Contraintes non-holonomes = non-intégrables : pourquoi ?

[raph357]

Bonjour,

Lorsqu'une boule roule sur un plan incliné, elle est liée à ce plan par une liaison non-holonome.

J'ai du mal à comprendre pourquoi cette contrainte est dite non-intégrable

Si quelqu'un peut éclairer ma lanterne, je suis preneur

Merci
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[raph357]

Elle est non intégrable parce qu'on ne peut pas l'intégrer.

Mais pourquoi on ne peut pas l'intégrer ?

[raph357]

En fait, le mot "intégrable" n'a pas deux sens différents ?

[unpseudosvp]

Bonjour.
Le mieux est d'aller voir votre source d'information qui affirme qu'une telle liaison "n'est pas intégrable".
Il me semble toutefois que votre liaison est holonome (https://fr.wikipedia.org/wiki/Contrainte_holonome), mais je peux me tromper.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

En fait, le mot "intégrable" n'a pas deux sens différents ?

Quels seraient-ils selon vous ?

@+

[invite02232301]

Bonjour,
C'est relié à la notion de distribution intégrable ou non intégrable, elle meme reliée a la notion d'intégration des formes differentielles.
En mecanique (i.e en geométrie symplectique) on s'interesse au fibré cotangent d'un variété differentiable (muni d'une 2-forme simplectique) les contraintes holonomes portent sur le fait que le systeme peut etre contraint à evoluer dans un sous variété de la variété de base (celle des configuration, la variété totale etant celle des phases), mais il y a bien sur d'autre type de contrainte qui consiste à prescrire une distribution sur la variété des configurations dans lesquels doivent etre les q', une telle distribution est dite intégrable si elle est le fibré tangent à une sous variété de la variété des configurations, mais parfois ca n'est pas le cas. Le theoreme de Frobenius donne une CNS pour que ce soit le cas qui s'exprime en fonction d'intégrabilité de formes.

Bon, c'est conceptuel comme réponse (chuis préssée) je peux faire une réponse plus ad hoc si besoin.

(deja une recherche wiki sur les termes mentionnés devrait vous eclairer, desole je peux pas mettre les liens là).

[unpseudosvp]

Merci MiPaMa.

C'est relié à la notion de distribution intégrable ou non intégrable, elle meme reliée a la notion d'intégration des formes differentielles.
En mecanique (i.e en geométrie symplectique) on s'interesse au fibré cotangent d'un variété differentiable (muni d'une 2-forme simplectique) les contraintes holonomes portent sur le fait que le systeme peut etre contraint à evoluer dans un sous variété de la variété de base...

Je pensais que les contraintes holonomes créaient justement leur variété adoc, mais bon maintenant que tu as donné ta belle réponse, je doute de tout, même de 1+1=2. Pas grave, encore un truc à revoir pour moi...

Au fait : et la balle sur le plan, dans tout ça ?
Cordialement.

[invite02232301]

Ben la balle et le plan ils sont toujours là.
En particulier le fait que la balle soit atreintre à rouler sur le plan sans glisser est une condition qui s'expirme naturelle sur le fibré tangent (ou contangent) de l'espace des configuration de la sphere.
J'ai trouvé ce petit doc qui explicite un peu tout ca (pour ma part je n'ai en tete que l'appendice de bouquin de Sharpe, où il explique justement la vision moderne du probleme du roulement, donc ce truc sera une meilleure source que moi)
http://www.ciem.unican.es/encuentros...iales_talk.pdf

[unpseudosvp]

Merci MiPaMa pour cette source d'info très...bleue.

Ben la balle et le plan ils sont toujours là.
En particulier le fait que la balle soit atreintre à rouler sur le plan sans glisser est une condition qui s'expirme naturelle sur le fibré tangent (ou contangent) de l'espace des configuration de la sphere.

je voulais te demander une précision : cette situation est-elle qualifiable de contrainte holonome ou de contrainte non-holonome ?
Cordialement.

[invite02232301]

Si on lui impose de ne pas glisser elle est non holonome me semble t il.

[raph357]

Merci pour les réponses. De mon côté, j'ai un peu avancé.
En ce qui concerne la balle sur un plan, la liaison n'est pas intégrable car on ne peut pas exprimer de façon univoque les coordonnées cartésiennes en fonction des angles d'Euler. C'est un peu comme le parcage de voiture: à force de faire des va-et-vient, on peut toujours atteindre l'orientation désirée n'importe où. Les coordonnées de position ne sont donc pas liées avec l'orientation de la voiture. Par contre, les petits mouvements doivent se faire dans le plan des roues : il sont contraints localement, c'est-à-dire sur l'espace tangent.

J'ai un petit doute quand je lis le dossier "Techniques de l'Ingénieur : Formalismes de la dynamique rationnelle des systèmes mécaniques : de Newton à Kane". Il mentionne que des liaisons holonomes peuvent être non intégrables et aussi que des liaisons nonholonomes peuvent être intégrables. (Je dois avouer que ça m'embrouille un peu, du fait qu'étymologiquement, 'holo-' veut dire 'entier', c'est-à-dire intègre, c'est-à-dire intégrable) Cela est contraire aux définition que j'ai vu dans d'autres ouvrages. Il y a aussi Droz qui dit qu'une liaison non-holonome peut être soit non-intégrable, soit dépendre des vitesses ou soit être une inégalité.