Sur les dimensions physiques

[azizovsky]

il est de dimension 7 (unité du SI).
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[mach3]

il est de dimension 7 (unité du SI).

pardon mais de quoi parlez vous? ce serait bien de citer ce que vous commentez, sinon vous allez mettre le bazar dans ce fil que j'aimerais garder propre, quelque chose de constructif peut en sortir.

m@ch3

[obi76]

Je vois bien le point qui est soulevé, mais doute des fondations.

Oui ta remarque est intéressante, mais dans ce cas comment définis-tu le logarithme d'un nombre qui n'est pas dans R (ni dans C d'ailleurs) ?

[Amanuensis]

C'est juste formel.

Si on prend un groupe noté multiplicativement, par exemple généré par a et b, un élément générique écrit a^n b^m pourra être écrit additivement n ln(a) + m ln(b). Le ln est alors formel, il aide juste à suivre le changement de notation.

[mach3]

oui, en fait ln() n'est ici qu'un isomorphisme de groupe, ln(a.b) = ln(a) + ln(b)

m@ch3

[invite93279690]

Salut,



Pour moi, ça c'est déjà un non-sens complet. Faire le log d'une grandeur dimenssionnée revient à faire une somme de cette grandeur élevée à toutes les puissances entières, il suffit de voir le développement limité du bidule pour s'en persuader. Par contre le log de (T1/T2) par exemple n'est plus un non sens, puisque le développement limité de log(T1)-log(T2), via un peu de maths élémentaires revient à faire un développement limité de T1/T2.

c'est précisément l'une des questions de ce fil je crois : "pourquoi ne peut on pas ajouter des puissances entières différentes d'une meme grandeur physique ?".

Qu'est ce qui l'interdit mathématiquement ?

[invite93279690]

comme par exemple présenter un torseur comme un couple (vecteur, tenseur de rang 2 antisymétrique), et cela a une structure d'espace vectoriel, mais l'écrire par une addition ne me semble pas amener de "sens" plus que l'écrire sous forme de couple (produit cartésien).

j'ai toujours eu un petit faible pour le cote très synthétique des torseurs a la fois du point de vue de la physique mais aussi du point formel. Est ce que ton idée de couple (grandeur, unite) s'en inspire d'ailleurs ?

[obi76]

c'est précisément l'une des questions de ce fil je crois : "pourquoi ne peut on pas ajouter des puissances entières différentes d'une meme grandeur physique ?".

Qu'est ce qui l'interdit mathématiquement ?

Ben prenons des mètres et des mètres², de quelle dimension sera la somme d'une longueur et d'une surface ? Je ne sais pas s'il faut voir dans l'analyse dimensionnelle une quelconque propriété mathématique, mais plus une propriété purement physique : à chaque grandeur, la physique considère une grandeur qu'on appelle la dimension, et dont la manipulation doit suivre des règles logiques de base. Je ne pense pas qu'il faille y voir une catégorie de grandeurs différentes, ou d'un ensemble différent lorsqu'on les manipule. Ce sont des valeurs des mêmes ensembles, mais auxquelles on attribue une caractéristique, qui elle même doit suivre une logique que la physique décrit, voilà tout.

[Amanuensis]

j'ai toujours eu un petit faible pour le cote très synthétique des torseurs a la fois du point de vue de la physique mais aussi du point formel. Est ce que ton idée de couple (grandeur, unite) s'en inspire d'ailleurs ?

Je ne pense pas (mais comment retracer l'évolution d'une idée???). L'idée de couple est (àmha) naturel du simple fait de l'écriture.

(En fait mon métier même amène cette notion de représentation par un couple, il me semble... Mais ce n'est pas un point que je cherche à développer sur FS.)

[Amanuensis]

Ben prenons des mètres et des mètres², de quelle dimension sera la somme d'une longueur et d'une surface ? Je ne sais pas s'il faut voir dans l'analyse dimensionnelle une quelconque propriété mathématique, mais plus une propriété purement physique : à chaque grandeur, la physique considère une grandeur qu'on appelle la dimension, et dont la manipulation doit suivre des règles logiques de base. Je ne pense pas qu'il faille y voir une catégorie de grandeurs différentes, ou d'un ensemble différent lorsqu'on les manipule. Ce sont des valeurs des mêmes ensembles, mais auxquelles on attribue une caractéristique, qui elle même doit suivre une logique que la physique décrit, voilà tout.

C'est le point de vue "pratique", tout à fait défendable et parfaitement honorable. Mais que certains se limitent à ce point de vue là ne devrait pas interdire à d'autres de réfléchir aux pratiques au-delà de leur seul état de pratique, et d'en discuter, si?

Maintenant s'il est décidé par qui de droit que ces réflexions sont hors thématique sur les forum FS, moi du moins suivrai l'injonction.

[mach3]

c'est précisément l'une des questions de ce fil je crois : "pourquoi ne peut on pas ajouter des puissances entières différentes d'une meme grandeur physique ?".

on peut très bien, 1kg + 3m, c'est un peu de la même nature que 1 poire + 3 pommes, le résultat n'est ni une masse ni une distance et il n'est d'ailleurs pas évident de calculer la valeur numérique de ce résultat, ni ce que cette valeur signifie sans définitions ad hoc. Par exemple dans 1 poire + 3 pommes, si je dis que pommes et poires sont des fruits, je peux éventuellement dire 1 poire + 3 pommes = 4 fruits... Pour 1kg + 3m, je ne sais pas, et à moins de convenir d'une règle, 1kg + 3m = 1kg + 3m et c'est tout. C'est un peu, quelque part, comme 1+3i, en fait c'est juste une façon différente de noter un couple qui serait (1kg, 3m), comme l'a déjà fait remarquer amanuensis. On peut ajouter en fonction des besoins, des propriétés pour en faire une structure, comme un espace vectoriel, voire même définir une norme et pas forcément celle de l'espace euclidien. Par exemple pour (1 poire, 3 pommes), je peux dire que la norme est 4 fruits, c'est juste une question de choix de structure et de propriétés.

Dans le cas des grandeurs physiques, il faut choisir la ou les structures appropriées pour qu'elles se comportent conformément à ce qu'on attend d'elle.

m@ch3

doublé plusieurs fois

[azizovsky]

la question de départ est :

Salut à tous,

Plus j'y réfléchis et moins je comprends la logique de l'analyse dimensionnelle en physique.

D'ou vient le terme 'dimension', pourquoi ne peut on que multiplier ou diviser différentes dimensions et pas les additionner, peut on donner un statut mathématique à l'analyse dimensionnelle (genre forment elles un groupe sous la multiplication) , peut on interpréter les SI unit Comme une base etc. ...?

Merci

ma réponse

si j'ai compris un peu, il est possible d'utiliser une analyse multi-dimensionnelle au sein d'une seule équation : (m,kg,s,.....)=(m,kg,s,....) càd qu'on pose une quantité: Q=a(m)+b(kg)+c(s)+.....(comme pour les nombre 'hyper'complexes dans C ou H,..)

et

il est de dimension 7

les tenseurs ou tout autre chose sont définit sur la même 'base' ou 'dimension', mais analogiquement, c'est comme écrire une quantité qui est la somme d'un scalaire et d'un vecteur ou autre chose ...

[azizovsky]

mais analogiquement, c'est comme écrire une quantité qui est la somme d'un scalaire et d'un vecteur (octons ou ...) ou autre chose ...

ce qui même tous droit vers les algèbres de Clifford .

[stefjm]

Bonjour stefjm, puisqu'on y' est, est ce qu'il n'y a pas une sorte de TL ou TF, ou opérateur de Hodge ?

Pou la transformée de Fourier, je vois l'intérêt:

- La transformation de la dérivée () en

La dérivée d'un coté donne la multiplication par l'opérateur de l'autre.

Pour la dualité, j'ai bien aimé :
http://repmus.ircam.fr/_media/mamux/...re/ch6dual.pdf

[invitef29758b5]

si je dis que pommes et poires sont des fruits, je peux éventuellement dire 1 poire + 3 pommes = 4 fruits...

C' est une petite tricherie .
Pomme et poire sont inclus dans l' ensemble fruit et on peut les additionner en temps qu' éléments de cet ensemble . fruit + fruit = fruit .
Il n' en reste pas moins vrai que pomme + poire n' est pas définit .

Pour faire pareil avec kg et m il faudrait que ces ensembles soit inclus dans un même troisième . Lequel ???

[stefjm]

C' est une petite tricherie .
Pomme et poire sont inclus dans l' ensemble fruit et on peut les additionner en temps qu' éléments de cet ensemble . fruit + fruit = fruit .
Il n' en reste pas moins vrai que pomme + poire n' est pas définit .

Pour faire pareil avec kg et m il faudrait que ces ensembles soit inclus dans un même troisième . Lequel ???

C'est correct au prix d'une constante dimensionnante comme pour ds^2=dx^2-dt^2

D'ailleurs pour l'exemple des fruits , il faut les ^2, cela simplifie...

[stefjm]

c'est précisément l'une des questions de ce fil je crois : "pourquoi ne peut on pas ajouter des puissances entières différentes d'une meme grandeur physique ?".
Qu'est ce qui l'interdit mathématiquement ?

Cette question générale en rejoint une autre plus particulière que j'avais posé en 2008 :
http://forums.futura-sciences.com/ph...rmalisees.html

Par exemple, pour les trous noirs en RG, on additionne allègrement des carrés de masse et des carrés de charge.

Il y avait eu cette contribution :

Je vais prendre la notation crochet.
On a [abcd] = [a]+[b]+[c]+[d] comme avec des logs.
Ce n'est pas une démonstration mais on peut voir que c'est cohérent si l'on pose [M] = 1 de poser alors [L] = -1.
Dans une transformation de fourier on a

pour une grandeur physique G ecrire consiste à ajouter .
Si G est une longueur on additionne ainsi un nombre, une longueur, une surface, un volume etc,
dans le cas dela transformée de fourier on a l'exponentielle de ipx ou p est une impulsion.
On a [ipx] = [i]+[p]+[x]
[i] = 0 (nombre)
[p] = [mv]= [m] + 0 = 1 par convention
donc la dimention numérique de ipx est 1 + [L]
si [L] = -1 alors la grandeur G = ipx est telle que [G] = 0
quand on écrit on ajoute des choses qui ont une meme dimension numérique nulle ce qui devient moins bizarre.
C'est pareil quand on écrit exp(px-Et).
J'utilise le terme dimension numérique je ne sais pas quel est le terme officiel.

Il avait ouvert un post sur le [], où la dimension est un nombre.
http://forums.futura-sciences.com/ph...sionnelle.html

Cordialement.

[invite93279690]

Ben prenons des mètres et des mètres², de quelle dimension sera la somme d'une longueur et d'une surface ? Je ne sais pas s'il faut voir dans l'analyse dimensionnelle une quelconque propriété mathématique

c'est une analyse qui utilise une certaine algèbre qui opère sur les dimensions physiques, donc je ne vois pas comment cela n'aurait pas de propriété mathématique.

Par ailleurs mon point n'est pas de dire que sommer des metres et metres carres a un sens mais de preciser dans quel contexte est ce que cela n'en a pas. mach3 a propose que c'est parce que ce sont des elements d'espaces vectoriels (de dimension 1) différents que l'on construit en effectuant un nombre entier de fois le produit tensoriel de l'espace vectoriel des longueurs; du coup on essaie en substance de sommer des tenseurs de degrés differents. On pourrait dire que cela ne fait que déplacer le problème car on peut se demander maintenant pourquoi on ne peut pas sommer des elements d'espaces vectoriels differents mais en fait la question ne se pose pas car un espace vectoriel se doit d'être stable sous l'addition par definition; ce qui empêche les sommes inter-espaces vectoriels.

mais plus une propriété purement physique

je ne comprends pas ce que cela veut dire; ce serait une propriete appreandable physiquement mais non modelisable mathématiquement ?

à chaque grandeur, la physique considère une grandeur qu'on appelle la dimension, et dont la manipulation doit suivre des règles logiques de base.

que les unites servent de métalogique en dehors de la logique usuelle de la physique, certes, mais qu'on ne puisse pas la mathématiser je trouve cela vraiment étrange.

Ce sont des valeurs des mêmes ensembles, mais auxquelles on attribue une caractéristique, qui elle même doit suivre une logique que la physique décrit, voilà tout.

...donc ils n'appartiennent pas au meme ensemble alors...ou plutôt il existe un ensemble dans lequel ils ne sont pas tous; d'ou l'idee de classe d'equivalence avancee par amanuensis un peu plus tot dans la discussion (si je me souviens bien).

[obi76]

C'est le point de vue "pratique", tout à fait défendable et parfaitement honorable. Mais que certains se limitent à ce point de vue là ne devrait pas interdire à d'autres de réfléchir aux pratiques au-delà de leur seul état de pratique, et d'en discuter, si?

Ai-je prétendu le contraire ? J'expose mon point de vue, ça n'interdit pas aux autres d'en avoir une différente.

[invite93279690]

on peut très bien, 1kg + 3m, c'est un peu de la même nature que 1 poire + 3 pommes, le résultat n'est ni une masse ni une distance et il n'est d'ailleurs pas évident de calculer la valeur numérique de ce résultat, ni ce que cette valeur signifie sans définitions ad hoc. Par exemple dans 1 poire + 3 pommes, si je dis que pommes et poires sont des fruits, je peux éventuellement dire 1 poire + 3 pommes = 4 fruits... Pour 1kg + 3m, je ne sais pas, et à moins de convenir d'une règle, 1kg + 3m = 1kg + 3m et c'est tout.

le problème avec cette analogie, comme je l'ai dit dans un de mes premiers messages, est que la multiplication de de 1 poire avec une pomme n'est pas définit non plus, alors que la multiplication de 1kg par 3 m l'est.

Ma question de depart était alors de comprendre pourquoi (ou comment) on pouvait engendrer de nouvelles dimensions physiques par la multiplication mais pas par l'addition (je sais bien que le log peut se cacher derriere cette apparente contradiction).

[Amanuensis]

pourquoi on ne peut pas sommer des elements d'espaces vectoriels differents mais en fait la question ne se pose pas car un espace vectoriel se doit d'être stable sous l'addition par definition; ce qui empêche les sommes inter-espaces vectoriels.

??? V1xV2 permet ces sommes, avec l'identification entre V1 et V1x{0}, et entre V2 et {0}xV2.

[mach3]

C' est une petite tricherie .
Pomme et poire sont inclus dans l' ensemble fruit et on peut les additionner en temps qu' éléments de cet ensemble . fruit + fruit = fruit .
Il n' en reste pas moins vrai que pomme + poire n' est pas définit .

Pour faire pareil avec kg et m il faudrait que ces ensembles soit inclus dans un même troisième . Lequel ???

oui, relire mon message :

le résultat n'est ni une masse ni une distance et il n'est d'ailleurs pas évident de calculer la valeur numérique de ce résultat, ni ce que cette valeur signifie sans définitions ad hoc. Par exemple dans 1 poire + 3 pommes, si je dis que pommes et poires sont des fruits, je peux éventuellement dire 1 poire + 3 pommes = 4 fruits...Pour 1kg + 3m, je ne sais pas, et à moins de convenir d'une règle, 1kg + 3m = 1kg + 3m et c'est tout
[...]
On peut ajouter en fonction des besoins, des propriétés pour en faire une structure, comme un espace vectoriel, voire même définir une norme et pas forcément celle de l'espace euclidien. Par exemple pour (1 poire, 3 pommes), je peux dire que la norme est 4 fruits, c'est juste une question de choix de structure et de propriétés

mach3 a propose que c'est parce que ce sont des elements d'espaces vectoriels (de dimension 1) différents que l'on construit en effectuant un nombre entier de fois le produit tensoriel de l'espace vectoriel des longueurs; du coup on essaie en substance de sommer des tenseurs de degrés differents. On pourrait dire que cela ne fait que déplacer le problème car on peut se demander maintenant pourquoi on ne peut pas sommer des elements d'espaces vectoriels differents mais en fait la question ne se pose pas car un espace vectoriel se doit d'être stable sous l'addition par definition; ce qui empêche les sommes inter-espaces vectoriels.

alors attention, on peut toujours construire un espace plus grand qui contienne tout le monde et où l'addition est possible, par exemple l'ensemble des éléments du type :



forme également un espace vectoriel, en tout cas il en a toutes les propriétés. Certains sous-espace contiendront des tenseurs de rang 1 et d'autre des tenseurs de rang 2. Ce genre de structure doit avoir un nom que je ne connais pas encore...
Tout cela pour dire que le problème n'est pas mathématique. Le problème est : "si j'utilise une telle structure mathématique pour faire de la physique, sert-elle à quelque chose? permet-elle de modéliser quelque chose du réel?" Force est de constater que même si mathématiquement légales (on peut construire toute une structure cohérente dessus) des expressions comme 2m + 5m² ou 1m + 3kg n'ont a priori pas de sens physique et ce jusqu'à ce que quelqu'un en trouve un ou démontre que cela ne peut en aucun cas avoir un sens physique.

le problème avec cette analogie, comme je l'ai dit dans un de mes premiers messages, est que la multiplication de de 1 poire avec une pomme n'est pas définit non plus, alors que la multiplication de 1kg par 3 m l'est.

il pourrait être amusant de trouver une situation où cela est défini. On parle de bien d' hommes-jours en gestion de projet...

m@ch3

PS : doublé

[invitef29758b5]

la multiplication de de 1 poire avec une pomme n'est pas définit non plus

poire*pomme = poire.pomme
Et voila , c' est définit

Oui , je sais , tu va dire qu' il n' existe pas d' entité physique correspondant à cette combinaison de dimension .
Mais c' est vrai pour la plupart des combinaisons de dimensions .
En combinant les dimensions de base on pourrait créer une infinité de dimensions secondaires qui ne correspondent à rien de physique .

[invite93279690]

??? V1xV2 permet ces sommes, avec l'identification entre V1 et V1x{0}, et entre V2 et {0}xV2.

je n'ai jamais dit qu'il n'existait pas de structure dans laquelle l'addition de deux espaces vectoriels ne faisait pas sens, j'ai dit que si on prend deux espaces vectoriels, la somme inter-espace n'est pas définie telle que; il faut travailler pour définir cette espace qui englobe les deux autres; comme le coup de l'ensemble des fruits pour les poires et les pommes.

[Amanuensis]

alors attention, on peut toujours construire un espace plus grand qui contienne tout le monde et où l'addition est possible, par exemple l'ensemble des éléments du type :



forme également un espace vectoriel, en tout cas il en a toutes les propriétés. Certains sous-espace contiendront des tenseurs de rang 1 et d'autre des tenseurs de rang 2. Ce genre de structure doit avoir un nom que je ne connais pas encore...

C'est une algèbre tensorielle, fermée pour le produit tensoriel. (https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_algebra)

(J'ai parlé plus tôt de l'algèbre extérieure, qui y est apparenté (classes modulo les x tens x, sauf erreur). mais j'aurais plutôt dû introduire l'algèbre tensorielle.)

[invite93279690]

En combinant les dimensions de base on pourrait créer une infinité de dimensions secondaires qui ne correspondent à rien de physique .

on peut en effet créer, je pense, une infinite de dimensions différentes. Je ne suis pas sur que cela n'ai pas de sens physiquement. L'espace des phases a un nombre de dimensions vertigineux qui s'expriment comme un grand nombre de produits de longueur et d'impulsion.

Par ailleurs, si tu as une equation E qui est vraie, tu peux toujours la multiplier par n'importe quelle grandeur physique du problème (ou encore mieux indépendante du problème), la nouvelle equation obtenue sera toujours vraie aussi bien physiquement que dimensionnellement. Vu que c'est vrai quelque soit l'equation de depart et la grandeur considérée, toutes les dimensions obtenues par multiplications arbitraires de dimensions physiques de base sont toutes aussi valables les unes que les autres il me semble.

[invitef29758b5]

si on prend deux espaces vectoriels, la somme inter-espace n'est pas définie telle que; il faut travailler pour définir cette espace qui englobe les deux autres; comme le coup de l'ensemble des fruits pour les poires et les pommes.

Le cas pomme poire me fait irrésistiblement penser au moment de force .
Bipoint Λ force = moment .
(Bipoint + force) n' est pas définit .
Par contre l' espace qui englobe les deux existe-t-il ?

Vu que c'est vrai quelque soit l'equation de depart et la grandeur considérée, toutes les dimensions obtenues par multiplications arbitraires de dimensions physiques de base sont toutes aussi valables les unes que les autres il me semble.

Donc c' est vrai aussi pour les dimensions pomme et poire

[Amanuensis]

je n'ai jamais dit qu'il n'existait pas de structure dans laquelle l'addition de deux espaces vectoriels ne faisait pas sens, j'ai dit que si on prend deux espaces vectoriels, la somme inter-espace n'est pas définie telle que;

J'avais compris. J'indiquais juste qu'il y a une méthode classique et immédiate, qu'on a sous la main sans avoir à travailler beaucoupe, consistant à prendre toutes les sommes d'éléments et à le structurer comme indiqué.

C'est la même chose qui est fait avec l'algèbre tensorielle ou les algèbres de Clifford il me semble.

(L'algèbre tensorielle se construit pareil, par K x V x V tens V x etc., avec addition et multiplication par un scalaire terme à terme, et identification via les 0.)

Comme je l'ai indiqué, c'est "trop facile", et artificiel pour l'application à la physique, y compris la compta es poires et pommes.

PS: L'article Wiki sur l'algèbre tensorielle parle de somme directe, et utilise un + entouré. Même chose que le produit cartésien? Je vérifie...

[stefjm]

p
En combinant les dimensions de base on pourrait créer une infinité de dimensions secondaires qui ne correspondent à rien de physique .

La question, c'est à quel degré s'arrêter.
Il y a des progressions.

Vitesse qui unifie L et T, , de dimension chronogéométrique 1-1=0, point
Constante de gravitation qui unifie , de dimension 3-2=1, longueur
Constante quantique qui unifie , de dimension 5-3=2, surface
On passe au suivant en multipliant par une vitesse aréolaire .

Je n'ai pas encore trouvé le qui suivrait, de dimension 7-4=3, volume, mais par contre

on a aussi avec les constantes de Boltzman et Stefan , de dimension 8-5=3, volume.


Il semble que lorsque les exposants sont trop élevés, on utilise une nouvelle grandeur physique pour les réduire. C'est patent dans le cas M=L^3T-2 !

Pour les détails :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post1994954
http://forums.futura-sciences.com/ph...eur-temps.html

Cordialement.

[invitef29758b5]

Ma question de depart était alors de comprendre pourquoi (ou comment) on pouvait engendrer de nouvelles dimensions physiques par la multiplication mais pas par l'addition

Il me semble qu' il existe une réponse d' une simplicité maximale :
L' addition est une loi de composition interne .
Le produit peut être interne ou externe , mais en physique il est rarement (voir jamais ?) interne .