Solution du problème à deux corps au repos

[hclatomic]

Bonjour,

Pouvez-vous me renseigner ?

Je positionne deux corps au repos, dans un référentiel d'inertie. Dans ce cadre la seule force existant dans le système est la force d'attraction de Newton entre les deux corps.

Les deux corps vont se mettre en mouvement, à cause de l'attraction de Newton. Quelle sera alors l'équation des trajectoires des deux corps ?

Merci d'avance de bien vouloir donner la solution analytique qui nous permettras de calculer des applications numériques.
En effet une description qualitative des trajectoire est certes intéressante, mais une solution analytique c'est mieux.

Cordialement
-----

[1max2]

Bonjour, désolé je ne sais pas faire ce calcul ,mais j'aimerais savoir si cette loi d'attraction peut s'appliquer entre 2 satellites proches ,en orbite, bien qu 'il ne n’agisse pas de repère inertiel, il me semble qu'il peut être absolument considéré comme tel , pour mesurer la force d'attraction , et que la loi d'attraction universelle doit s'appliquer numériquement ici aussi , à une correction relativiste près, peut -être. Lpfr , dans un post dit que non , j'ai plutôt confiance en ce qu'il dit , mais pourtant ..Merci de vos réponses aussi à ce sujet qui rejoint tout de même celui de hclatomic .

[mach3]

Sans aller jusqu'à l'équation du mouvement, on peut mettre en lumière une relation très simple entre la distance joignant les deux objets et leur vitesse en se contentant de la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement

On se place dans le référentiel galiléen ou la quantité de mouvement totale est nulle, on a à tout moment:

, c'est la conservation de la quantité de mouvement donc

il vient:

nous pourrons ainsi nous débarrasser de v2 quand ça nous arrangera.

on a également à tout moment



Les énergies potentielles Ep1 et Ep2 des corps 1 et 2 s'écrivent:

(je suppose l'énergie potentielle nulle à l'infini, choix sans conséquence)

Les énergies cinétiques Ec1 et Ec2:

,

Donc l'énergie totale est :



faisons disparaitre v2 :





La valeur de Em est donnée par l'état initial (vitesses nulles, distance initiale r0):



on a donc:









on peut donc calculer la vitesse relative (suffit de prendre v1, d'extraire v2 et de sommer en valeur absolue) des deux objets en fonction de leur distance r, ce qui est déjà pas mal

Pour la suite (en arriver aux équations horaires) je passe mon tour pour l'instant, les équa diff c'est pas mon fort

m@ch3

[mach3]

on peut continuer un tout petit peu, car on peut arriver à une formulation indépendante du référentiel (a priori) donc c'est intéressant. Reprenons:



donc

(en norme)

et, identiquement:

(en norme)

la vitesse relative est donc (car les vecteurs vitesses sont opposés):





donc voila, donnez moi une distance initiale ou la vitesse relative était nulle, donnez moi une distance et je vous donnerais la vitesse.

et pour terminer:



valable en toute généralité, plus qu'à résoudre pour avoir l'équation horaire

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[hclatomic]

@mach3

Merci beaucoup. Je vais regarder cela de plus près, et faire des simulations sur la vitesse que vous donnez.

Cependant, l'équation de la vitesse n'est pas l'équation de la trajectoire, or c'est cette dernière que je cherche. Il faudrait intégrer votre relation, mais je ne vois pas bien comment faire.

Auriez-vous une solution pour obtenir la trajectoire plutôt que la vitesse ?

[coussin]

La trajectoire n'a pas de solution analytique je pense.

[mach3]

sous réserve que ma formule soit correcte...
sous réserve que son implémentation dans excel soit correcte...

alors r(t) ressemble fortement à une portion d'ellipse ayant pour centre le centre du repère et un demi-grand (ou petit, dépend des paramètres) axe vertical de longueur unité (si on prend r0=1 et peu importe les masses). ça peut donner la puce à l'oreille quand à la forme analytique de la solution si elle existe.

m@ch3

[hclatomic]

La trajectoire n'a pas de solution analytique je pense.

Pardon mais, le penser c'est bien, le démontrer serait plus approprié.
Il serait étonnant que ce problèmes des deux corps au repos, dans un référentiel d'inertie, ne subissant donc que l'attraction de Newton, n'ait aucune solution, alors qu'il existe une solution pour deux corps en mouvement (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C...%A0_deux_corps).

[hclatomic]

sous réserve que ma formule soit correcte...
sous réserve que son implémentation dans excel soit correcte...

alors r(t) ressemble fortement à une portion d'ellipse ayant pour centre le centre du repère et un demi-grand (ou petit, dépend des paramètres) axe vertical de longueur unité (si on prend r0=1 et peu importe les masses). ça peut donner la puce à l'oreille quand à la forme analytique de la solution si elle existe.

m@ch3

Ce sont des approximations intéressantes en effet, mais c'est l'équation de la trajectoire que je cherche.

La force d'attraction de Newton, donc l'accélération qu'elle provoque, étant proportionnelles à l'inverse du carré de la distance, l'équation différentielle à résoudre pour obtenir la trajectoire doit être du type .

Qu'en pensez vous ?

[Dynamix]

Je positionne deux corps au repos, dans un référentiel d'inertie. Dans ce cadre la seule force existant dans le système est la force d'attraction de Newton entre les deux corps.
Les deux corps vont se mettre en mouvement, à cause de l'attraction de Newton. Quelle sera alors l'équation des trajectoires des deux corps ?

La trajectoire est une droite , tout bêtement .

[coussin]

Pardon mais, le penser c'est bien, le démontrer serait plus approprié.
Il serait étonnant que ce problèmes des deux corps au repos, dans un référentiel d'inertie, ne subissant donc que l'attraction de Newton, n'ait aucune solution, alors qu'il existe une solution pour deux corps en mouvement (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C...%A0_deux_corps).

Il n'y a pas de forme analytique r(t) dans le lien que vous donnez. Il n'y a que l'équation 4bis, qu'on vous a déjà donné.
Quand vous dites que ce problème n'a pas de solution, c'est bien évidemment faux... Ne pas avoir de forme analytique ne signifie pas ne pas avoir de solutions.

[hclatomic]

La trajectoire est une droite , tout bêtement .

Certes géométriquement oui, mais parcourue d'abord lentement, puis de plus en plus rapidement, à cause de l'attraction. Je cherche de quelle façon "plus rapidement", c'est à dire l'équation de la trajectoire de type r=f(t).

[hclatomic]

Il n'y a pas de forme analytique r(t) dans le lien que vous donnez. Il n'y a que l'équation 4bis, qu'on vous a déjà donné.
Quand vous dites que ce problème n'a pas de solution, c'est bien évidemment faux... Ne pas avoir de forme analytique ne signifie pas ne pas avoir de solutions.

Pourtant Universus a donné une solution analytique à l'équation différentielle , dans le fil http://forums.futura-sciences.com/ma...enseigner.html du forum de math, ici, sur Futura Science.

S'est-il trompé ?

Si c'est le cas, quelle solution non analytique, donc par approximation numérique, préconisez-vous ?

[pascelus]

Bonsoir,

Certes géométriquement oui, mais parcourue d'abord lentement, puis de plus en plus rapidement, à cause de l'attraction. Je cherche de quelle façon "plus rapidement", c'est à dire l'équation de la trajectoire de type r=f(t).

N'est-ce pas plutôt l'accélération que vous recherchez au lieu de la trajectoire? Donc dériver plutôt qu'intégrer?

[hclatomic]

Bonsoir,
N'est-ce pas plutôt l'accélération que vous recherchez au lieu de la trajectoire? Donc dériver plutôt qu'intégrer?

Non non, c'est bien la trajectoire r= f(t) que je cherche.

[1max2]

Bonjour, @mach3 , dans l'exemple de hclatomic les vecteurs v et v' sont colinéaires non ?
Alors il vient simplement pour la conservation de la quantité de mouvement mv+m'v'=0 v et v' étant des scalaires (nombres) v=(-m'/m)v' .

Il me semble que vous avez décrété que vec(v) et vec(v') étaient perpendiculaires ?
La suite est alors plus simple .

[hclatomic]

Jérôme Perez, de l'Ecole Nationale Supérieure des Techniques Avancées, nous apprend ici que l'équation différentielle à résoudre dans le problème des deux corps est la suivante :
, où et est la distance séparant les deux corps.

Si les deux corps n'ont aucune vitesse initiale, tout le mouvement se déroulera sur une droite liant les deux corps, ce qui permet mathématiquement de travailler en une dimension, c'est à dire que l'équation précédente devient :


Pour déterminer la trajectoire il ne reste plus qu'à résoudre cette équation différentielle.

Ayant demandé conseil dans le forum des Maths de Futura Science, Universus m'a proposé une solution dans le fil http://forums.futura-sciences.com/ma...enseigner.html, à savoir :


Si quelqu'un ici n'est pas d'accord, pourrait-il nous indiquer la bonne démarche à suivre, et donc remplacer les calculs de J. Perez et d'Universus par d'autres qui seraient meilleurs. En effet l'aspect qualitatif du problème est une chose mais un traitement rigoureux nécessite de poser et résoudre des équations.

Merci d'avance.

[coussin]

Si c'est le cas, quelle solution non analytique, donc par approximation numérique, préconisez-vous ?

Ne savez-vous pas résoudre numériquement une équation différentielle ?
Par des considérations physiques, vous avez déjà quelques infos sur cette fonction r(t) :
- le processus dure un temps fini t0. r(t) est donc définie sur [0,t0]
- r(0)=R, r(t0)=0
- vous partez avec une vitesse nulle, donc avec une pente nulle en 0
- il me semble que vous arrivez avec une vitesse finie, donc une pente finie en t0
Après r(t) se débrouille...

[coussin]

Vous êtes têtu : on vous a déjà dit que la solution que vous citez n'est qu'une solution particulière qui ne vérifie pas les bonnes conditions initiales de votre problème. Elle ne peut donc pas être utilisée.

[Dynamix]

- le processus dure un temps fini t0. r(t) est donc définie sur [0,t0]

Physiquement , mais qu' en est il mathématiquement pour des points :
R tend vers 0 , l' accélération tend vers l' infini , que devient la vitesse ?
Et après , le processus s' inverse .

[coussin]

Physiquement , mais qu' en est il mathématiquement pour des points :
R tend vers 0 , l' accélération tend vers l' infini , que devient la vitesse ?
Et après , le processus s' inverse .

Ici, le potentiel est en 1/r. Ça ne me semble pas "assez divergent" pour avoir une vitesse infinie en r=0 : en effet, ce sont pour les potentiels au moins en 1/r^2 que les fonctions d'ondes sont en cos(log(r)) si je me souviens bien, donc une vitesse infinie en r=0 (je parle ici de l'équation de Schrodinger, je ne sais pas si ces considérations se transposent à ce problème classique).
Bon, ça ne change pas grand chose : r(t) aurait juste une pente infinie en t0.
Avec les propriétés énoncées que doit vérifier la fonction r(t), il n'est pas étonnant qu'il n'y ait pas de forme analytique...

[coussin]

Je ne sais pas prédire le comportement de la fonction r(t) en t=t0. Peut-être y a-t-il un point non analytique en log ou en racine carrée, je ne sais pas. Mais ce n'est pas important pour le problème qui nous concerne ici. Ce qui est sûr est que r(t0)=0, peu importe comment

[Dynamix]

remplacer les calculs de J. Perez et d'Universus par d'autres qui seraient meilleurs

Les calculs de J.Perez , c' est tout bêtement la loi de la gravitation .
Donc elle est bonne .
L' autre donne un R négatif et une valeur nulle au temps t=0 , donc , à priori , ça ne marche pas .

[LPFR]

Bonjour.

...
Ayant demandé conseil dans le forum des Maths de Futura Science, Universus m'a proposé une solution dans le fil http://forums.futura-sciences.com/ma...enseigner.html, à savoir :

...

Vous êtes en train de calomnier Universus et omettant tout ce qu’il vous a expliqué après vous avoir donné une des solutions possibles (qui ne s’applique pas à cette situation puisque r n'est jamais négatif).

Par exemple, la fin de son message il vous dit :

...Par curiosité, tentez-vous de résoudre les équations de Newton pour une particule se déplaçant de façon radiale dans un champ gravitationnel central (ou, c'est mathématiquement équivalent, dans un champ électrique statique) ? L'équation de départ aurait cette allure, voilà pourquoi je demande. Dans ce cas, l'équation s'interprète comme la conservation de l'énergie et aurait pu « se déduire directement » de considérations physiques. De mémoire, il n'y a pas de solution simple lorsque C' est non nul (cela correspond à une énergie potentielle maximale non nulle ; d'ailleurs, les solutions C' < 0 sont bornées, tandis que les solutions C' > 0 ne le sont pas, ce qui dénote de la complexité des solutions).

Au revoir.

[hclatomic]

Vous êtes têtu : on vous a déjà dit que la solution que vous citez n'est qu'une solution particulière qui ne vérifie pas les bonnes conditions initiales de votre problème. Elle ne peut donc pas être utilisée.

Alors auriez-vous l'amabilité de nous donner la bonne équation de la trajectoire, s'il vous plaît ?

[Dynamix]

Ce qui est sûr est que r(t0)=0, peu importe comment

Et R(2t0) = -R(0)
C' est (mathématiquement) un mouvement alternatif de période 4t0 .

[LPFR]

Alors auriez-vous l'amabilité de nous donner la bonne équation de la trajectoire, s'il vous plaît ?

Re.
IL N’Y A PAS de solution analytique.
A+

[coussin]

Alors auriez-vous l'amabilité de nous donner la bonne équation de la trajectoire, s'il vous plaît ?

Oui, je n'ai pas grand chose à ajouter au message de LPFR... C'est fatigant, on dirait que vous n'écoutez pas ce qu'on vous dit... Ça fait 30 fois qu'on vous dit qu'il n'y a pas de solution analytique...

[1max2]

Si les deux corps n'ont aucune vitesse initiale, tout le mouvement se déroulera sur une droite liant les deux corps, ce qui permet mathématiquement de travailler en une dimension, c'est à dire que l'équation précédente devient :


Pour déterminer la trajectoire il ne reste plus qu'à résoudre cette équation différentielle.

Ayant demandé conseil dans le forum des Maths de Futura Science, Universus m'a proposé une solution dans le fil http://forums.futura-sciences.com/ma...enseigner.html, à savoir :

Bonjour , j'aimerais faire un petit résumé de ce que je crois avoir lu ou compris.
LPFR indique dans un post précédent que les lois de Newton ne s'appliquent pas à l'expérience en question , quand il s'agit de 2 satellites en orbite .Si c'est vrai , la discussion devrait s'arrêter là , car c'est l'expérience, au final de hclatomic. Personnellement je pense que les 2 satellites proches en orbite , peuvent être considérés formellement comme une repère inertiel .
Mach3 avait me semble -t-il mal commencé son calcul avec les lois de conservation, car il pouvait considérer v1 et v2 colinéaires dans m1v1+m2v2=0 , dommage car ça simplifie beaucoup ! On pourrait se contenter de trouver v(t) , avec v(t) vitesse apparente; il devrait "sortir facilement non ?
Ensuite la résolution de l'équation avec est bonne , car j'ai dérivé 2 fois r(t) et multiplié par r(t)² , et je trouve bien .

On a bien r(0)=0 , mais est- ce la bonne équation pour 2 corps lâchés sans vitesse initiale ?
J'appelle les 2 masses m et M , j'ai a=GM/r² (a accélération de m) et a'=Gm/r² (a' accélération de M) .
Alors je me dis que peut-être l'accélération "apparente" sera A=a+à=G(M+m)/r² tiens , on retrouve le de hclatomic.
Il faudrait donc résoudre A=G(M+m)/r² ,avec la solution bonne pour r(t) , (vérifiez !), mais a-t-on le droit d'ajouter les 2 accélérations , en parlant d'accélération apparente , c'est pourtant ce qui a été fait pour arriver à je crois??
Un autre truc me chiffonne , et qui semble condamner r(t) donné par hclatomic (ou ses copains matheux ..)c'est que sauf erreur , v(t)= dr(t)/dt = C.t^-1/3 , avec v(0) infini alors! les masses auraient une vitesse infinie au départ ....Je ne comprends pas ce résultat aberrant !
Enfin Coussin ou LPFR peuvent comprendre que répéter "Il n'y a pas de solution analytique " n'est pas un raisonnement (c'est sans doute vrai s'il le disent !) ,mais il doit exister des solutions s’approchant. Sinon, se contenter d'une approximation et vérifier , par exemple vérifier ce que cela donne en "bloquant" la grosse masse , déjà , ce qu’il se passe avec 2 masses identiques…Je serais prêt à parier1€ que l ‘équation du mouvement serait alors indépendante de la masse (avec 2 masses identiques)..

C'est clair que nous avons un mouvement périodique (il doit y avoir un cosinus quelque part ) si les masses pouvaient se pénétrer façon "fantôme" , en notant que lors du croisement "fantôme" les particules étant mêlés, la force ne serait plus en K/d² , et serait même nulle pour d=0 ! Pas de divergence alors !!Sinon on arrête le mouvement à la distance où les 2 masses se touchent , et ça rebondit élastiquement indéfiniment!

[Dynamix]

est- ce la bonne équation pour 2 corps lâchés sans vitesse initiale ?

Elle découle tout simplement de :
F = G.m1.m2/R²
Donc si Newton ne s' est pas trompé , elle est bonne .

C'est clair que nous avons un mouvement périodique (il doit y avoir un cosinus quelque part ) si les masses pouvaient se pénétrer façon "fantôme"

Mathématiquement deux points peuvent se croiser sans problèmes .
Le fait que physiquement c' est impossible , ne change pas l' équation .
Par contre cette équation est établie pour des masses ponctuelles .
Dans le cas les masses ne peuvent plus être considérées comme ponctuelles (distance faible/solide non sphérique) le champs gravitationnel n' est pas le même .