Causalité / instabilité du système défini par H(ω)=1/(1+(jω)^5)

[stefjm]

le système est totalement décrit dans le titre du fil. Je l'ai défini par sa réponse en Fourier ; comme la TF est bijective, cela revient à définir directement la RI. Or, un système LTI est par définition totalement caractérisé par sa RI. C'est ce qui est souligné dans Wikipédia (article "fonction de transfert") : "La relation évoquée plus haut entre l'entrée u et la sortie y d'un système est un opérateur de convolution dont le noyau est la réponse impulsionnelle du système." Ou tout simplement dans n'importe quel cours ou bouquin sur les systèmes parlant de la réponse impulsionnelle.[...]

J'ai compris l'esprit. Il faut que je relise l'ensemble.

C'est marrant qu'on ne soit que 3 sur ce sujet!
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[b@z66]

Bonsoir,


On n'a pas le même humour, alors.

Graphes en PJ :
- Réponse fréquentielle théorique
- Réponse fréquentielle avec RI tronquée entre 0 et 50 s
- Réponse fréquentielle avec RI tronquée entre -15 et 35 s

Donc, avec un retard de 15s, j'arrive à implémenter la FT définie en #1 avec moins de 1dB d'erreur jusqu'à 120 dB d'atténuation. Tout client à qui je présente cela en sera pleinement satisfait . Je maintiens donc ma position, FAPP. Mieux : ce n'est pas cette troncature qui le rend stable.
Approximer un IIR par un FIR n'a rien d'extraordinaire : c'est juste de la bonne pratique courante.

Mais si au moins cela t'a distrait 2 minutes, alors ce fil n'aura pas été inutile.

Juste une petite remarque, la stabilité n'est pas qu'une question de gain mais aussi de phase et, comme par hasard, tu éludes toi-même les résultats de ton graphe concernant le déphasage... C'est bien de faire mumuse avec les filtres numériques, c'est d'ailleurs leur principal atout: on peut quasiment tout faire avec à la différence des filtres analogiques(aux erreurs de précision près), on peut créer des filtres à RIF de toutes pièces avec l'imagination pour seule limite. C'est bien ce que je te reproche, tu es très fort pour charcuter une fonction temporelle pour en faire ce que tu veux mais du coup, tu lui fais perdre tout son sens d'origine.

PS: à quoi devait donc servir ta question de départ si pour toi toutes les fonctions de transfert fréquentielles correspondent d'office à des systèmes stables? Ton humour répétitif est en fait assez pauvre en soi.

[b@z66]

Bonsoir,


Réponse subsidiaire : c'est bien un de mes propos, vérifier les hypothèse avant d'appliquer bêtement des outils mathématiques. Donc, conditions d'application du critère de Nyquist ? Système causal ? TL mono / bi ?

Le critère de Nyquist est un critère mathématique qui nécessite juste de connaître la réponse fréquentielle de la fonction de transfert(c'est à dire ses valeurs sur l'axe médian du plan de Laplace mais aussi par extension dans le plan complet puisque l'on considère uniquement des fonctions de transfert holomorphes, on peut donc dire que ce critère va jusqu'à la TL bi). Ce critère est général et s'applique à la fonction de transfert en boucle ouverte. Il n'y a pas d'histoire de "causalité" puisque qu'un système instable peut apparaître alors avec une partie anti-causale. D'ailleurs quand on étudie le critère de stabilité de l'emplacement des pôles grâce au théorème des résidus en l'appliquant à la FT en Fourier(et par extension dans tout le plan complexe), on se rend compte que ce critère de stabilité revient à dire que la RI issue de Fourier doit uniquement avoir une partie causale.

et si l'on en croit la littérature, ce critère est strictement équivalent au critère de stabilité classique en TL monolatérale, donc signe de la partie réelle des pôles. Pas besoin de cela pour dire que 1/(1+p⁵) est instable, tu l'avais déjà souligné en #15. Mais le système définie en #1 n'est pas 1/(1+p⁵).

Donc maintenant, venons-en au système défini en #1, c'est à dire 1/(1+(jω)⁵). Il existe un diagramme de Nyquist en jω :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Diagramme_de_Nyquist

La FTBO du système est 1/(jω)⁵.

Première remarque : le résultat n'existe pas sur tout le "contour" (non défini pour ω = 0). Le critère est-il toujours valable ?
Allez, mettons cela de côté, et continuons, on verra bien.

Cela ne pose pas de problème. Tu peux prendre dans ce cas 1/(jω)⁵ ou (jω)⁵, tu obtiendras les mêmes pôles en BF. Simplement, en appliquant bêtement la formule de la FTBF, tu obtiendras dans un cas la fonction de transfert de la sortie de ton système bouclé alors qu'avec l'autre tu obtiendras, la fonction de transfert de l'erreur(entrée-sortie). Comme la stabilité d'un système bouclé ne doit pas dépendre du fait que l'on étudie sa sortie ou le signal d'erreur, je te laisse deviner la suite. Pour ce qui est de la définition du contour au niveau d'une singularité, comme tu le fais remarquer pour w=0, il suffit de "contourner" la singularité en faisant un détour autour de l'origine du plan qui prend la forme d'un demi-cercle dont on fait tendre le rayon vers 0. J'admets que dans ce cas là, il faut bien faire attention en calculant le résultat de la transformation sur ce petit bout de courbe(en espérant que cela tende vers 0) mais cela doit pouvoir se faire très bien. Mathématiquement, il n'y a rien de sorcier en cela.

Pour ω > 0, 1/(jω)⁵ est imaginaire pur, donc à partie réelle nulle. La courbe obtenue est donc la partie positive de l'axe des imaginaires : on laisse le point (-1,0) bien à gauche => système stable.

Sous réserve encore une fois de l'applicabilité du critère, mais on n'en a de toutes façons pas besoin pour savoir que le système est stable. L'existence de la TF suffit.

Le système est instable même en utilisant 1/(jω)⁵, il reste malgré tout instable. Si tu te sers uniquement de la divergence d'un calcul de TF inverse pour juger de la stabilité, tu es bon pour considérer tous les systèmes stables de cette façon...

[b@z66]

erreur de mise en forme du texte de mon dernier commentaire:

Bonsoir,


Réponse subsidiaire : c'est bien un de mes propos, vérifier les hypothèse avant d'appliquer bêtement des outils mathématiques. Donc, conditions d'application du critère de Nyquist ? Système causal ? TL mono / bi ?

Le critère de Nyquist est un critère mathématique qui nécessite juste de connaître la réponse fréquentielle de la fonction de transfert(c'est à dire ses valeurs sur l'axe médian du plan de Laplace mais aussi par extension dans le plan complet puisque l'on considère uniquement des fonctions de transfert holomorphes, on peut donc dire que ce critère va jusqu'à la TL bi). Ce critère est général et s'applique à la fonction de transfert en boucle ouverte. Il n'y a pas d'histoire de "causalité" puisque qu'un système instable peut apparaître alors avec une partie anti-causale. D'ailleurs quand on étudie le critère de stabilité de l'emplacement des pôles grâce au théorème des résidus en l'appliquant à la FT en Fourier(et par extension dans tout le plan complexe), on se rend compte que ce critère de stabilité revient à dire que la RI issue de Fourier doit uniquement avoir une partie causale.

et si l'on en croit la littérature, ce critère est strictement équivalent au critère de stabilité classique en TL monolatérale, donc signe de la partie réelle des pôles. Pas besoin de cela pour dire que 1/(1+p⁵) est instable, tu l'avais déjà souligné en #15. Mais le système définie en #1 n'est pas 1/(1+p⁵).

Donc maintenant, venons-en au système défini en #1, c'est à dire 1/(1+(jω)⁵). Il existe un diagramme de Nyquist en jω :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Diagramme_de_Nyquist

La FTBO du système est 1/(jω)⁵.

Première remarque : le résultat n'existe pas sur tout le "contour" (non défini pour ω = 0). Le critère est-il toujours valable ?
Allez, mettons cela de côté, et continuons, on verra bien.

Cela ne pose pas de problème. Tu peux prendre dans ce cas 1/(jω)⁵ ou (jω)⁵, tu obtiendras les mêmes pôles en BF. Simplement, en appliquant bêtement la formule de la FTBF, tu obtiendras dans un cas la fonction de transfert de la sortie de ton système bouclé alors qu'avec l'autre tu obtiendras, la fonction de transfert de l'erreur(entrée-sortie). Comme la stabilité d'un système bouclé ne doit pas dépendre du fait que l'on étudie sa sortie ou le signal d'erreur, je te laisse deviner la suite. Pour ce qui est de la définition du contour au niveau d'une singularité, comme tu le fais remarquer pour w=0, il suffit de "contourner" la singularité en faisant un détour autour de l'origine du plan qui prend la forme d'un demi-cercle dont on fait tendre le rayon vers 0. J'admets que dans ce cas là, il faut bien faire attention en calculant le résultat de la transformation sur ce petit bout de courbe(en espérant que cela tende vers 0) mais cela doit pouvoir se faire très bien. Mathématiquement, il n'y a rien de sorcier en cela.

Pour ω > 0, 1/(jω)⁵ est imaginaire pur, donc à partie réelle nulle. La courbe obtenue est donc la partie positive de l'axe des imaginaires : on laisse le point (-1,0) bien à gauche => système stable.

Sous réserve encore une fois de l'applicabilité du critère, mais on n'en a de toutes façons pas besoin pour savoir que le système est stable. L'existence de la TF suffit.

Le système est instable même en utilisant 1/(jω)⁵, il reste malgré tout instable. Si tu te sers uniquement de la divergence d'un calcul de TF inverse pour juger de la stabilité, tu es bon pour considérer tous les systèmes stables de cette façon...

[b@z66]

Pour ce qui est de la définition du contour au niveau d'une singularité, comme tu le fais remarquer pour w=0, il suffit de "contourner" la singularité en faisant un détour autour de l'origine du plan qui prend la forme d'un demi-cercle dont on fait tendre le rayon vers 0. J'admets que dans ce cas là, il faut bien faire attention en calculant le résultat de la transformation sur ce petit bout de courbe(en espérant que cela tende vers 0) mais cela doit pouvoir se faire très bien. Mathématiquement, il n'y a rien de sorcier en cela.

Après réflexion, cela ne change pas grand chose à l'étude précédente que j'avais fait. En transformant ce petit bout de demi-cercle avec la transformation 1/(jw)⁵, il se transforme en "l'arc de cercle"(avec le rayon tendant vers l'infini) faisant plusieurs tours de ma première démonstration tandis que le demi-cercle dont le rayon tend vers l'infini lui se transforme en devenant un "arc de cercle" dont le rayon tend vers 0. In fine, pas mal de chose son inversée dans le dessin résultant mais sa forme globale pour l'étude de la stabilité doit rester la même.

[b@z66]

Juste une petite remarque, la stabilité n'est pas qu'une question de gain mais aussi de phase et, comme par hasard, tu éludes toi-même les résultats de ton graphe concernant le déphasage... C'est bien de faire mumuse avec les filtres numériques, c'est d'ailleurs leur principal atout: on peut quasiment tout faire avec à la différence des filtres analogiques(aux erreurs de précision près), on peut créer des filtres à RIF de toutes pièces avec l'imagination pour seule limite. C'est bien ce que je te reproche, tu es très fort pour charcuter une fonction temporelle pour en faire ce que tu veux mais du coup, tu lui fais perdre tout son sens d'origine.

Pour préciser mon commentaire, deux questions: quel sens physique a pour toi le fait de tronquer une réponse temporelle?(ou quel effet cela a t-il à ton avis sur l'EDO dont est tirée la RI et la FT?) Le retard que tu appliques ensuite n'a t-il selon toi aucune influence sur le déphasage et donc la stabilité?

[phuphus]

Bonsoir,

Juste une petite remarque, la stabilité n'est pas qu'une question de gain mais aussi de phase et, comme par hasard, tu éludes toi-même les résultats de ton graphe concernant le déphasage... C'est bien de faire mumuse avec les filtres numériques, c'est d'ailleurs leur principal atout: on peut quasiment tout faire avec à la différence des filtres analogiques(aux erreurs de précision près), on peut créer des filtres à RIF de toutes pièces avec l'imagination pour seule limite. C'est bien ce que je te reproche, tu es très fort pour charcuter une fonction temporelle pour en faire ce que tu veux mais du coup, tu lui fais perdre tout son sens d'origine.

Le "comme par hasard" est de trop.

En PJ la même tronquée à [-14 36]s. La phase se barre en sucette bien après la version [-15 35]s. Et je gagne encore 30 dB au passage. Une phase qui commence à faire apparaître des artefacts numériques, cela n'a rien à voir avec une stabilisation du système, ni avec une quelconque perte de sens : juste de la pratique.

Le sujet est de toutes façons HS dans cette discussion. Si l'effet du fenêtrage d'un IIR, et toute interprétation qui en découle, t'intéresse, tu peux lancer un autre sujet.

[phuphus]

Bonsoir,

Le critère de Nyquist est un critère mathématique qui nécessite juste de connaître la réponse fréquentielle de la fonction de transfert
[...]In fine, pas mal de chose son inversée dans le dessin résultant mais sa forme globale pour l'étude de la stabilité doit rester la même.

Avant de continuer, sois clair sur ce que tu as appelé en #142 "critère de Nyquist qui utilise la forme harmonique, c'est à dire la TF". Le mieux serait :
- de donner un lien vers un document explicitant ce critère. Comme cela, nous partirons sur une même base, externe et neutre
- de présenter toi-même le calcul de stabilité selon ce critère
- dans tous les cas, je ferai (aussi) ce calcul.

Si le calcul en question est celui que tu as déjà fait en #65, il suffira de le mentionner.

[phuphus]

Bonsoir,

à tous, je repose pour la Nième fois une des interrogations que j'ai suite à l'initiation de ce fil : critère de stabilité en Laplace bilatérale ? Pour ma part, c'est "axe des imaginaires inclus dans la ROC considérée".

[phuphus]

Re,

PS: à quoi devait donc servir ta question de départ si pour toi toutes les fonctions de transfert fréquentielles correspondent d'office à des systèmes stables?

J'ai déjà exprimé mes motivations :

Bonjour,

à l'occasion du fil Déphasage en physique, stefjm a proposé deux fonctions de transfert avec une question associée sur le déphasage.

J'aimerais remettre en perspective, avec certains éléments de ce fil, les résultats obtenus pour la fonction de transfert . Les éléments sont les suivants :

Personnellement, c'est un petit truc dont je m'étais aperçu dans un exercice qui consistait à calculer la réponse impulsionnelle d'un système du second ordre en suivant la même démarche que j'ai refait dans le document que je t'ai scanné mais pour un système du premier ordre. Le fait est que lorsque l'on fait une transformée inverse sur une fonction de transfert, rien ne garantie automatiquement que la forme de la réponse impulsionnelle ainsi trouvée sera causale. On peut en effet très bien tomber sur une forme anti-causale pour cette réponse, ce qui ne veut pas dire pour autant que le principe de causalité est remis en cause dans l'interprétation que l'on peut en faire. En effet, on peut très bien interpréter cette réponse anti-causale comme le résultat d'une perturbation infinitésimale dont l'origine est repoussée en t=-infini et l'impulsion en t=0 n'aurait pour effet que de remettre dans un équilibre idéal la sortie qui système qui reste ensuite à partir de t=0 à une valeur parfaitement nulle. On pourrait tenter de réaliser dans le pratique cette expérience: c'est à dire laisser la sortie d'un système instable diverger tranquillement de son état d'équilibre et ensuite appliquer judicieusement une impulsion en entrée pour que le système retrouve idéalement son état d'équilibre, mais comme en réalité la moindre petite perturbation remettrait le système hors de son équilibre, c'est quelque chose de complètement irréalisable en pratique. On se contente donc de dire alors que le système est instable même si mathématiquement on peut trouver une réponse impulsionnelle particulière à ce système instable. Après tu peux très bien me rétorquer que mes observations ne concernent que la TF et non la TL mais en fait non puisque ce qui différencie la TF de la TL que tu connais en automatique, ce n'est que simplement le domaine de définition dans le plan complexe. La TF "classique" n'est en général considéré que pour f faisant partie l'axe des réels(l'axe qui délimite justement les deux demi-plan de stabilité) tandis que ta TL implique implicitement son utilisation que pour alpha>cste>0(avec s=alpha+j.omega). La TL de la fonction de Heavyside n'est par exemple définit que alpha>0(ce qui crée "à la limite" un pôle sur la limite de stabilité) or ce qui est intéressant dans l'étude de la stabilité d'un système à partir de la présence de ces pôles dans les deux demi-plans concernés donc pour alpha à la fois positif et négatif. C'est donc pour ça qu'il faut élargir un peu la vision habituelle que l'on a de la TL et de la TF pour étudier ces comportements.

PS: le fait que l'on trouve toujours des TL pour les fonctions causales vient toujours implicitement de l'hypothèse alpha>0 mais cela n'est au fond qu'une restriction qui peut très bien disparaitre dès lors que l'on considère l'ensemble du plan complexe dans l'espace de Laplace.

PS2: dans ma demo2, j'ai oublié de préciser que le changement de signe de "tau" faisait changer de demi-plan au pôle et donc inversait les deux parties de la résolution(t<0 et t>0).

Et du coup, j'ai enfin compris pourquoi nous n'étions jamais d'accord sur les histoires de causalité et stabilité que tu vois liée (avec la TF) et que je vois indépendante (avec la TL)

En fait, la TF fait une association (je ne sais pas trop comment dire...)
entre pôles négatif et temps positifs croissants 1/(1+iw) : réponse impulsionnelle
et
entre pôles négatifs et temps négatifs croissants 1/(1-iw) : réponse impulsionnelle

Quand on n'a que des pôles stables, on peut utiliser Fourier ou Laplace indifféremment et on arrive à se comprendre. (Y compris avec ton exemple de temps renversé)
Tu m'avais renvoyé à mes chères études en me reprochant de ne pas savoir d'où venait les critères de stabilité utilisant la TF: Je te renvoie aux tiennes avec les critères utilisant la TL.

En effet, dès qu'on a à la fois des pôles stables (partie réelle négative) et instables (partie réelle positive), ce qui arrive tout le temps en commande de procédé en raison de la loi de l'emmerdement maximum, la TF est dans les choux pour caractériser la stabilité puisqu'elle effectue un espèce de recollement de et en . (La divergence maxi se retrouve en )
Du coup, la TF^-1 ne donne pas la réponse impulsionnelle du filtre TF^-1

Par contre la TL-1 donne bien la réponse impulsionnelle du filtre : réponse impulsionnelle

La suite sous forme de sondage ici :
Causalité / instabilité du système défini par H(ω)=1/(1+(jω)^5)

Bonjour,

à l'occasion du fil Déphasage en physique, stefjm a proposé deux fonctions de transfert avec une question associée sur le déphasage.
La première fonction de transfert a été définie comme suit :



Si l'on remet en perspective cette fonction de transfert avec la discussion "Causalité et instabilité", on peut se poser la question du caractère causal ou stable de . J'ai mis les éléments de réponse que j'estimais contradictoires ici :
Causalité et instabilité

Mais il y a aussi de nombreux éléments de réponse sur les fils suivants (j'ai même peut-être manqué, dans ces discussions, la réponse que je cherche via ce sondage, allez savoir ) :
Causalité et instabilité
Déphasage en physique
Transformée laplace-fourier: interpretation (indigeste...)

Notez que j'ai un avis sur la question, mais que des zones d'ombre subsistent (c'est ma principale motivation quant au présent message).

Je pense que, d'un point de vue système, cela correspond à un procédé instable car avec des pôles dans le plan complexe tous situés sur le cercle unité mais avec des décalages d'angle de 2PI/5. On obtient donc nécessairement des pôles dans chaque demi-plan, donc à la fois des pôles stables et des pôles instables. Comme le comportement des pôles instables finit par prédominer en l'absence de signal d'entrée(le bruit suffit à faire diverger), le système est instable. Après pour ce qui est de la causalité, comme polf l'a indiqué, la solution n'est pas unique puisqu'on peut trouver comme réponse impulsionnelle correspondant à cette fonction de transfert un signal instable et causal en utilisant la TL⁻¹(on ne peut pas trouver de signal anti-causal en faisant une TL⁻¹!) et aussi un signal "stable" et "acausal" pour la TF⁻¹(c'est à dire non nul pour tout t).

Comment un même système (LTI) peut avoir plusieurs RI ?

Le système que j'ai défini ici ne possède qu'une seule RI, et si TF et TL donnent des résultats différents, c'est bien qu'elles ne correspondent pas au même système. Même si leurs expressions sont identiques.

C'est une des choses que je veux mettre en lumière via ce fil : le domaine de validité des deux outils, dont l'affranchissement est une des raisons des respectivement 10 pages et 36 pages de discussion des fils "Causalité et instabilité" et "Transformée laplace-fourier: interpretation". Je ne m'en suis rendu compte qu'en me (re)plongeant dans tout ceci à l'occasion des FT données par stefjm dans le fil "Déphasage en physique"

J'ai obtenu quelques réponses à propos des "pratiques", et tu as été très clair sur la tienne. Tu pars soit de l'EDO (pour laquelle tu estimes qu'elle représente totalement le système), soit des impédances pour déterminer une expression en Laplace. Tu estimes que cette expression est du Laplace bilatéral (donc dont la RI dépend de la ROC considérée, mais pour toi toutes ces RI sont valables et représentent, chacune à leur manière, le système) ; et comme selon toi le Laplace bilatéral "englobe" le mono et la TF, alors se restreindre à du Laplace mono ou du Fourier ne fait que nous placer dans des cas tout autant valables les uns que les autres pour l'étude du système (avec juste des changements d'interprétation, mais dans tous les cas toutes ces RI traduisent une "même dynamique de système"). Pour la mise en pratique, tu retiens le cas le plus "opérationnel" selon tes critères (donc quasi tout le temps le Laplace mono, je suppose).

Une TL bilatérale "englobe" en effet la mono et la TF. L'élément à côté duquel tu passes, c'est "les TL bi / TL mono / TF de quoi" ?

[stefjm]

Une TL bilatérale "englobe" en effet la mono et la TF. L'élément à côté duquel tu passes, c'est "les TL bi / TL mono / TF de quoi" ?

Pour moi, c'est les TL, TF des signaux temporels impliqués et par extension de l'équation différentielle que vérifient ces signaux. (et conditions initiales nulles pour parler de fonction de transfert.)

[phuphus]

Bonjour,

Pour moi, c'est les TL, TF des signaux temporels impliqués et par extension de l'équation différentielle que vérifient ces signaux. (et conditions initiales nulles pour parler de fonction de transfert.)

En effet, c'est l'esprit : les signaux temporels préexistent à tout autre formalisme mathématique dans le modèle. Et en effet, l'EDO est déjà une "extension", donc un niveau d'abstraction supplémentaire avec ses propres hypothèses, validité, etc. .

Pour parler de fonction de transfert, la condition est tout simplement que l'expression en jw ou en p soit la transformée de la réponse impulsionnelle. Et si c'est une TL bilatérale, il faut en plus préciser la ROC, car la TL bi n'est ni bijective (la TF l'est) ni injective (la TL mono l'est).

Voir par exemple :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...n_de_transfert

La relation évoquée plus haut entre l'entrée u et la sortie y d'un système est un opérateur de convolution dont le noyau est la réponse impulsionnelle du système. Sauf dans le cas d'un système stable ou marginalement stable, celle-ci (NDphuphus : la RI) n'est pas une distribution tempérée (dans le cas de variables continues) ou une suite à croissance lente (dans le cas de variables discrètes), et n'admet donc pas de transformée de Fourier. Il est donc nécessaire d'en (NDphuphus : de la RI) considérer la transformée de Laplace ou la transformée en Z, selon que les variables sont continues ou discrètes. C'est cette transformée (NDphuphus : de la RI) qui est appelée la fonction de transfert du système.

http://www.montefiore.ulg.ac.be/systems/SYST002/ex7.pdf

La fonction de transfert d’un système LTI est la transformée de Laplace ou en z de sa réponse impulsionnelle.

C'est bien la réponse impulsionnelle qui représente totalement le système, et elle seule. Le reste, c'est déjà du triturage, et il faut donc bien s'assurer qu'en passant sur un autre outil mathématique que l'ensemble RI + convolution, on continue bien de manipuler quelque chose qui soit équivalent à la RI, sinon on n'est plus sur le système d'origine.

Enfin, la TL bi "n'englobe" la TL mono que si la RI est causale : sinon, les résultats de l'intégration ne sont pas du tout comparables.

[stefjm]

En effet, c'est l'esprit : les signaux temporels préexistent à tout autre formalisme mathématique dans le modèle.

Existe : Aïe...
Pour moi, un signal n'est pas plus temporel que fréquentiel. Ce sont deux projections équivalentes d'un signal.
Les TLTF et réciproques permettent simplement de passer d'une projection à une autre. (comme un changement de base)

Et en effet, l'EDO est déjà une "extension", donc un niveau d'abstraction supplémentaire avec ses propres hypothèses, validité, etc. .

Pour moi, pas plus pas moins qu'une fonction de transfert.

C'est bien la réponse impulsionnelle qui représente totalement le système, et elle seule. Le reste, c'est déjà du triturage, et il faut donc bien s'assurer qu'en passant sur un autre outil mathématique que l'ensemble RI + convolution, on continue bien de manipuler quelque chose qui soit équivalent à la RI, sinon on n'est plus sur le système d'origine.

Mais RI+convolution est équivalent à produit de FT équivalent à résolution d'EDO sous les conditions qui vont bien.

Cordialement.

[phuphus]

Bonsoir,

Existe : Aïe...

Je parle bien de modèle, et uniquement de modèle, et d'existence mathématique.

Pour moi, un signal n'est pas plus temporel que fréquentiel. Ce sont deux projections équivalentes d'un signal.

Equivalentes, à conditions de maîtriser les hypothèses derrière. Le temporel ne laisse pas la place à des ambiguïtés, contrairement :
- à la TL bi, qui n'est ni bijective ni injective (donc pour laquelle il faudra impérativement spécifier la ROC, pour être sûr de se restreindre à une seule RI !)
- à la TF, qui n'existe pas pour un système instable
- à la TL mono, qui n'est pas valable pour un système non causal

Les TLTF et réciproques permettent simplement de passer d'une projection à une autre. (comme un changement de base)

Permettent en effet, encore une fois en respectant les hypothèses qui rendent ce passage valide.

Pour moi, pas plus pas moins qu'une fonction de transfert.

Pour moi, la fonction de transfert, c'est le lien qui existe entre entrée et sortie temporelles, donc RI + convolution. C'est ce qui est souligné dans wiki. On ne peut se permettre d'appeler fonction de transfert les TF / TL qu'à partir du moment où elles représentent la RI.

Mais RI+convolution est équivalent à produit de FT équivalent à résolution d'EDO sous les conditions qui vont bien.

Entièrement d'accord : sous les conditions qui vont bien. Une EDO possède souvent plusieurs solutions, alors que le comportement temporel d'un système (tout du moins ceux dont nous parlons dans ce fil) est déterminé.

[b@z66]

Juste en passant, voici le lien d'une vidéo(dont je me souvenais sans retrouver le lien) sur un "miroir temporel" qui illustrait mon propos sur les deux RI dans cette discussion: une goutte(impulsion) tombe sur une surface liquide en produisant des vagues qui une fois réfléchies sur les bords par le miroir temporel sont reproduites "à rebours" de sorte qu'elles reviennent vers le point d'impact de la goutte en s'amplifiant à un point tel qu'on s'attendrait presque à voir la goutte initiale(impulsion) ressortir du liquide. Les 2 RI sont ainsi illustrer successivement. Cela n'enlève rien au fait qu'une seule de ces RI est véritablement utilisée en pratique à cause des cas concrets d'utilisation.