Bonjour à tous!

Etudiant en électronique, je découvre pour les besoins d'un concours la thermodynamique (de manière bien trop accélérée à mon goût, mais cela semble être la règle du jeu), mais un exercice me donne du poil à retordre, malgré l'aide d'un ami en CPGE qui ne semble pas trop s'y retrouver non plus (je me met aussi à LateX pour fêter ça ! ):

Dans cet exercice, correspond à la pression, à la masse volumique, à la vitesse de la particule fluide et au potentiel scalaire des vitesses défini par:


On considère le jeu d'équations suivantes censées décrire de manière valide les phénomènes physiques étudiés, loin de toute source:
1.A partir de l'équation (1) déterminez la relation reliant les dérivées partielles spatiales d'ordre un de la pression et de la masse volumique
Jusque là, pas trop de soucis en partant de la dérivée partielle de (1):


On multiplie par et on obtient:


En utilisant le résultat de la question précédente, déterminez l'expression de la dérivée partielle spatiale d'ordre un de l'équation (2), que vous noterez (4).
Là, c'est le trou noir. Bien que je reconnaisse l'élément dans les deux expressions, je ne vois pas comment déterminer l'expression de la dérivée partielle spatiale de l'équation (2) sans calculs touffus, très longs et baroques qui me paraissent un peu ardus pour la difficulté de ce concours.

Si quelqu'un aurait une idée quand à la marche à suivre pour résoudre ce problème, merci d'avance!

Après cette question en suivent deux autres qui ne devraient pas trop poser de soucis une fois la deuxième résolue...

Bien à vous,

K.