Equation de Schrodinger et conjugué

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Bonjour,
Je me pose des questions concernant la mécanique quantique.
J'ai vu dans un exercice l'écriture de l'équation de Schrodinger avec le conjugué d'une fonction d'onde solution de cette équation. Elle s'écrit de la même façon mais avec un signe moins dans le terme de dérivée temporelle. Je n'arrive pas à comprendre pourquoi.
Je me demande aussi comment l'énergie d'une particule libre peut être négative. On voit souvent l'étude des 3 cas (>0, <0 et =0) pour ne retenir que la solution E > 0 seule physiquement acceptable pour la fonction d'onde. N'était ce pas direct E = Ec > 0
Merci d'avance pour vos réponses.
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Bonjour,

en complète généralité, l'équation de Schrödinger pour un système quantique s'écrit où
est un élément de l'espace de Hilbert des états du système et où H est l'hamiltonien du système, un opérateur autoadjoint agissant sur l'espace de Hilbert des états. A priori, il ne fait pas sens de prendre le conjugué complexe de l'équation de Schrödinger parce qu'il n'y a pas de conjugaison complexe agissant naturellement sur un espace de Hilbert (on ne se donne pas a priori une structure réelle sur l'espace de Hilbert). La conjugaison complexe fait sens si on fixe une base et on fait agir la conjugaison complexe sur les coefficients.

Par exemple, pour une particule, l'espace de Hilbert est isomorphe à l'espace des fonctions de carré intégrable sur et on peut écrire
avec la "fonction d'onde dans la base des x". En termes de la fonction d'onde, l'équation de Schrôdinger se réécrit avec H opérateur réel et on peut prendre l'équation conjuguée complexe: . On a un signe moins au membre de gauche tout simplement parce que le conjugué de i est -i.

Je ne comprends pas le rapport avec les énergies négatives. L'hamiltonien d'une particule libre (non-relativiste) de masse m (positive) est
qui est un opérateur positif (c'est évident dans la "base des p" et peut se démontrer directement dans la "base des x" par intégration par parties) et donc de spectre positif (au sens large).