là, tout va bien, je comprends


Ce qui m'ennuie, c'est que cette éq. ci-dessus, j'aurais bien vu, à la place du terme de gauche, le terme suivant :
Et pourtant en fait, pour le proton, on a la chose suivante :

(2)

Pourquoi ici dans l'éq. (2), on a une somme de 3 termes dans le membre de droite alors que dans l'éq. (1), on a seulement 1 terme (un produit) ?
Pourquoi dans l'éq. (2), on ne fait pas également un produit (exactement comme dans (1) ) sauf qu'à la place d'à chaque fois avoir 2 "flèches (spin) vers le bas" et une vers le haut, ou aurait 2 flèches vers le haut et une vers le bas ?
Pourquoi y a des signes moins dans l'éq (2) et que des "plus" dans l'éq (1) ?

Merci d'avance !
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[Bonnie_-]

Bon, sans être sûre, je peux expliciter les choses suivantes (en fait, ce que je ne comprends pas : c'est comment on a dû utiliser les coefficients de Clebsch-Gordan ? ) :

On sait que la fonction d'onde globale d'un baryon (comme par exemple les particules protons et ) doit être anti-symétrique.



Comme la fonction d'onde est toujours symétrique pour le niveau de plus basse énergie (ground state), il faut que la fonction soit symétrique. C'est ce qu'on va essayer de faire pour les 2 cas (cf. mon premier message plus haut):

• On prend le cas d'un spin 3/2 avec la projection -1/2. Si on cherche les coeff de clebsh-gordan, on peut écrire (en fait, j'écris directement l'éq. qui avait plus haut dans mon message avant car je ne vois pas comment ou plutôt où il faut utiliser dans l'éq. ci-dessous les coeff de Clebsch-Gordan ? ):



Si quelqu'un pouvait me dire comment et où on a dû utiliser les coeff de Clebsc-Gordan, ce serait sympa

Donc pour la première éq., aucun soucis, une seul possibilité. La fonction est totalement symétrique.
Il reste juste à combiner la saveur des différents quarks aux différents spin possibles comme dans mon premier message éq. (1).
on peut écrire



• Ensuite, pour le un proton de spin up. (spin +1/2), c'est différent. La combinaison est partiellement anti-symétrique.
Faut prendre en compte toutes les combinaisons possibles afin d'avoir au final un fonction d'onde symétrique.(c'est de la combinatoire, je suppose mais je vois pas comment faut faire pour arriver au résultat ci-dessous ? ). A nouveau, avec glebsh-gordan dont j'ignore comment et où on a utilisé ce coeff de Clebsch-Gordan (?) , on a :




La première fonction est anti-symétrique sous l'échange de la particule 1 et 2, et la deuxième est anti-symétrique sous l'échange de la particule 2 et 3.

De même on peut construire une fonction a-symétrique sous l'échange 1 et 3, mais ce n'est que la combinaison de la première et la seconde :



Si on somme toutes ces fonctions, on a donc une fonction d'onde global qui est symétrique pour les 3 particules à la fois.

Au final,



A nouveau, on a multiplié par les fonctions d'ondes de saveurs correspondantes, ce qui donne une fonction d'onde symétrique . et on obtient le résultat de mon message précédent éq. (2)

Voilà, au final, les signes + et - et la différence entre ces deux exemples réside dans les différents résultats de glebsh-gordan (dont je comprends pas comment ni où on les a utilisés ? ), qui sont très différents selon qu'on aie des spins 3/2 ou 1/2. Le reste, c'est du tâtonnement afin de produire une fonction d'onde globale qui respecte le caractère anti-symétrique des fermions.

Quelqu'un peut-il m'aider, s'il vous plaît ? Car après des heures et des heures de recherches et tâtonnements, c'est tout ce que je peux écrire et donc, même si j'ai compris quelques trucs en plus, il me manque encore la compréhension de pas mal de choses avant de comprendre comme arriver aux éq. (1) et (2).