Décomposition d'un état sur plusieurs observables ?

[Christian Arnaud]

Amis de la Quantique; bonsoir

On définit souvent machinalement un état comme :, les |> étant l'ensemble des vecteurs propres d'une observable, et les coefficients "a", les amplitudes complexes de probabilité de mesure correspondantes avec la relation de fermeture de ces probas ; Mais peut-on décomposer un état donné : suivant deux observables différentes ? i.e. écrire qu'on a à la fois :

(décomposition suivant la première observable)

et aussi :

(décomposition suivant la deuxième observable) ?

Merci
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[azizovsky]

Bonsoir ,il y'a par exemple la représentation ou , on sais que les deux observables ne commutent pas.

[Christian Arnaud]

Bonsoir ,il y'a par exemple la représentation ou , on sais que les deux observables ne commutent pas.

Bonsoir

Oui, mais ça ne réponds pas entièrement à ma question Je parle d'un état précis , pas de la fonction dépendante du temps ; je demande si on peut décomposer un vecteur d'état donné d'un espace de Hilbert utilisé en quantique sur deux bases complètes différentes, comme on le fait sur R^3, qui est je crois un espace de Hilbert particulier

Comme tu précises que les observables ne commutent pas, je suppose que ça a de l'importance

[Amanuensis]

Mais peut-on décomposer un état donné : suivant deux observables différentes ?

Oui, bien sûr. (Pas exactement sur une observable, mais sur une base constituée de vecteurs propres de l'observable, étant supposé qu'on peut former une base ainsi. [1])

C'est simplement un même vecteur décrit dans deux bases différentes. Ce qu'on apprend au lycée sur les espaces vectoriels s'applique pareillement.

[1] En toute généralité, on utilise plutôt des bases constituées de vecteurs propres communs à un ensemble d'observables qui commutent. Mais cela ne change pas le fond de la question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Christian Arnaud]

Oui, bien sûr. (Pas exactement sur une observable, mais sur une base constituée de vecteurs propres de l'observable, étant supposé qu'on peut former une base ainsi. [1])

C'est simplement un même vecteur décrit dans deux bases différentes. Ce qu'on apprend au lycée sur les espaces vectoriels s'applique pareillement.

[1] En toute généralité, on utilise plutôt des bases constituées de vecteurs propres communs à un ensemble d'observables qui commutent. Mais cela ne change pas le fond de la question.

Bonjour

Alors, dans ce cas,plusieurs questions viennent immédiatement concernant

- les dimensions : les différentes observables ont elles le même nombre de vecteurs propres ? et le spin avec ses bases à 2 vecteurs propres est-il inclus là- dedans ?
- les changements de base : on doit pouvoir passer de la représentation sur une base à la représentation sur une autre base par une application de changement de base (dans mon souvenir c'étaient des matrices de rotation)

je suppose aussi que ce que vous indiquez par vecteurs propres communs est ce qu'on appelle les ECOC ?

[Amanuensis]

(...)

La plupart des questions ont leur réponse dans l'algèbre linéaire élémentaire. Sinon, voir la théorie spectrale.

- les dimensions : les différentes observables ont elles le même nombre de vecteurs propres ?

Déjà faudrait savoir comment on compte les vecteurs propres! Même dans le cas R^n, n fini, le décompte est souvent infini (dès qu'il y a une valeur propre avec un espace propre de dimension >1.)

et le spin avec ses bases à 2 vecteurs propres est-il inclus là- dedans ?

Oui, quand on étudie un système où le spin intervient. (Réponse tautologique, je ne dois pas bien comprendre la question.)

- les changements de base : on doit pouvoir passer de la représentation sur une base à la représentation sur une autre base par une application de changement de base

Oui.

(dans mon souvenir c'étaient des matrices de rotation)

En dimension finie et pour un espace vectoriel euclidien.

Sans métrique on ne parlera usuellement pas de rotation.

Et en dimension infinie on parle rarement de matrice.

je suppose aussi que ce que vous indiquez par vecteurs propres communs est ce qu'on appelle les ECOC ?

ECOC réfère à un ensemble d'observables qui commutent. Du fait qu'elles commutent on peut choisir des vecteurs propres communs.

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Pour la question initiale, il faut distinguer le cas d'une base unique composée de vecteurs propres communs à plusieurs observables qui commutent, et le cas de deux bases différentes, chacune correspondant à deux jeux d'observables différents (dont au moins une paire ne commutant pas d'une observable dans l'un et d'une observable dans l'autre).

Dans le premier cas, la décomposition peut être la même pour deux observables de l'ensemble!

Peut-être un point méritant d'être précisé:

les |> étant l'ensemble des vecteurs propres d'une observable

C'est en toute généralité un ensemble de vecteurs propres formant une base. (Car l'ensemble des vecteurs propres peut être "redondant"--e.g., notion d'état dégénéré pour l'observable énergie ; il l'est dès qu'au moins une valeur propre admet un espace propre de dimension >1.)

[Christian Arnaud]

La plupart des questions ont leur réponse dans l'algèbre linéaire élémentaire. Sinon, voir la théorie spectrale.

Ok, je vais regarder la théorie spectrale avant de répondre

Merci

[Christian Arnaud]

Sinon, voir la théorie spectrale.

Désolé si je ne suis pas très bavard , je suis fasciné par cette théorie spectrale , mais c'est un peu costaud pour moi et ça me prend du temps

En tout cas, merci pour la piste Deedee avait parlé de spectres à un moment donné, mais je n'avais pas tilté

@+

[Christian Arnaud]

Dans cette découverte de la théorie spectrale, en recherche intermédiaire je tombe sur les incontournables A.Connes et Von Neumann dont voici un extrait wiki, qui m'interpelle :

"Von Neumann, en 1926, s'attaque à l'axiomatisation de la mécanique quantique et réalise rapidement qu'un système quantique peut être considéré comme un point dans un espace de Hilbert analogue de dimension 6N (où N est le nombre de particules, trois coordonnées spatiales et trois coordonnées canoniques). Les quantités physiques traditionnelles (position et énergie) peuvent être remplacées par des opérateurs linéaires dans ces espaces.

La physique quantique est désormais réductible aux mathématiques des opérateurs hermitiens linéaires dans un espace de Hilbert. Par exemple, le fameux principe d'incertitude de Heisenberg selon lequel on ne peut déterminer à la fois la position et la vitesse d'une particule équivaut à la non-commutativité des deux opérateurs correspondants."

Est-ce que cet espace n'est pas ce qu'on appelle communément l'espace des phases ?

Merci