Potentiel electrostatique au centre d'un disque chargé non uniformément

[invited1125ed6]

Bonsoir a tous,
voici l'énoncé de mon probleme:
Un disque, de centre O et de rayon R, porte la charge surfacique sigma = A/((R^2-r^2)^1/2) où A est une constante et r la distance à O.
On demande de calculer le potentiel électrique V en O
Aide: pour le calcul de l'integral, on propose le changement de variable en definissant sin(alpha)=r/R
Seulement voila: le corrigé du probleme donne simplement la reponse sans les calculs intermediaire: V = A.Pi/(4e0) avec e0=epsillon0 permittivite du vide

Or d'après moi:
dV=dq/(4Pi.epsillon0.r) et dq=sigma.dS avec dS=r.dteta.dr jusque là je pense que ça va
ensuite on calcule l'integrale double sur le disque = integraleDouble (A/(4.Pi.e0.r)).(r.dteta.dr)/(R^2-r^2)^1/2
r se simplifie et l'integration par rapport a teta de 0 à 2Pi nous ramene a l'integrale simple sur r de 0 à R:
integrale simple de (A.dr)/(2e0.(R^2-r^2)^1/2)
effectuons le changement de variable r=Rsina alors a compris entre 0 et Pi/2 lorsque R varie entre 0 et R
dr=R.cosa.da
on obtient donc integrale simple de 0 a Pi/2 de A.Rcosa.da/(2e0.(R^2-R^2sin2(a))^1/2)
= (A/2e0).integralede0àPi/2de cosa.da/(1-sina)^1/2 dont la primitive est -2(1-sina)^1/2
pris entre 0 et Pi/2 cela donne A/e0
je ne trouve pas mon erreur...
est ce que quelqu'un peut m'aider... ?
merci d'avance !
Raphael
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je ne suis pas sur d’avoir bien compris ce que vous faites exactement. (Sans dessin et sans TeX pour les formules, c’est très pénible).
http://forums.futura-sciences.com/an...e-demploi.html

Mais il me semble que vous ne tenez pas bien compte de la distance entre le ‘dq’ et le point où vous évaluez le potentiel. Le centre du disque, la position de ‘dq’ et le point de mesure, forment un triangle scalène pour lequel Pythagore n’est pas applicable. Il faut utiliser le théorème du cosinus (=Pythagore généralisé ou Al-Kashi).
Au revoir.

[invite6dffde4c]

Re.
Oubliez ce que j’ai dit. J’ai oublié que vous calculiez le potentiel au centre du disque et non dans un point quelconque.
Désolé.
A+

[invite6dffde4c]

Re.
Vous avez oublié le carré du sinus, ce qui vous donne un cosinus au dénominateur qui se simplifie :
= (A/2e0).integralede0àPi/2de cosa.da/(1-sin²a)^1/2 dont la primitive est -2(1-sina)^1/2
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited1125ed6]

merci beaucoup. Désolé j'ai oublié le carré mais seulement dans le texte, la primitive est d'ailleurs correcte... du coup je ne trouve toujours pas l'erreur...
serait ce une erreur du bouquin ?
pour les formules, merci je regarderai l'application que vous m'avez indiqué, afin de l'utiliser dès la prochaine discussion (je suis aussi nouveau sur ce forum)

[invite6dffde4c]

Re.
Vous avez l’intégrale (sans les constantes) :
(dr)/(R^2-r^2)^1/2)

En faisant le emplacement :
R.cos(a).da/(R.sqrt(1 – sin²(a)) = R.cos(a)da/(R.cos(a) = da, entre 0 et pi/2
ce qui vous donne pi/2
A+

[invited1125ed6]

tout devient plus clair, j'ai oublié la simplification...
merci beaucoup !