Au secours théorème de Gauss
Bonsoir à tous je n'arrive vraiment pas à appliquer ce théorème: comment savoir quelle surface fermée choisir, quand les champs aux deux extrémités s'annulent, etc. S'il vous plaît aidez-moi: est-ce que l'on peut résoudre de façon méthodique ces exercices sans faire appel à l'intuition?
Merci d'avance pour tout éclaircissement.
http://mfile.akamai.com/7870/rm/mits...2-lec3-220k.rm
Je te conseil de visionner ça, ça peut surment t'aider.
Si tu veux bien utiliser le théorème de Gauss, il te faudra quand même réfléchir un peu avant de savoir si c'est possible. Mais une fois que tu as l'habitude c'est facile.
Commence par faire des exemples simples: fil infini, plan infini,...
Et après regarde des cas où le théorème de Gauss ne s'applique pas (plan fini par exemple), et essaye de comprendre pourquoi il ne s'applique pas (en général pasqu'on ne peut pas trouver de surface de Gauss qui nous simplifie l'affaire).
Tu verras par ailleurs que c'est beaucoup plus simple avec le théorème de Gauss qu'en intégrant.
En gros, le théorème de Gauss te donne une équation scalaire pour le champ électrique. Vu que ce dernier est un vecteur, t'en a besoin de 3 pour le déterminer totalement. Cependant, grâce à l'étude des symétries, tu peux très souvent déterminer à l'avance la direction du champ, et donc il ne te manque plus qu'une équation (pour déterminer sa norme): le théorème de Gauss.
Donc quand tu es dans un problème avec suffisament de symétries pour déterminer la direction (typiquement les distributions infinies), utilises Gauss directement. En plus, pour les distributions infinies, tu peux avoir des problèmes de convergence d'intégrale (car tu integre sur un intervalle infini), et donc la méthode par intégration peut foirer...
Au début ca sera un peu difficile, mais avec un peu d'entrainement, tu retrouve en 30s (sans exagérer) les champs créés par les distributions classiques (plan infini, fil infini, etc...)
Ha et pour le choix de la surface, c'est vrai que c'est assez intuitif en général. Mais pour vu que tu dois calculer un flux (produit scalaire), c'est facile si le champ est normal à la surface et constant, ou si le champ est colinéaire.
Eric
Re : Au secours théorème de Gauss
bonjour
Le théorème de Gauss établit une égalité entre la somme des charges intérieures à une surface donnée divisée par epsilonzéro et l'intégrale du produit scalaire de E par un élément de surface dS. Si on veut l'utiliser pour calculer E, il faut choisir un contour qui remplisse les conditions suivantes:
Ce contour devra comporter une ou plusieurs partie telles que:
- Sur chacune de ces parties il faut que la valeur de E reste constante.
- Sur chacune de ces parties il faut que le produit scalaire reste constant,ce qui veut dire que l'angle entre E et dS devra être zero,pi ou pi/2
En fait les seules problèmes ou on peut l'utiliser sont:
- Fil infini ou cylindre infini uniformément chargés ( charge linéique, surfacique ou volumique); dans ce cas on prend comme surface de Gauss un cylindre concentrique de rayon r. Sur ces surfaces inférieure et supérieure le produit scalaire est nul car E et dS sont perpendiculaire; sur la surface latérale E est constant et radial, l'intégrale vaudra donc E multiplié par cette surface latérale c'est à dire 2.pi.r
- Pour une sphère de rayon R uniformément chargée (charge surfacique ou volumique); on prendra comme contour de Gauss un sphère concentrique de rayon r. Le champ E,y sera constant et l'angle entre E et dS vaut zéro. On trouvera alors E.4.pi.r.r
- Plan infini: on prendra pour simplifier comme surface de Gauss un cylindre de rayon r dont les génératrices soient perpendiculaires au plan. sur la surface latérale le produit scalaire est nul( E et dS sont perpendiculaires), sur les surfaces inférieure et supérieure l'angle entre E et dS vaut zéro et le produit scalaire vaut E multiplié par la somme de ces deux surfaces qui sont égales: on trouve 2.E.PI.r.r
On peut aussi l'utiliser pour touver le champ au voisinage d'un conducteur ( il est nul d'un coté mais pas de l'autre car E est nul à l'intérieur); dans ce cas même contour de Gauss que pour le plan infini, mais les surfaces inférieure et supérieure du contour doivent être de part et d'autre du conducteur
Même chose entre les deux plaques d'un condensateur plan
Pour un condensateur cylindrique on pourra reprendre le raisonnement avec le cylindre ou le fil infini uniformément chargés.
Voila je n'ai pas fait le calcul à chaque fois pour la somme des charges intérieures mais ça c'est quand même simple
J'espère que ça te sera utile
A bientot
Ce qui doit guider le choix de ta surface de Gauss est la considération suivante : on souhaite identifier le champ électrique, or Gauss ne nous donne que son flux à travers une surface à définir. Il faut donc pouvoir sortir E de l'intégrale du surface puisque, ne le connaissant pas (c'est justement lui qu'on cherche), on ne peut pas l'intégrer.
Pour le sortir, une marche d'approche est nécessaire :
*Au niveau des variables d'espace dont il dépend. Tu peux retenir la propriété suivante : si la distribution de charge à l'origine de champ est invariante suivant une certaine coordonnée, alors le champ généré l'est également.
*Au niveau de l'orientation. Autre propriété fondamentale : en tout point d'un plan de symétrie de la distribution, le champ est inclus dans ce plan (il n'a pas de composante perpendiculaire à ce plan).
A partir de là, le choix de la surface de Gauss est dicté par deux choses :
*un produit scalaire simple entre le champ E et le vecteur surface élémentaire dS (colinéarité ou au contraire orthogonalité), indique les directions intéressantes pour dS, et fournit donc une première indication sur la surface à choisir.
*une surface élémentaire dont les éléments différentiels ne portent pas sur des coordonnées dont dépendrait le champ E (condition sinequa non pour pouvoir libérer E de sa prison intégrale).
Remarque cependant : cette dernière contrainte n'est plus un souci si E est perpenduiculaire à dS, comme par exemple sur les surfaces inférieure et supérieure du cylindre à prendre pour un fil infini, où dS = r.dr.dtheta, alors que E ne dépend que de r, mais est radial, tandis que dS est orienté suivant l'axe z du fil.
Bon courage.
bonjour je me permet de reprendre ce sujet car j'ai moi aussi quelques difficultés a choisir une surface de Gauss alors moi mon probleme c'est le suivant
par exemple si on a un fil infini pourquoi doit on choisir une suface de gauss tel que l'axe de revolution du cylindre soit colinéaire avec le fil pourquoi ne choisissons pas un cylindre dont l'axe de revolution soit perpendiculaire au fil?
