Bonjour à tous,

je suis confronté aux problème suivant :

La température T(x; t) s'une barre cylindrique de longueur 2l est supposée ne dépendre que de x et
de t. Le matériau constituant la barre a pour masse volumique ro, pour conductivité thermique K et pour
capacité thermique c. On note alpha= K/ro*c sa diffusivité thermique.
Soit T0 la température initiale, supposée uniforme, de la barre. À t = 0, les extrémités de la barre aux
abscisses x =+ou- l sont mises en contact avec l'air ambiant de température constante Ta. On suppose que
la face latérale de la barre est calorifugée de manière à empêcher tout échange de chaleur.
On posera theta(x; t) = T(x; t) - Ta et theta0 = T0 - Ta.
Dans le cas général, la température du milieu ambiant détermine le fux thermique aux extrémités de
la barre :
jq(x = +- l; t) = +- h (T(x = +- l; t) -Ta) ; pour tout t > 0: (j'écris "+-" pour dire "+ ou -")
où h est un coefficient d'échange.

Le problème est de déterminer theta(x,t).
J'ai procédé en montrant que theta(x,t) peut s'écrire comme le produit f(x)g(t) et en l'injectant dans l'équation de la chaleur on trouve que theta(x,t) s'écrit comme une combinaison linéaire de fi(x)gi(t). Ensuite en utilisant la condition initiale cette combinaison se réécrit comme une série de fourier en cosinus, combinaison de fi(x) car gi(t=0)=1 car gi(t) est une exponentielle décroissante du temps;
Là où je suis confronté à un problème c'est dans la détermination des coefficient Ai de cette série de fourier. Je crois que c'est parce que je n'arrive pas à définir theta(x,t=0) étant donné qu'aux bords elle va dépendre de jq. Je pense que si on arrivait à définir theta alors le calcul des Ai deviendrait simple. Ou alors il faudrait exploiter les résultats pour le cas d'une barre avec un bon contact thermique aux bords tel que theta(x=+-l,t)=0 ?

Qu'en pensez-vous?
Merci de votre aide