Sur les dimensions physiques

[Amanuensis]

PS: L'article Wiki sur l'algèbre tensorielle parle de somme directe, et utilise un + entouré. Même chose que le produit cartésien? Je vérifie...

La somme directe, c'est bien le produit cartésien muni des opérations qui vont bien.

J'appuie sur le point, parce que c'est la réponse "générique" pour introduire une addition entre espaces vectoriels, et donc une méthode qui revient à plusieurs reprises dans cette discussion.
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[Amanuensis]

Le produit peut être interne ou externe , mais en physique il est rarement (voir jamais ?) interne .

Quelques cas viennent à l'idée, mais ils sont "sans dimension" (in pouvait s'y attendre...). Comme le produit de rotations, ou la composition de vitesse en RR.

[stefjm]

Ma question de depart était alors de comprendre pourquoi (ou comment) on pouvait engendrer de nouvelles dimensions physiques par la multiplication mais pas par l'addition (je sais bien que le log peut se cacher derriere cette apparente contradiction).

Réponse d'informaticien :
Toutes les données sont en lignes k dans la mémoire : dimension 1. Pour accéder à la suivante, on fait +1.

C'est pas pratique et on peut les structurer en 2 dimensions si c'est une image. On y accède alors par le produit i*j=k. Cela réduit les valeurs utilisées i et j, plus petite que k.

Dans un genre plus physique, un hologramme encode les données d'un volume sur une surface.

[stefjm]

c'est précisément l'une des questions de ce fil je crois : "pourquoi ne peut on pas ajouter des puissances entières différentes d'une meme grandeur physique ?".

Qu'est ce qui l'interdit mathématiquement ?

Un ancien fil connexe au sujet :
http://forums.futura-sciences.com/ph...nsionelle.html

[mach3]

Un petit post pour résumer où j'en suis dans ma réflexion sur la formalisation de l'analyse dimensionnelle et les problèmes auxquels je me heurte et qui feront surement l'objet de fils dans la section mathématiques.

On a 7 dimensions de base (je préfère rester sur les dimensions conventionnelles du SI, bien que plusieurs d'entres-elles puissent être discutables pour différentes raisons), qui désignent chacune un espace vectoriel à une seule dimension, sur le corps des réels (on peut argumenter pour restreindre aux rationnels, car une mesure n'est jamais un nombre réel, autre débat). On peut les noter [L], [M], [T], etc,. L'espace vectoriel de la dimension longueur contient l'ensemble des grandeurs physiques de dimension longueur, celui de la dimension masse, l'ensemble des grandeurs physiques de dimension masse, etc.
Pour chacun, le vecteur de base est l'unité de mesure. Quand on écrit 34m, 34 est une coordonnée et m est un vecteur de base. Si on change d'unité, on change de base et la coordonnée change à l'inverse du vecteur de base. Soit km, un vecteur qui vaut 1000m, alors 34m = 34x0,001km = 0,034km.
Pour chacun, on peut construire un espace vectoriel dual, qui est l'ensemble des grandeurs physiques dont la dimension est l'inverse d'une de celle de base : [L]^-1, [M]^-1, [T]^-1, etc. Ces duals ont également une seule dimension, et le vecteur de la base duale est l'unité inverse. 3m^-1 est un élément de [L]^-1, de coordonnée 3 dans la base duale formée par le vecteur m^-1. De même 800MHz est un vecteur appartenant à [T]^-1, de coordonnée 800 dans la base formé par le vecteur MHz, ou par changement de base, de coordonnées 800 000 000 dans la base formé par le vecteur Hz, qui n'est autre que le vecteur s^-1

On construit les espaces vectoriels contenant les grandeurs dérivées par produit tensoriel. Par exemple la dimension [L][T^-1] désigne l'espace vectoriel qui contient l'ensemble des grandeurs physiques ayant la dimension d'une vitesse. , plus couramment noté m.s^-1 voire même m/s est un vecteur de base de cet espace. On peut construire un dual pour chaque nouvel espace ainsi construit.

Ces espaces vectoriels désignés par les dimensions (de base ou dérivée) sont les membres d'un groupe commutatif dont la loi de composition me semble être le produit tensoriel (au sens produit entre espace et pas produit entre vecteur ou tenseur de rang plus élevé) :
-on a associativité et commutativité, permises par des isomorphismes naturels, mais il y a un petit détail que je n'ai pas tout à fait compris, car dans le cas d'un produit tensoriel entre un espace E et lui-même, si x et y sont des vecteurs de E, alors n'est pas ... le problème ne se poserait pas pour un produit tensoriel de E par un autre espace F. Ceci constitue mon premier problème et fera surement l'objet d'un fil dans la section mathématiques)
-l’élément neutre est le corps des réels (les éléments de l'espace résultant du produit tensoriel entre R et un espace vectoriel E sont des vecteurs de cet espace multipliés par des réels, donc des vecteurs de E)
-les duals constitueraient les inverses, mais il y a ici un doute : le produit tensoriel d'un espace vectoriel E sur le corps R par son dual n'est pas R (l'élément neutre de notre groupe), et en toute généralité c'est un tenseur de rang 2n et de dimension d² avec n le rang et d le nombre de dimensions de l'espace vectoriel E. Dans notre cas E ne possède qu'une dimension, le tenseur obtenu n'est que dimension 1 et semble isomorphe à R.

Ceci est le second problème : sans inverse, on n'a pas un groupe mais un monoïde, or, classiquement dans l'analyse dimensionnelle, les dimensions forment un groupe avec loi de composition héritée de la multiplication sur R⁺. Pour retrouver ce statut de groupe il y a deux possibilités :
-trouver une autre loi de composition, je pense notamment au produit tensoriel contracté n fois (avec n aussi grand que nécessaire, mais ça donnerait quelque part une loi de composition qui change au cas par cas)
-montrer qu'il y a un isomorphisme naturel entre (par exemple) et R
Je remarque tout de même une chose. Quand j'écris, 1h/h, c'est 1 mais c'est aussi 3600s/h, les deux sont sans dimensions, mais le premier est sans unité alors que le deuxième non et ce genre de subtilité colle mieux avec une structure de type qu'avec R. En effet, dans , si on considère le vecteur et qu'on effectue un changement de base seulement dans [T] de h vers s, on a : , soit . On ne peut pas rendre compte de cela avec R, à moins de faire, de manière ad hoc son produit tensoriel avec chaque fois que nécessaire, par exemple pour que 1 deviennent 1h/h ou 1s/s ou 3600s/h.
Il y a ici une subtilité importante me semble-t-il

J'aurais encore d'autres choses à ajouter mais je me rends compte de l'heure tardive... je poursuivrai donc demain. En attendant si quelqu'un à des commentaires avisés, surtout des gens qui touchent en maths...

merci de votre attention



m@ch3

[Amanuensis]

Je remarque tout de même une chose. Quand j'écris, 1h/h, c'est 1 mais c'est aussi 3600s/h, les deux sont sans dimensions, mais le premier est sans unité alors que le deuxième non et ce genre de subtilité colle mieux avec une structure de type qu'avec R. En effet, dans , si on considère le vecteur et qu'on effectue un changement de base seulement dans [T] de h vers s, on a : , soit . On ne peut pas rendre compte de cela avec R, à moins de faire, de manière ad hoc son produit tensoriel avec chaque fois que nécessaire, par exemple pour que 1 deviennent 1h/h ou 1s/s ou 3600s/h.
Il y a ici une subtilité importante me semble-t-il

Je ne vois pas trop où est le problème. On se retrouve avec des constantes adimentionnées mais avec une unité différente de 1. Quelle différence entre avoir aussi bien 1 h/s = 3600 s/s et avoir aussi bien 1 km/h = 3.6 m/s ? h/s et s/s sont deux bases différentes de R, tout comme km/h et m/s sont deux bases de L/T, non?

(Et s.Hz=1 découle de voir T et T-1 comme dual l'un de l'autre, et de ce que Hz est la base duale de s.)

-montrer qu'il y a un isomorphisme naturel entre (par exemple) et R

Cela ressemble à la contraction.

Si x est un élément de T et y un élément de T-1, il y a l'application bilinéaire canonique vers R: (x, y) -> <y |x>.

Comme x tens y = x/k tens ky pour tout k de R* et que <x | y> = <x/k | yk>, on doit pouvoir en tirer une application de T tens T-1 vers R, et cela a tout l'air d'être l'isomorphisme recherché.

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Ce qui me gêne le plus dans cette approche est que l'espace défini soit un espace de grandeurs restreint aux réels. Pour moi une grandeur peut être vectorielle, tensorielle en général, et aussi inclure des valeurs modulo (S1 à la place de R, comme pour une orientation dans le plan, qui est modulo 2pi), et encore d'autres choses (torseurs, spineurs, ...).

La modélisation que je cherche est celle de l'espace des unités, et non pas celle de l'espace des grandeurs. Cela ressemble un peu, sauf que 0 et les négatifs demandent interprétation, que les unités sont les éléments et non des bases (mais les bases de R s'identifient à R*...), etc...

[mach3]

AH.... mais oui... tout bêtement! h/s est un nombre réel (c'est 3600), donc c'est un vecteur de base des réels! j'oublie souvent que R est lui même un espace vectoriel parce qu'un espace est plus souvent à plusieurs dimensions et parce que, quelque part le fait que les scalaires et les vecteurs soient membres du même ensemble doit me déranger spirituellement. Enfin bref, les membres d'espaces produits entre un espace 1D et son dual sont des bien des réels. Voila pour moi un problème de résolu, merci!

Reste l'histoire de la commutativité pour laquelle je n'ai pas encore de compréhension convenable.

Ce qui me gêne le plus dans cette approche est que l'espace défini soit un espace de grandeurs restreint aux réels. Pour moi une grandeur peut être vectorielle, tensorielle en général, et aussi inclure des valeurs modulo (S1 à la place de R, comme pour une orientation dans le plan, qui est modulo 2pi), et encore d'autres choses (torseurs, spineurs, ...).

La modélisation que je cherche est celle de l'espace des unités, et non pas celle de l'espace des grandeurs. Cela ressemble un peu, sauf que 0 et les négatifs demandent interprétation, que les unités sont les éléments et non des bases (mais les bases de R s'identifient à R*...), etc...

alors pour moi c'est l'étape suivante (ou précédente, c'est à voir et c'est peut-être interchangeable). Les coordonnées des vecteurs dans les espaces vectoriels que j'ai défini ne sont pas forcément des scalaires, et d'ailleurs il ne semble pas obligé qu'il faille des espaces vectoriels, des modules pourraient peut-être suffire (d'après ce que j'ai lu le produit tensoriel entre module existe). A l'inverse ces espaces correspondant aux dimensions physiques que j'ai défini pourraient former le corps de base sur lequel se fondent les structure vectorielles, tensorielle etc... c'est ça la suite de ma réflexion, mais pas le temps de développer pour l'instant.

m@ch3

[Amanuensis]

Reste l'histoire de la commutativité pour laquelle je n'ai pas encore de compréhension convenable.

Il me semble que dans E tens E avec E de dimension 1, x tens y = y tens x: soit u une base, on a ku tens hu = kh (u tens u) = hu tens ku. Non?

(Cela ne marche pas pour une dimension >1 ...)

[mach3]

Il me semble que dans E tens E avec E de dimension 1, x tens y = y tens x: soit u une base, on a ku tens hu = kh (u tens u) = hu tens ku. Non?

(Cela ne marche pas pour une dimension >1 ...)

Ah, ben oui, tout bêtement

m@ch3

[mach3]

on peut très bien, 1kg + 3m, c'est un peu de la même nature que 1 poire + 3 pommes, le résultat n'est ni une masse ni une distance et il n'est d'ailleurs pas évident de calculer la valeur numérique de ce résultat, ni ce que cette valeur signifie sans définitions ad hoc. Par exemple dans 1 poire + 3 pommes, si je dis que pommes et poires sont des fruits, je peux éventuellement dire 1 poire + 3 pommes = 4 fruits... Pour 1kg + 3m, je ne sais pas, et à moins de convenir d'une règle, 1kg + 3m = 1kg + 3m et c'est tout. C'est un peu, quelque part, comme 1+3i, en fait c'est juste une façon différente de noter un couple qui serait (1kg, 3m), comme l'a déjà fait remarquer amanuensis. On peut ajouter en fonction des besoins, des propriétés pour en faire une structure, comme un espace vectoriel, voire même définir une norme et pas forcément celle de l'espace euclidien. Par exemple pour (1 poire, 3 pommes), je peux dire que la norme est 4 fruits, c'est juste une question de choix de structure et de propriétés.

Dans le cas des grandeurs physiques, il faut choisir la ou les structures appropriées pour qu'elles se comportent conformément à ce qu'on attend d'elle.

retour sur cela à la lumière de l'hypothèse selon laquelle les unités seraient des vecteurs. Si on fait la représentation graphique d'une grandeur en fonction d'une autre, par exemple un temps en abscisse et une distance en ordonnée, cette représentation graphique est un espace vectoriel contenant des éléments du type 3m + 2s. C'est juste une autre façon d'écrire le point de coordonnée (3,2) dans la base (métre,seconde) (qui est définie par l'échelle du graphique).
Quand on parle d'espace vectoriel en mathématiques (donc sans considération sur les unités), on peut alternativement noté un vecteur (3,2) ou 3e₁ + 2e₂, ça ne dérange personne.
A méditer.

m@ch3

[stefjm]

Ca me va. La question est : que peut-on en faire?

[azizovsky]

Ca me va. La question est : que peut-on en faire?

à comparer le nombre d'unité (cardinal) dans les charrettes à la sortie du marché , avec la norme q=a+b+c+....ou ...

[invitef29758b5]

cette représentation graphique est un espace vectoriel contenant des éléments du type 3m + 2s

Dans cet espace tout élément a 2 dimensions .
L' élément "3m" s' écrit donc (3m+0s) et l' élément "2s" (0m+2s)
Dans ces condition j' ais parfaitement le droit d' appliquer une loi de composition interne :
"3m" + "2s" = (3m+0s) + (0m+2s) = (3m+2s )
Les 3 termes appartiennent bien au même ensemble .

On a pas additionner des éléments à une dimension pour obtenir des éléments à 2 dimensions .

[mach3]

Un texte intéressant qui flirte avec le sujet du fil : http://deonto-ethics.org/geom_syntax...eurs_physiques

Je persiste toujours dans mon idée que mathématiquement les unités sont des tenseurs de rang n et de dimension 1.

m@ch3

[stefjm]

Intéressantes les pages wiki de Jacques Lavau.

[invite93279690]

Un texte intéressant qui flirte avec le sujet du fil : http://deonto-ethics.org/geom_syntax...eurs_physiques

Je persiste toujours dans mon idée que mathématiquement les unités sont des tenseurs de rang n et de dimension 1.

m@ch3

lien tres interessant !

[invitecb7c417d]

Ce peut-il qu'il existe des tenseurs. De rang et de dimension 1 ? Enfin une base sur laquelle repose pi genre les 3 dim de l'espace ? Mais Hilbertbien ?

[Deedee81]

Salut,

Ce peut-il qu'il existe des tenseurs. De rang et de dimension 1 ?

Non, c'est forcément entier.

Enfin une base sur laquelle repose pi genre les 3 dim de l'espace ? Mais Hilbertbien ?

Le hilbertien n'apporte rien.

Normalement on a toujours des dimensions entières. Mais peut-être regarder du côté des fractales ? Ce serait amusant s'il y en avait de dimension pi (dans un espace au moins à quatre dimensions).

[invitecb7c417d]

Hello je voulais dire ou 90 .
Une correspondance avec des dims spatiales (truc infini genre espace des phases ?).

+

J'ai merde avant

[Deedee81]

Hello je voulais dire ou 90 .

Ah ! Tu parles d'angle.

Non, pas de correspondance avec les dimensions.

[mach3]

Intéressantes les pages wiki de Jacques Lavau.

ça m'a permis de consolider certaines choses dont j'avais déjà commencé l'acquisition, à savoir que le produit vectoriel et les pseudovecteurs qui vont avec sont des bricolages de physiciens et que les vraies mathématiques derrière sont l'algèbre extérieure et, notamment, les tenseurs antisymétriques d'ordre 2.

Le produit extérieur de deux vecteurs ("vrai") donne un tenseur antisymétrique d'ordre 2 (ça coïncide avec le produit vectoriel de deux vecteurs "vrais")

La contraction d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2 avec un vecteur ("vrai") donne un autre vecteur (ça coïncide avec le produit vectoriel d'un pseudovecteur avec un vecteur "vrai", le produit vectoriel du vecteur vrai avec le pseudovecteur étant le même au signe près)

La contraction de deux tenseurs antisymétrique d'ordre 2 moins sa transposée donne un tenseur antisymétrique d'ordre deux (le produit vectoriel de deux pseudovecteur est un pseudovecteur).

Il faut évidemment bien faire attention au type du tenseur, autant cela n'a (apparemment!) pas d'incidence en base orthonormée, mais à de graves conséquences en toutes généralités. Jacques Lavau, en rajoute une couche, en considérant des vecteurs de base dimensionnés en longueur : le produit vectoriel de deux vecteurs longueur génère une aire et le tenseur correspondant est 2 fois contravariant, alors qu'un pseudovecteur qui transforme une longueur en une autre est 1 fois covariant et 1 fois contravariant : ce n'est pas la même bestiole. Physiquement l'un est une aire alors que l'autre est sans dimensions. Du coup, même en base orthonormée, on ne doit pas confondre les deux. Le premier est un bivecteur, le deuxième est ce qu'il appelle un gyreur ou un tourneur. Le produit vectoriel est une absurdité complète, un bricolage avec des règles obscures afin de pouvoir retomber sur ses pieds à la fin. Il masque les différents types de "pseudovecteurs".

Je ne suis pas tout à fait en accord avec tout le texte (surtout qu'il y a des subtilités que je n'ai pas encore saisies), mais c'est une base de réflexion extrêmement fructueuse. Mon point de désaccord principal est la façon d'introduire les grandeurs dimensionnées : il semble partir directement du principe que les vecteurs de la base de l'espace vectoriel ont une dimension longueur, sans parler de la façon de la construire, et ça donne des choses un peu bizarres pour moi dans la suite, avec des coordonnées dimensionnées, ce qui est absurde (à moins que je fasse erreur), car les coordonnées doivent être des éléments du corps de base de l'espace vectoriel, or une grandeur dimensionné ne forme pas un corps : le produit est une opération externe (un produit de longueurs donne une aire par exemple). Les coordonnées, quoi qu'il arrive, devraient rester adimensionnées.
Pour moi la construction correcte devrait être le produit tensoriel entre l'espace vectoriel abstrait (purement mathématique) et un espace vectoriel de dimension 1 qui contient les grandeurs homogènes à une longueur.
Il faut noter que lorsqu'il est effectué entre espaces différents, le produit tensoriel est commutatif et associatif, de plus la dimension 1 fait que ses vecteurs se comportent vis à vis des autres vecteurs de façon similaire à un nombre.
Espace vectoriel abstrait E : élèments , dimension 3
Espace vectoriel des longueurs L : élèments multiples de , représentant 1 longueur de 1 mètres (base choisie arbitraitement), dimension 1
Produit tensoriel des deux : : élèments , dimension 3
On peut considérer l'ensemble des comme une base dimensionnée. Dans toutes les présentations "classiques", le vecteur [m] est caché, on ne le fait apparaitre que lors de l'application numérique (comme toutes les autres unités d'ailleurs).
Je m'étais posé la question, il y a longtemps, de qui entre les coordonnées et les vecteurs de base porte les unités, car ce fait est caché par la façon d'écrire. Je penche maintenant nettement pour l'option "vecteur de base porteur de l'unité". On a certes le droit de bricoler, comme ceci



Ainsi, au lieu d'avoir des coordonnées sans dimensions multipliant des vecteurs de base dimensionnés, on a des "coordonnées" dimensionnées multipliant des vecteurs de base sans dimension. Je mets coordonnées entre guillemets, car, me semble-t-il, ce ne sont pas de vraies coordonnées car elles n'appartiennent pas au corps de base de l'espace (les réels, sans dimension).

m@ch3

[stefjm]

Hello je voulais dire ou 90 .
Une correspondance avec des dims spatiales (truc infini genre espace des phases ?).
+
J'ai merde avant

Ah ! Tu parles d'angle.
Non, pas de correspondance avec les dimensions.

J'en vois des liens, il suffit de les établir.
Par exemple, il y a un lien (presque) évident entre la dimension de l'espace n et l'angle typique en utilisant les racines (n+1) unième de l'unité.

[Deedee81]

J'en vois des liens, il suffit de les établir.
Par exemple, il y a un lien (presque) évident entre la dimension de l'espace n et l'angle typique en utilisant les racines (n+1) unième de l'unité.

Oui, mais ça ne correspond pas du tout à la question de illusionoflogic
Ou alors il s'est très mal exprimé et tu as compris quelque chose qui m'a échappé, ce qui n'a rien d'impossible !!!!!

[invitecb7c417d]

Disons que angle et radian est peut être liés par la prise en compte de dims physiques.
Or le spin et dérivé MQ, ou l'inertie.rotation RG sont assez particuliers

[stefjm]

Je ne vois pas d'angle dans les dimensions des tenseurs (même avec beaucoup d'imagination).
Par contre, on peut associer des angles aux tenseurs.

Pour un espace de dimension , l'angle typique correspondant est .

[coussin]

C'est quoi "l'angle typique"?

[azizovsky]

il y'a l'astuce de faire 'tourner' les nombres, n.(-1)=-n , rotation de autour de , et n(-1)(-1), un tour complet (), donc est équivalent à multiplier par .

[azizovsky]

il y'a l'astuce de faire 'tourner' les nombres, n.(-1)=-n , rotation de autour de , et n(-1)(-1), un tour complet (), donc est équivalent à multiplier par .

au lieu de

[azizovsky]

pour : selon l'astuce, on doit avoir .

[stefjm]

Il y a de la transmission de pensée dans l'air...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme_cyclotomique

X^n=1

J'ai hésité entre et