Bonjour,
Dans un exercice de géophysique nous avons trouvé que le potentiel de gravitation est
g=-grad W
Donc que W=G.Mt((1/r)-(a²/2)*J2(3sin²(alpha-1))*1/r^3)
où r est le rayon, alpha la latitude et J2 une constante égale à 1.0827.10^-3
On doit maintenant trouver que cette équation est solution de l'équation de Laplace c'est à dire que son laplacien est nul.
Le problème c'est qu'on c'est comment partir, est-ce que quelqu'un pourrai nous orienter?
Merci
Et bien calculez le laplacien (http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_laplacien).
Donc si j'ai bien compris on doit calculer l’orateur laplacien en coordonnée sphérique pour le potentiel gravitationnel et si il est égale à 0 c'est que l'équation est solution?
oui, ça me semble le plus simple à faire
Est ce que ça te semble juste si on écrit :
div(grad W) = 1/r² * d/dr(r²Wr)+1/rsin (theta) * d/d(theta) *(sin(theta*Wtheta) + 1/rsin(theta) d/d(phi)(Wphy)
Les dérivés sont bien sur des dérivés partielles
Comme g est radial on a donc:
1/r²*d/dr(r²*GM/r²)+0+0=0
On simplifie les r² donc la derivé partielle de GM=0 car contante et donc 1/r²*0=0
Donc div(grad W)=0
vu que div(grad)=laplacien donc laplacien=0 donc W est solution de laplace?
Est ce que ça te semble juste? ou serai tu parti sur autre chose?
Si je lis vôtre 1ère expression W n'est pas purement radial, ça dépend de r et de alpha.
Reste à relier alpha aux coordonnées sphériques et calculer le laplacien.
notre énoncé nous donne
g= (-GM)/r² (1-3/2*a²/r²*J2 (3sin²(alpha-1))er
en nous disant que c'est une l'accélération radiale gravitationnel pourtant il y a alpha aussi. Du coup je comprend pas
Re : solution de l'équation de Laplace
Etudiants en L3 géosciences montpellier 2
l'accélération est bien radiale (la seule composante de g non nulle est celle selon le vecteur "ur" mais dépend des paramètres r et alpha.Envoyé par mafali
Vous avez:et il faut remplacer alpha en fonction de théta et phi puis appliquer le rotationnel en coordonnées sphériques
Mais je vois pas la relation entre le theta le phi et le alpha
en coordonnées sphériques que représente les angles théta et phi?
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quel est le lien avec la lattitude?
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On a bien l'expression du laplacien en coordonnée sphérique mais on à pas de formule avec alpha
du coup je vois pas comment remplacer alpha avec tetha et phi même en regardant le lien que tu as donné.
allé parce que je suis vraiment trop gentil:
"Il est aisé de passer d'un système à un autre car latitude et colatitude sont liées par :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordon...ph%C3%A9riques
Ok merci
donc si j'ai bien compris on a:
x=rcos(90-phi)cos (tetha)
y=rcos(90-phi)sin(tetha)
z=rsin(90-phi)
donc (dérivé partielle pour la divergence)
d/dr= GMt[-1/r²+3/r^4*(a²/2*J2*3sin²(90-phi-1)]
d/d(tetha)=GMt[0-a²/2J2(6cos (90-phi-1))]
d/d(phi)=GMt[0-a²/2J2(6cos (90-phi-1))]
après si elles sont juste on refait pour avoir une dérivé seconde ?
Euh j'ai oublié une partie :
d/dr= GMt[-1/r²+3/r^4*(a²/2*J2*3sin²(90-phi-1)]
d/d(tetha)=GMt[0-a²/2J2(6cos (90-phi-1))*1/r^3]
d/d(phi)=GMt[0-a²/2J2(6cos (90-phi-1))*1/r^3]
Plus personne pour m'aider?
je pense que clairement la méthode la plus simple ici est juste d'appliquer la formule pour le laplacien en coordonnées sphériques (http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A...dimension_3.29) à l'expression que l'on vous a donné pour g sachant que le alpha dans la formule vaut 90°-phi) plutot que d'appliquer deux fois la divergence, de vérifier que les termes croisés s'annulent bien, etc.) mais votre raisonnement était bel et bien correct
on a compris que
alpha=delta=latitude
thêta=phi=colatitude
r=rho=rayon
notre notation= notation wikipédia= ce que c'est
or dans la formule du laplacien on a: rho qu'on remplace par r mais du coup on ne sait pas par quoi remplacer thêta et phi? (vu que thêta pour nous=phi pour vous= à la colatitude).
merci
je crois avoir compris que:
rhô= rayon
thêta=longitude???
phi=colatitude
donc on à bien la relation entre la latitude (delta) et la colatitude (phi) [ delta=90-phi] mais du coup quelle est la relation entre la latitude (delta) et la longitude ( thêta)?
il y a deux systemes de coordonnées sphériques: (j'utilise les notations wikipédia pour ne pas vous embrouiller)
-(rayon;colatitude;longitude) utilisé par les physiciens et que l'on note en général (r=rho, phi,theta)
-(rayon;latitude;longitude) utilisé par les matheux et apparemment les géologues et noté en général (r=rho;delta=alpha de votre exercice;theta).
Dans les deux systemes de coordonnées, on a le rayon et la longitude. seul diffère l'angle qui varie de 0 à pi (dans un cas on prend la latitude et dans l'autre la colatitude).
Il n'existe aucune relation liant la latitude à la longitude. Ce sont des paramètres indépendants. Tout comme en coordonnées cartésiennes x, y et z sont des coordonnées indépendantes. Donc, étant donné la forme de g, dans la formule du laplacien en coordonnées sphériques, toutes les dérivées par rapport à theta seront nulles.
Amusant ces nuances entre physiciens et mathématiciens.
Une idée du pourquoi?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
