Sur les dimensions physiques

[invite93279690]

Je gamberge un peu sur le sujet là, j'ai une suggestion, qu'est-ce qui se passe si on prend les unités pour des constantes quelconques? Par exemple j'écris 3kgx9.81m/s², avec k=1000 et g, m et s des "constantes" et je décrète leur relation avec une autre constante N, N=kgm/s², ce qui me permet d'écrire 3kgx9.81m/s² = 29,43N.

C'est surement complétement farfelu mais ça me passe par la tête et quelqu'un trouvera peut-être quoi en faire, voire faire le lien avec les dimensions elles-mêmes et leurs relations entres-elles

m@ch3

j'ai l'impression que le role joue par ton N ressemble a une constante fourre-tout un peu comme stefjm suggérait pour réduire le nombre d'unites ou grandeurs fondamentales. Je n'ai par contre aucune idée de si c'est interdit ou pas; cela va au dela de l'analyse dimensionnelle.
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[Amanuensis]

c'est bien ca le truc, le role des constantes dimensionnantes me semble très arbitraire; pour prendre l'exemple de la masse et de l'énergie; je ne pense as qu'on ai réellement besoin de deux unites différentes pour parler de ces deux concepts. Les valeurs et les formules different mais pas nécessairement les unites car en substance, masses et énergie représentent la meme chose.

Le point est que justement elles ne représentent pas la même chose.

Personnellement, je pense que l'analyse dimensionnelle des unités n'est qu'une partie de l'analyse de cohérence et de l'analyse du sens. L'autre partie est ce que j'appelle la "nature" d'une grandeur: scalaire, vectorielle, etc. (Toute la difficulté est dans le etc.)

[La cohérence de la nature dans une équation est assez claire dans une équation tensorielle, et très similaire aux unités: on ne peut additionner ou égaliser que des tenseurs de même nature, ce qui se fait en vérifiant les positions des indices.]

Et là, masse et énergie sont des concepts clairement différents: l'une est un scalaire, l'autre une coordonnée. Autrement dit, l'une est "absolu", l'autre n'a de sens que relatif à un référentiel. Ou encore, l'une est additive en RR (l'énergie), l'autre ne l'est pas (la masse). La grandeur qui a un sens (point de vue tensoriel) est (E,p)--nature quadri-vectorielle, et la masse est sa norme (nature scalaire). Si on confond masse et énergie, la logique demande de confondre énergie et quantité de mouvement: et là, le mélange des natures est encore plus clair.

Si on prend c=1, on se retrouve dans la même situation que travail (en joules) et moment de force (en N.m): des grandeurs de dimension identique (masse, énergie et quantité de mouvement) mais de signification différente. La différence de signification étant obligatoire vu la différence de nature.

oui en effet, et soit on fait des equivalences au pif, soit on fait des equivalences qui font "sens". Maintenant je doute qu'il y ait une manière objective de decider ce qui fait sens.

S'il n'y en a pas, il n'y a pas de manière objective de faire de la physique. Car sans sens donné aux grandeurs, il n'y a plus que des formules de maths, et plus de physique.

[Amanuensis]

Si on confond masse et énergie, la logique demande de confondre énergie et quantité de mouvement: et là, le mélange des natures est encore plus clair.

Pour renforcer ce point, il est intéressant de constater qu'on ne peut pas écrire E+p (addition d'un scalaire et d'un vecteur: interdit par incohérence de nature, même si on choisit c sans dimension et ainsi "l'autoriser" quant à la cohérence dimensionnelle), mais on peut écrire m²=E²-p² (égalité entre "carrés scalaires"). C'est aussi une manière de voir que la cohérence dimensionnelle a des propriétés peu simples quand on sort du linéaire...

[Amanuensis]

Je reviens sur un point:

en physique il y a deux choses qui importent je pense : premièrement la logique d'un formalisme qui est donc ici la logique de l'analyse dimensionnelle (c'est quand meme par rien, un critère de coherence qui nous permet de refuter toute proposition qui est "non homogene")

C'est pour cela que je parle d'usages, de "ce qui se fait". Car un élève un peu attentif (comme stefjm ) va relever aisément des entorses au système. Cela m'oblige à prendre un exemple avec radian... Le produit d'une vitesse angulaire, en rad/s, par un couple, en N.m, est une puissance, en J/s. Ce qui pourrait être vu comme réfuté, car on n'a pas "équilibre" pour le radian (et aussi parce qu'on tient à distinguer par ailleurs N.m et joule...). L'usage est de s'en tirer en disant que le radian est sans dimension, et donc "ne compte pas". Et la question est alors bien évidemment pourquoi on n'exprime pas la vitesse angulaire en hertz...

On peut trouver d'autres entorses quand on inclut les deux unités "bizarres" du SI, et qu'on veut faire de l'analyse dimensionnelle avec en les prenant comme des dimensions (ce qu'elles ne sont pas, àmha).

[invite93279690]

Personnellement, je pense que l'analyse dimensionnelle des unités n'est qu'une partie de l'analyse de cohérence et de l'analyse du sens. L'autre partie est ce que j'appelle la "nature" d'une grandeur: scalaire, vectorielle, etc. (Toute la difficulté est dans le etc.)

je suis tout a fait d'accord avec l'importance de l'objet mathématique pour apprehender de manière complete le sens d'un objet physique.

on ne peut additionner ou égaliser que des tenseurs de même nature, ce qui se fait en vérifiant les positions des indices.

justement parce qu'ils forment (localement) un espace vectoriel non ?

Et là, masse et énergie sont des concepts clairement différents: l'une est un scalaire, l'autre une coordonnée.

ce point de vue est intéressant. Pour moi il ne signifie pas nécessairement que ces objets ne sont pas de meme nature; pour moi le concept d'énergie/masse est définissable au préalable (ou "existe" quelque part dans l'espace des concepts physiques) et le caractère scalaire ou coordonnées de certaines formes de masse/energie n'est qu'anecdotique du point de ce que ces objets sont (ce n'est pas vraiment anecdotique évidemment mais pour la discussion actuelle sur les unites j'aurais tendance a dire que si).

Si je prends un vecteur standard dans R^3, il a la fois des coordonnée dans un repère et une norme; cela ne change pas le fait que coordonnées et normes représentent des longueurs dans l'espace.

Autrement dit, l'une est "absolu", l'autre n'a de sens que relatif à un référentiel.

je suis tout a fait d'accord mais pour moi c'est du raffinement par rapport a une substance plus abstraite dont on peut extraire le concept qui selon moi serait un concept masse/energie.

Si on prend c=1, on se retrouve dans la même situation que travail (en joules) et moment de force (en N.m): des grandeurs de dimension identique (masse, énergie et quantité de mouvement) mais de signification différente. La différence de signification étant obligatoire vu la différence de nature.

le fait que l'unite du moment d'une force soit la meme que l'energie est un truc très perturbant évidemment. Mais je me demande si ce problème entre moment de force et énergie ne surgit pas a cause du statut bizarre des radians; si on essaie de determiner l'unite "réelle" d'un moment de force (dans le sens de son utilité en dynamique), le théorème du moment cinetique nous dit que c'est des [M][L][L][RAD][T]^-2. Evidemment si on dit que les radians ne sont pas des vraies unites, on obtient la dimension d'une énergie.

S'il n'y en a pas, il n'y a pas de manière objective de faire de la physique.

peut être qu'il n'y a pas de manière objective de faire de la physique dans le sens ou les deux choses qui importent : coherences interne (de la théorie avec elle meme) et externe (de la théorie avec l'experience) ne me semble pas requérir en amont une sorte de raisonnement objectif. Par exemple, depuis assez récemment, je suis assez confus (mais j'ouvrirai un sujet la dessus dans pas longtemps) sur le statut de la seconde loi de Newton (est ce une égalité entre deux concepts préexistants qui seraient autrement indépendants ou bien est ce la definition de la force en mécanique au sens de Newton) et la nécessité (ou pas) de ces deux autres lois.

Pour renforcer ce point, il est intéressant de constater qu'on ne peut pas écrire E+p (addition d'un scalaire et d'un vecteur: interdit par incohérence de nature, même si on choisit c sans dimension et ainsi "l'autoriser" quant à la cohérence dimensionnelle)

Je n'arrive pas a être si catégorique. D'autant que E est une coordonnée comme tu l'as très bien signale plus tot. Donc E+p fait parfaitement sens pour moi; cela pourrait correspondre a un simple changement de référentiel qui mélangerait allègrement coordonnées énergie et impulsions.

D'ailleurs ce que je disais plus tot sur le temps reste valable il me semble. En RR, temps et espace sont la meme chose : des coordonnées de l'espace-temps; ils ont donc le meme role et devraient avoir la meme unite. Pour des raisons historiques ce n'est pas le cas mais il n'est pas clair pour moi que cela doit rester tel quel jusqu'a la fin des temps (c'est le cas de le dire); ce serait faire fi des progrès conceptuels faits depuis plus d'un siècle.

[mach3]

J'ai continué de gamberger et la nuit porte conseil.

Définissons un espace vectoriel L, à une dimension et un autre espace vectoriel T, également à une dimension. Définissons également T^-1 l'espace vectoriel dual de T, qui se transforme donc à l'inverse de T lors d'un changement de base (l'un et covariant l'autre contravariant).
Le produit tensoriel de L par T^-1, que je vais nommer V (non vous ne me voyez pas venir), est un tenseur d'ordre 2 mais a une seule dimension, il est donc analogue à un simple espace vectoriel de dimension 1. En fait l'aspect ordre 2 se retrouve dans le fait qu'on peut changer la base de L et T^-1 de manière indépendante, mais de manière effective, c'est comme si on changeait simplement la base de V.
Le produit tensoriel de V par T^-1 donne A, un tenseur d'ordre 3, mais toujours de dimension 1.
Je peux aussi définir un autre espace vectoriel M, toujours à une dimension, est fabriquer d'autre tenseurs avec lui, P qui sera le produit de M et V, F qui sera le produit de M et A...

Vous avez peut-être compris où je voulais en venir. Décrétons que L est l'ensemble de toutes les grandeurs physique de dimension longueur, idem pour T, dimension temps, T^-1, dimension fréquence, V, dimension vitesse, A, dimension accélération, P, dimension impulsion et F dimension force. Alors chacun de ces ensemble se comporte comme un espace vectoriel, avec une base qui défini son unité et le changement de base étant le changement d'unité. Le vecteur de base est l'unité de mesure.
Comme les éléments de ces ensembles sont des vecteurs d'espaces différents, voire même des tenseurs d'ordre différents, l'addition d'élèments venant de différents ensemble n'est pas forcément possible.

On vient donc de formaliser un petit bout de l'analyse dimensionnelle. Un petit bout seulement car il reste des difficultés, dont certaines peuvent être levées.
1) Le produit tensoriel n'est pas commutatif, donc L par T^-1 n'est a priori pas la même chose que T^-1 par L. Il est cependant à noter que du point de vue des coordonnées, il ne s'agit que d'une multiplication entre réels, donc associative, donc il suffirait d'avoir un morphisme de L par T^-1 à T^-1 par L
2) Le produit de T par T^-1 est un tenseur d'ordre 2 (toujours de dimension 1), une fois covariant, une fois contravariant, alors que le produit d'un temps par une fréquence est un scalaire. A noter que 1s fois 1Hz, vaut 1, 1h fois 1h^-1 vaut 1, mais que 1h fois 1Hz vaut 3600 : on a exactement le comportement d'un tenseur d'ordre 2 entre un vecteur et son dual, si on change la base des deux en même temps ou si on ne change que l'une de deux bases. On doit aussi pouvoir faire un morphisme pour associer ce tenseur à un scalaire et ainsi être cohérent. Il suffit peut-être de considérer le produit contracté, entre T et T^-1, la trace du produit T par T^-1 en somme.
3) Que se passe-t-il quand le même espace vectoriel est impliqué plusieurs fois, par exemple L pour construire les surfaces, les volumes? il se peut que ce ne soit pas le produit tensoriel qui interviennent, mais qu'on considère un espace vectoriel de dimension 3, L³, ensemble des longueurs orientées dans l'espace 3D, et que les surfaces et les volumes soient du coup des produits extérieurs entre éléments de cet espace. Les morphismes qui relient produit extérieur de deux vecteurs de dimension 3 (une surface orientée) et produit vectoriel dans R³, ainsi que produit extérieur de 3 vecteurs de dimension 3 (un volume) et produit mixte dans R³ sont d'ailleurs bien connus.
En gros pour combiner des vecteurs du même espace vectoriel, il y a plusieurs possibilité et là c'est la situation physique qui nous dit quel produit choisir. Par exemple, une vitesse au carré est elle une longueur par une accélération ou un l'augmentation du taux d'accroissement d'une surface? Ce n'est pas la même chose du tout physiquement et ça se voit mathématiquement, pourtant c'est la même dimension.

J'ai l'impression qu'en construisant bien proprement tout cela (je ne pense pas en être capable car trop de notions mal connues en maths pour moi), on reconstruit toute les relations entre grandeurs physiques et alors l'analyse dimensionnelle n'apparait que comme une version simplifiée de cela, menant aux contradictions connues (N.m du couple versus J de l'énergie) parce qu'on a dépouillé la structure de ses aspects tensoriels.

Qu'en pensez vous?

m@ch3

[Amanuensis]

le fait que l'unite du moment d'une force soit la meme que l'energie est un truc très perturbant évidemment. Mais je me demande si ce problème entre moment de force et énergie ne surgit pas a cause du statut bizarre des radians; si on essaie de determiner l'unite "réelle" d'un moment de force (dans le sens de son utilité en dynamique), le théorème du moment cinetique nous dit que c'est des [M][L][L][RAD][T]^-2. Evidemment si on dit que les radians ne sont pas des vraies unites, on obtient la dimension d'une énergie.

Je comprends tout à fait. Mais ayant décidé de ne pas entrer dans la polémique des radians (stefjm et moi avons déjà donné, et ce dans des discussions maintenant assez anciennes...), j'adopte ici l'approche officielle.

Et cela donnait un exemple facile pour le point que je voulais poser

peut être qu'il n'y a pas de manière objective de faire de la physique dans le sens ou les deux choses qui importent : coherences interne (de la théorie avec elle meme) et externe (de la théorie avec l'experience) ne me semble pas requérir en amont une sorte de raisonnement objectif. Par exemple, depuis assez récemment, je suis assez confus (mais j'ouvrirai un sujet la dessus dans pas longtemps) sur le statut de la seconde loi de Newton (est ce une égalité entre deux concepts préexistants qui seraient autrement indépendants ou bien est ce la definition de la force en mécanique au sens de Newton) et la nécessité (ou pas) de ces deux autres lois.

La première est au moins aussi intéressante

Je n'arrive pas a être si catégorique. D'autant que E est une coordonnée comme tu l'as très bien signale plus tot. Donc E+p fait parfaitement sens pour moi; cela pourrait correspondre a un simple changement de référentiel qui mélangerait allègrement coordonnées énergie et impulsions.

Ma faute. Je voulais écrire et faire comprendre E + \vec{p}, une addition entre un scalaire et un vecteur.

D'ailleurs ce que je disais plus tot sur le temps reste valable il me semble. En RR, temps et espace sont la meme chose : des coordonnées de l'espace-temps; ils ont donc le meme role et devraient avoir la meme unite.

Oui et non. Vaste débat. On ne peut pas les confondre en pratique de tous les jours, mais on ne peut pas les confondre non plus en théorie, du moins en 4D d'espace-temps. Plein de manières de le voir ; la distinction est le signe majoritaire ou minoritaire de la forme métrique, ce qui a diverses implications, comme par exemple la structure du groupe de Lorentz, ou la différence topologique entre les deux parties de l'espace temps séparées par un cône de lumière (une connexe, l'autre non), etc.

La question de l'unité commune entre durée et longueur est la même qu'entre énergie et quantité de mouvement (ce sont les grandeurs conjuguées!). Seulement on a l'unité de masse en plus dans le second cas, et rien d'équivalent dans le premier. La cohérence voudrait d'inventer une unité qui serait à la masse ce que la durée est à l'énergie et la longueur à la quantité de mouvement. Ce qui n'empêcherait pas le choix d'une seule unité pour masse/énergie/qm et, corrélativement, pour x/durée/longueur, mais au moins on y verrait plus clair!

Une question liée et intéressante est l'unité du \sqrt{|g|} ou de R qui apparaissent par exemple dans le lagrangien libre de la RG...

Pour des raisons historiques ce n'est pas le cas mais il n'est pas clair pour moi que cela doit rester tel quel jusqu'a la fin des temps (c'est le cas de le dire); ce serait faire fi des progrès conceptuels faits depuis plus d'un siècle.

Compliqué... La vie de tous les jours donne aussi des contraintes. Perso je préfère jongler avec les différentes approches, j'arrive à le faire en prenant en compte les progrès conceptuels. Mais je suis bien d'accord qu'il faut trouver moyen que les "concepts historiques" ne soient pas un obstacle aux "nouveaux concepts".

[invite93279690]

La première est au moins aussi intéressante

Bien entendu, je ne dis pas du tout le contraire .

Ma faute. Je voulais écrire et faire comprendre E + \vec{p}, une addition entre un scalaire et un vecteur.

ok je vois

Oui et non. Vaste débat. On ne peut pas les confondre en pratique de tous les jours, mais on ne peut pas les confondre non plus en théorie, du moins en 4D d'espace-temps. Plein de manières de le voir ; la distinction est le signe majoritaire ou minoritaire de la forme métrique, ce qui a diverses implications, comme par exemple la structure du groupe de Lorentz, ou la différence topologique entre les deux parties de l'espace temps séparées par un cône de lumière (une connexe, l'autre non), etc.

je pense qu'on en vient a nos divergences d'opinion sur le statut de l'unite quant a ce qu'elle nous dit sur un objet.

De mon point de vue, on peut faire une classe d'equivalence d'objets ou grandeurs physiques de meme nature et leur donner la meme dimension physique/unite. Cela n'implique absolument pas que ces objets sont identiques, on ne peut pas les identifier l'un a l'autre nécessairement. L'exemple evident est celui du champ électromagnétique, pour moi les deux champs électriques et magnétiques devraient avoir les memes unites (ce qui est fait en unites CGS) car ils ont essentiellement la meme nature: ce sont des coordonnées du tenseur électromagnétique. Pour autant, il est clair qu'un champ électrique n'est pas identique a un champ magnétique; ces deux objets sont differents car ils ne partagent l'ensemble de leurs attributs, pour moi cela ne leur empêche pas de partager la meme essence qui est donnée par la dimension physique.

La question de l'unité commune entre durée et longueur est la même qu'entre énergie et quantité de mouvement (ce sont les grandeurs conjuguées!). Seulement on a l'unité de masse en plus dans le second cas, et rien d'équivalent dans le premier.

pas vraiment, les lois de la dynamiques s'appliquent en fait au centre de masse d'un système et évidemment pour une masse ponctuelle, cette aspect disparait entièrement mais dans le cas general c'est peut être intéressant de s'en souvenir.

La cohérence voudrait d'inventer une unité qui serait à la masse ce que la durée est à l'énergie et la longueur à la quantité de mouvement. Ce qui n'empêcherait pas le choix d'une seule unité pour masse/énergie/qm et, corrélativement, pour x/durée/longueur, mais au moins on y verrait plus clair!

je n'arrive pas a trouver d'essence particuliere a la masse qui ne soit pas deja prise en compte par l'énergie elle meme. La discussion devient differente si comme tu le mentionnais on faisait une distinction entre les dimensions de masses graves et masses inertielles (Newton a d'ailleurs proposé, dans ses Principia , une preuve du fait que par coherence la masse grave devait être egale a la masse inerte mais la preuve était un peu foireuse en fait...).

Une question liée et intéressante est l'unité du \sqrt{|g|} ou de R qui apparaissent par exemple dans le lagrangien libre de la RG...

tout a fait d'accord avec ca en effet, on en a parle il n'y a pas si longtemps.

Perso je préfère jongler avec les différentes approches, j'arrive à le faire en prenant en compte les progrès conceptuels.

c'est une bonne remarque et elle s'accorde avec la vision "multiple" que j'ai de la physique (vision qui, d'apres certains echanges que j'ai eu récemment sur futura, ne serait pas scientifique et n'aurait donc pas sa place sur futura). Mais c'est simplement que, independamment des conventions d'unites, il me semble que cela ne peut pas faire de mal de tenter de comprendre les règles logiques et sémantiques qui régissent tout cet aspect "analyse dimensionnelle" en physique et ne pas avoir honte de dire que c'est compliqué et parfois un peu tordu plutôt que de balayer la question d'un revers de main en disant "mais t'es con ou quoi, c'est evident".

[mach3]

mes idées n'intéressent personne on dirait!? vous pourriez au moins dire qu'elles sont nulles et éventuellement pour quelle raison...

m@ch3

[invite93279690]

mes idées n'intéressent personne on dirait!? vous pourriez au moins dire qu'elles sont nulles et éventuellement pour quelle raison...

m@ch3

désolé, je me suis permis de garder la lecture de ton message pour quand j'aurais plus de temps vu que tu avais l'air de proposer une théorie assez complete du problème.

Je trouve que ta formulation tensorielle est très interessante et répond peut être a une bonne partie des questions que j'ai. Naïvement j'avais pensé a quelque chose de ce genre la sauf que je prenais le produit cartésien des espaces au lieu du produit tensoriel....

D'ailleurs ta remarque sur les longueurs, aires, volumes etc... est vraiment très bonne et on peut partir de la manière dont on définit une forme volume pour se rendre compte que c'est l'aspect produit tensoriel qui compte et non pas produit cartésien.

Note que l'on peut probablement exprimer le dual de chaque espace dont tu parles, par exemple T^-1, via le produit "scalaire" entre deux vecteurs de T; ce dernier étant définit pour conserver les grandeurs sans dimension i.e. pour tout a,b dans T on a g(a,b) = b^-1(a) = a/b. Le seul problème comme tu l'as fait remarquer est que la forme est linéaire mais n'est pas symétrique.

[Amanuensis]

Pareil, faut que je réfléchisse. Ces idées ne vont pas bien avec différentes choses (pour moi), mais pas de raison de commenter avant d'avoir plus réfléchi.

[mach3]

Bon, ben merci, j'avais peur que mon message soit passé à la trappe. Même si ça ne colle pas, ça pourra je l'espère donner des idées. Il doit bien y avoir des structures mathématiques qui permettent de reproduire proprement le comportement des grandeurs physiques. Si on trouve quelque chose gatsu pourra peut-être faire avaler le concept de l'analyse dimensionnelle à ses élèves matheux en leur présentant ce qu'ils aiment : des structures algébriques, des tenseurs, etc...

Je continue de réfléchir, et j'exhume de vieilles connaissances. J'avais vu en master 2 les histoires d'espace réel et d'espace réciproque, on avait des vecteurs d'espace "normaux", et des vecteurs d'ondes dans l'espace réciproque (et après on faisait d'horribles transformées de fourrier en 3D pour transformer des réseau cristallins en réseau réciproques , bon passons...), et la façon de définir les vecteurs de bases réels et réciproque correspond avec l'histoire d'espaces duals (duaux ???) et le produit extérieur (enfin c'était du produit vectoriel et mixte, mais c'est lié mathématiquement). Il y a donc bien une façon "légale" de faire fonctionner cela, du moins avec les longueurs de l'espace 3D.

J'ai poursuivi le truc et je me suis posé la question du produit scalaire. Je me suis dit qu'il fallait faire intervenir la métrique, qui va transformer par contraction l'un des deux vecteurs de contravariant à covariant pour qu'il puisse ensuite être contracté avec l'autre vecteur contravariant lui aussi. Quelque chose comme :

(c'est en notation d'Einstein -sommation implicite- et je n'ai pas trouver comment mettre en gras pour souligner le caractère tensoriel...),

avec représentant 1m et , 1m^-1 ( serait donc un élément de ). Mais du coup, posé comme ça le produit scalaire est un scalaire sans dimension... et invariant! ce qui me perturbe un peu... Il y a soit une subtilité qui m'échappe, soit il ne faut pas faire de cette façon, soit je fais totalement fausse route...

m@ch3

[mach3]

Ou alors... la structure d'espace euclidien vient en sus. Un vecteur de l'espace euclidien à trois dimensions dans lequel nous faisons de la physique aurait pour coordonnées non pas des scalaires mais des vecteurs de L et s'exprimerait :



avec des scalaires, m un vecteur de base de L qui représente 1 métre et les vecteurs de base de l'espace Euclidien E³). Du coup la métrique peut être sans unité et on trouve bien un produit scalaire en m². Il reste encore un problème à cause de la non commutativité : le vecteur à gauche doit être en alors que le vecteur à droite doit être en pour pouvoir être contractés avec la métrique . Ca fait vraiment bricolage tout cela...

...je continue, et laisse à plus fort que moi le soin de trier les bonnes idées parmi les mauvaises, si il y en a...

m@ch3

[mach3]

petite recherche biblio :

si quelqu'un a accès à ça : http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF00286495

ou à ça http://www.jstor.org/stable/2314953?...n_tab_contents

sinon il y a ça, accès libre : https://www.maa.org/sites/default/fi...lerWhitney.pdf

bonne lecture

m@ch3

[mach3]

en accès libre aussi : http://www.nrl.navy.mil/itd/imda/sit...perOffCopy.pdf

m@ch3

[mach3]

grrr en page 7 du dernier document ils font un truc que j'ai testé hier et que je n'ai pas continué parce que ça me semblait débiloïde écrire par exemple :



je n'ai pas encore lu la suite et je ne sais pas où ça va mener, mais j'ai la rage de pas avoir insister sur cette voie...

m@ch3

[mach3]

Ce dernier papier donne la piste des algèbres de Cliford, dont l'avantage est que le produit entre vecteur est associatif et que les éléments possèdent un inverse par rapport à ce produit, il y a aussi une commutativité avec changement de signe (type produit vectoriel dans R³). Je n'y connais rien dans cette algèbre (et peu de choses dans les autres...) pour l'instant mais je vais tenter d'y remédier, à force de lire plusieurs fois les articles dans wiki ou autre, ces trucs abscons finiront bien par faire sens...

bonne nuit et désolé pour ce sextuple post

m@ch3

[Amanuensis]

grrr en page 7 du dernier document ils font un truc que j'ai testé hier et que je n'ai pas continué parce que ça me semblait débiloïde écrire par exemple :



je n'ai pas encore lu la suite et je ne sais pas où ça va mener, mais j'ai la rage de pas avoir insister sur cette voie...

Je pense que c'est trop restreint: cela n'a de sens que pour les grandeurs représentées par R+*, ce qui n'est pas si courant d'ailleurs (le 0 a souvent un sens, e.g., la masse). Or il est important de laisser libre la valeur: R, R+, R+*, mais aussi vecteurs, et pas mal d'autres choses.

Àmha, l'auteur aurait dû distinguer valeur et unité, ce que je fais en prenant un couple (v, u), plutôt que l'exprimer multiplicativement par {v}_u * u comme fait l'auteur. Ensuite on peut étudier l'ensemble des dimensions, et les exprimer en log marche et donne un espace vectoriel, du moins si on veut incorporer les exposants quelconques.

(Si on se contente des exposants entiers, une simple structure de groupe commutatif (abélien) suffit. Notons qu'un espace vectoriel réel est un groupe additif commutatif avec une action "multiplicative" de R (un module), et un groupe commutatif peut toujours être muni d'une action "multiplicative" de Z: la structure pertinente est celle de module, et la "seule" différence des deux cas est l'anneau. Plutôt que parler d'espace vectoriel, on peut considérer pour les unités la structure d'un module commutatif, avec comme anneau soit Z, soit Q, soit R, selon ce qu'on accepte comme exposants. Quant à l'écriture multiplicative (l'usuelle pour les dimensions et les groupes) ou additive (genre espace vectoriel, "en log"), elles sont équivalentes, c'est juste une question d'usage.)

[Amanuensis]

Un petit mot sur les algèbres de Clifford. Je ne suis pas proficient (anglicisme mais aussi ancien français) dans le domaine, mais un peu plus dans un cas particulier (et plus simple), l'algèbre extérieure.

L'algèbre extérieure permet de formaliser l'addition de tenseurs de rangs différents, comme par exemple additionner un scalaire et un vecteur. Il est aisé de voir en quoi cela peut "fédérer" en un seul "type de variable" les tenseurs de tout ordre. (Ce n'est pas exactement le but, qui est plutôt de rendre le produit extérieur une opération interne à une seule structure.)

Quelque part cela me donne une impression d'artificialité: certes on atteint ce but de "fédération" grâce à une structure mathématique, mais je n'arrive pas à y voir un sens physique. Je vois bien quelque cas où il fait sens de manipuler des tenseurs de différents rang "en même temps", comme propriétés conjointes d'un même objet, comme par exemple présenter un torseur comme un couple (vecteur, tenseur de rang 2 antisymétrique), et cela a une structure d'espace vectoriel, mais l'écrire par une addition ne me semble pas amener de "sens" plus que l'écrire sous forme de couple (produit cartésien).

Il y a peut-être de meilleurs exemples, dans le vaste domaine de ma méconnaissance. Malheureusement, l'article cité n'en donne aucun...

[Amanuensis]

(...)

Pour ce message-là, je bloque assez vite sur des points que je ne comprends pas bien.

Définissons un espace vectoriel L, à une dimension et un autre espace vectoriel T, également à une dimension. Définissons également T^-1 l'espace vectoriel dual de T

OK

Le produit tensoriel de L par T^-1, que je vais nommer V (non vous ne me voyez pas venir), est un tenseur d'ordre 2

C'est un espace, plutôt qu'un tenseur, non? Du coup, que signifie l'ordre?

mais a une seule dimension, il est donc analogue à un simple espace vectoriel de dimension 1.

L tensoriel T^-1 est de dimension 2. Pour obtenir un espace de dimension 1, faut le réduire par une contrainte supprimant un degré de liberté. Par exemple (l tens t) equivaut à (l/k tens kt) pour tout réel non nul. V est alors l'espace quotient. J'ai l'impression qu'on sort alors du formalisme tensoriel.

En fait l'aspect ordre 2 se retrouve dans le fait qu'on peut changer la base de L et T^-1 de manière indépendante, mais de manière effective, c'est comme si on changeait simplement la base de V.

À partir de là (y compris) j'ai du mal à suivre. Au sens où cela ne rentre pas dans ma tentative de compréhension exposée avant, tentative guidée par mes idées préconçues.

[obi76]

Salut,

Pour moi, ça c'est déjà un non-sens complet. Faire le log d'une grandeur dimenssionnée revient à faire une somme de cette grandeur élevée à toutes les puissances entières, il suffit de voir le développement limité du bidule pour s'en persuader. Par contre le log de (T1/T2) par exemple n'est plus un non sens, puisque le développement limité de log(T1)-log(T2), via un peu de maths élémentaires revient à faire un développement limité de T1/T2.

[stefjm]

grrr en page 7 du dernier document ils font un truc que j'ai testé hier et que je n'ai pas continué parce que ça me semblait débiloïde écrire par exemple :

je n'ai pas encore lu la suite et je ne sais pas où ça va mener, mais j'ai la rage de pas avoir insister sur cette voie...
m@ch3

Bonjour,
T'inquiètes, j'y avais pensé il y a 5 ans et m'étais fait un peu houspillé.

Je ne cherche pas le log d'un nombre mais d'un "truc" qui s'appelle grandeur physique dimensionnée.

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2903330
Avec suite ici: http://forums.futura-sciences.com/physique/383797-unites-6.html#post2903910

Cordialement.

[stefjm]

Juste pour signaler un fil en mathématique lycée sur les dimensions physiques.
http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html

[stefjm]

Salut,
Pour moi, ça c'est déjà un non-sens complet. Faire le log d'une grandeur dimenssionnée revient à faire une somme de cette grandeur élevée à toutes les puissances entières, il suffit de voir le développement limité du bidule pour s'en persuader. Par contre le log de (T1/T2) par exemple n'est plus un non sens, puisque le développement limité de log(T1)-log(T2), via un peu de maths élémentaires revient à faire un développement limité de T1/T2.

Une réponse possible
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5052729

[azizovsky]

Bonjour stefjm, puisqu'on y' est, est ce qu'il n'y a pas une sorte de TL ou TF, ou opérateur de Hodge ?

PS: quand t'on a rien compris, tous est permis ...

stefjm, j'adore ta façon de voir les choses...

[mach3]

Le produit tensoriel de L par T^-1, que je vais nommer V (non vous ne me voyez pas venir), est un tenseur d'ordre 2

C'est un espace, plutôt qu'un tenseur, non? Du coup, que signifie l'ordre?

j'ai fait trop de raccourcis et mal utilisé les mots (les usages ne sont d'ailleurs pas univoques selon les différentes choses que je lis : dans l'article de wikipedia sur le produit tensoriel ils se permettent de dire que est le produit tensoriel des espaces vectoriels E et F).
J'ai un espace L qui contient des vecteurs à une dimension, un espace T^-1 qui contient d'autres vecteurs à une dimension aussi. Le produit tensoriel d'un vecteur de l'un avec un vecteur de l'autre est un tenseur de rang 2 à une dimension faisant partie d'un espace V :



il est de dimension 1 car la dimension de l'espace produit est le produit de la dimension des espaces. On voit bien d'ailleurs qu'il n'y a qu'une seule composante.

L tensoriel T^-1 est de dimension 2. Pour obtenir un espace de dimension 1, faut le réduire par une contrainte supprimant un degré de liberté. Par exemple (l tens t) equivaut à (l/k tens kt) pour tout réel non nul. V est alors l'espace quotient. J'ai l'impression qu'on sort alors du formalisme tensoriel.

il est de dimension 1, cf supra

À partir de là (y compris) j'ai du mal à suivre. Au sens où cela ne rentre pas dans ma tentative de compréhension exposée avant, tentative guidée par mes idées préconçues.

est-ce que mes précisions t'aident à mieux suivre la suite?

Sinon je reviens sur un truc :

1) Le produit tensoriel n'est pas commutatif, donc L par T^-1 n'est a priori pas la même chose que T^-1 par L. Il est cependant à noter que du point de vue des coordonnées, il ne s'agit que d'une multiplication entre réels, donc associative, donc il suffirait d'avoir un morphisme de L par T^-1 à T^-1 par L

D'après wiki, il y a bien un isomorphisme entre et et des problèmes ne se posent que pour car l'application bilinéaire de E x E vers n'est pas symétrique. Pour , vu qu'on ne peut pas confondre les éléments de E et de F, il n'y a pas d'ambiguité. Par exemple avec , E ayant une base e_i, il ne faut pas confondre avec , alors que pour , E ayant une base e_i et F une base f_i, aucune chance de confondre avec .
Cela règle du coup mon problème au message 43, on est libre d'intervertir m et e_i (vecteur de base de L de dimension 1 et de E de dimension 3) car ils ne sont pas du même espace et l'isomorphisme fonctionne.

m@ch3

[stefjm]

grrr en page 7 du dernier document ils font un truc que j'ai testé hier et que je n'ai pas continué parce que ça me semblait débiloïde écrire par exemple :

je n'ai pas encore lu la suite et je ne sais pas où ça va mener, mais j'ai la rage de pas avoir insister sur cette voie...
m@ch3

Encore là dessus, une très bonne remarque :

Exponentielle et log intervertissent la notion d'origine et d'unité.
Et cela crée des unités "de deuxième niveau", comme les radians ou les dB (0 radian <=> rotation identité, 0 dB <=> unité).

[azizovsky]

si j'ai compris un peu, il est possible d'utiliser une analyse multi-dimensionnelle au sein d'une seule équation : (m,kg,s,.....)=(m,kg,s,....) càd qu'on pose une quantité: Q=a(m)+b(kg)+c(s)+.....(comme pour les nombre 'hyper'complexes dans C ou H,..)

[mach3]

Pour moi, ça c'est déjà un non-sens complet. Faire le log d'une grandeur dimenssionnée revient à faire une somme de cette grandeur élevée à toutes les puissances entières, il suffit de voir le développement limité du bidule pour s'en persuader. Par contre le log de (T1/T2) par exemple n'est plus un non sens, puisque le développement limité de log(T1)-log(T2), via un peu de maths élémentaires revient à faire un développement limité de T1/T2.

pas certain du non sens, le truc est qu'il ne faut pas étendre des propriétés réservées à certaines entités à d'autres sans savoir si on a le droit de le faire. Le logarithme d'un réel peut se décomposer en développement polynomial, pourquoi est-ce possible? grâce à la structure de R et aux propriétés des fonctions réelles à valeurs réelles. Si une fonction est continue et dérivable infiniment, on peut construire un développement polynomial qui l'approche autant que l'on veut (c'est du résumé, il y a surement d'autres conditions que j'oublie). Que dire de ln(km) ? son argument n'EST PAS un réel, il ne fait pas parti a priori d'un ensemble continu sur lequel on peut définir des fonctions continues et dérivables, et donc, à moins qu'il n'en soit fait la preuve, on ne peut pas écrire un développement polynomial de ln(km). Sans la preuve qu'il est "légal" de faire cela, on ne peut pas dire qu'un développement polynomial de ln(km) est absurde vu qu'on ne peut peut-être même pas le faire. D'ailleurs, ne serait ce pas une preuve par l'absurde qu'on ne PEUT PAS écrire de développement polynomial de ln(km)?
Je vois bien le point qui est soulevé, mais doute des fondations.

m@ch3

[Amanuensis]

il est de dimension 1 car la dimension de l'espace produit est le produit de la dimension des espaces. On voit bien d'ailleurs qu'il n'y a qu'une seule composante.

OK, erreur mienne.

est-ce que mes précisions t'aident à mieux suivre la suite?

Elles m'aident à voir mon erreur, faut que je relise...