Petite précision sur les formes des solutions de l'équation de D'Alembert

[mrt44]

Bonsoir,

J'essaye actuellement de comprendre comment on détermine les formes des solutions générales de l'équation de d'Alembert d²s/dx² = 1/c² * d²s/dt² (E).

On fait un changement de variable en posant u = x - ct et v = x + ct, on montre que si s(u,v) vérifie (E) alors s(u,v) = f(u) +g(u), f et g quelconques, jusque là tout va bien.
Le problème vient ensuite : il est dit qu'alors les solutions sont de la forme s(x,t) = f(u)+g(v) = f(x-ct) + g(x+ct).

Qu'est-ce qui permet d'affirmer cela étant donné que lorsqu'on fait un changement de variable à la fin il faut peut-être se ramener aux variables d'origines.
Pour moi s(u,v) = f(u) +g(u) implique s(x-ct,x+ct) = f(x-ct) +g(x+ct) ie s(x,t) = f(x) + g(t).

Je ne comprends pas cette transition et m'arrache les cheveux là-dessus depuis bien 40 min!

Est-ce que quelqu'un aurait une explication mathématique rigoureuse là-dessus ?

Merci de m'éclairer.
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[obi76]

Bonsoir,

Pour moi s(u,v) = f(u) +g(u) implique s(x-ct,x+ct) = f(x-ct) +g(x+ct) ie s(x,t) = f(x) + g(t).

Hmmm, dimensionnelement parlant il y a quelque chose qui cloche là. f(u) et g(v) ont la meme dimension, donc f(x) et g(t) non : on ne peut pas les ajouter en l'état... Je ne vois pas trop comment vous franchissez la seconde étape là.

[mrt44]

Regardez début de page 2 en haut à droite, c'est là qu'ils passent de s(u,v) = f(u)+g(v) à s(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) c'est ette étape que je ne comprend pas.

https://users.lal.in2p3.fr/puzo/em/Poly_3.pdf

[obi76]

Je pense que l'incompréhension vient du fait que les fonctions f et g sont supposées etre les memes après le changement de variables alors que pour moi non (au moins à cause de cette histoire de dimensions) . Regardez ici : http://alainrobichon.free.fr/cours/M..._des_ondes.pdf. Avant le changement elles sont notées f1 et f2, et ce n'est pas pour rien

[A voir en vidéo sur Futura]

[mrt44]

Oui d'accord mais je comprend toujours pas ce qui permet de dire que s(u,v) = f(u) + g(v) implique s(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)

pour moi on a seulement s(x-ct,x+ct) = f(x-ct)+g(x+ct)

(u = x-ct et v = x+ct par hypothese)

[obi76]

Je vous répète : si on a s(u,v) = f(u) + g(v), on ne peut pas dire que s(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct). C'est dimensionnelement FAUX. Ce ne sont pas les memes fonctions : si on a s(u,v) = f(u) + g(v), ALORS ça implique que s(x,t) = h(x-ct) + i(x+ct), avec h et i définis comme dans le PDF que je vous ai donné.

[mrt44]

D'accord j'admet cela, mais mon incompréhension est toujours là. Pourquoi s(u,v) = f(u) + g(v) implique que s(x,t) = h(x-ct) + i(x+ct). Là est mon problème.
u = x-ct et non égal à x alors pourquoi dans s on remplace formellement u,v par x,t ?
Merci

[obi76]

Avez-vous regardé le PDF que je vous ai donné, la démo (correcte) y est.

[mrt44]

Oui je l'ai lu et comprise jusqu'à l'étape en bas de page une. La démonstration raisonne sur deux variables u et v, puis à la fin on parle de x et t. Pourquoi ? Si on a changé x et t au début en u et v, il faut bien revenir à x et t à la fin; et u=x-ct, or ici on les remplace formellement puisque qu'on passe de s(u,v) à s(x,t), s(u,v) = s(x-ct,x+ct) c'est tout.

[obi76]

Parce que si f et g sont une solution de (E), alors toute combinaison linéaire de ces deux fonctions est aussi solution. On choisit deux fonctions f1 et f2 avec le théorème de Schwartz pour trouver une solution... (j'ai peur d'avoir dit une connerie, je suis rouillé et fatigué...) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...8me_de_Schwarz

[mrt44]

Bon c'est toujours pas clair dans mon esprit, si quelqu'un a une démonstration mathématique qui explique le cheminement du changement de (x,t) en (u,v) puis à la fin de (u,v) on revient à (x,t), je suis preneur.

Pour l'instant je l'admet comme ça : on fait un changement de variable, et on montre que toute solution s de (E) s'écrit sous la forme f(u) + g(v). Bien que le changement final de (u,v) en (x,t) soit passé sous silence. C'est pourtant clair au début on pose u = x - ct alors pourquoi remplace-t-on formellement u par x et v par t à la fin, puisque ces variables ne sont pas égales!

Merci

[Murmure-du-vent]

Ma question est sans doute un peu hors sujet.
L'équation de Klein Gordon est proche de celle avec Dalembertien.
Y a t il des propriétés spéciales de leurs solutions. En particulier y en a t il à support borné. Je pense ainsi à des 4 fonctions d'onde
nulles en dehors d'une certaine 4 sphere.

[azizovsky]

Bonjour, dans le pdf, il manque quelque chose à la fin de la démonstration : , mais en réalité, il manque la constante d'intégration , la constante de l'intégration peut dépendre de , ce qui donne ,.

[azizovsky]

tu'as , le changement de variable donne , ce qui mène à la solution mentionné ci-dessus, et tu reviens au anciens variables .

[Murmure-du-vent]

Existe t il des solutions non nulles de avec
pour tout point de l'espace temps tel que ?

[mrt44]

D'accord là est la question une fois que l'on a s(u,v) = G1(u) + G2(v) comment reviens t on a x et t ?

[Murmure-du-vent]

Prends S(x,t) = G1(x+ct) + G2(x-ct) et calcule son Dalembertien tu trouve zéro qqsoit G1 et G2.
Et pour ma question?

[azizovsky]

Bonsoir, je crois que ceci te donne une idée de la complexité du 4-sphère.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sph%C3...sions_de_Gluck.

[Murmure-du-vent]

Je pense à un truc pour ma question
SI ca marche pour G1+G2 qqconque alors ca va pour G1 - G2.
Si G1 et G2 sont nuls en dehors de [-0.1 +0.1] alors G1(x+ct) - G2(x-ct) vérifie l équation et est nul en dehors de la sphere unité.

[azizovsky]

déjà avec la 3-sphère et la fibration de Hopf c'est du lourd .
https://www.youtube.com/watch?v=aZ9KY6F2dMs
https://www.youtube.com/watch?v=F-9mpqAsg9E

[Murmure-du-vent]

J'ai du mal m'exprimer en parlant de 4 sphere unitaire. Je veux en fait parler tout simplement des points de l'espace temps de Minkowski
tels que x^2 + y^2 + z^2 + t^2 <= 1
une solution de l'équation de Dalembert nulle en dehors de cet ensemble de points ùe semble bizarre physiquement.
Une particule scalaire de masse nulle a une equation d'onde qui obeit à une telle équation. Cependant si à un temps donné elle peut etre nulle en dehors d'un domaine fix" (probabilité de presence nulle) je ne vois pas à quoi correspond une telle solution nulle pour t < -1 ou > 1.
Merci en tout cas pour la vidéo, je vais la regarder.

[Murmure-du-vent]

J'ai regardé ces deux tres belles vidéos. Elles sont réussies sur le plan didactique et graphiquement tres réussies. Bon je vais me coucher.

[azizovsky]

Bonjour, si c'est x²+y²+z²-t²<=1, géométriquement, c'est simple a interprété, dans un triangle rectangle on 'a s²+l²=r² avec r²=x²+y²+z² et l=t , ce qui donne r²-t²=s², pour ton équation c'est tous les triangles rectangles où s<=1, la 'métrique' de Minkowski n'est que permutation des membre de la relation de Pythagore...

[azizovsky]

le dernier terme s² est un terme qui apparaît dans les équations de la RR quand on change le repère espace sans changer le repère temps, et r²-t²=s² est l'équation caractéristique de la surface d'une onde 'décalée' dans le temps.

ps : il y'a des termes que je ne peux pas expliciter, si non le tapis va être tirer sous les pieds des grands ...

[Murmure-du-vent]

Que c'est dur de faire comprendre ce qu'on ne comprend pas!
Je reprends:
Prenons une particule de masse nulle et de spin 0 décrite par H = P^2. dans l'espace de Minkowski.
En MQ elle est décrite par une fonction d'onde découlant de H et qui est l'équation de D'alembert.
Une solution est G1(r+t) + G2(r-t) où r est la distance à l'origine t le temps G1 et G2 deux fonctions indéfiniments dérivables nulles ainsi que ses dérivées sur la frontiere r = 1 et sur r > 1. il en est de meme pour G1+ G2 qui verifie l'équation d'onde pour la particule et qui est nulle en dehors de la 4boule unité.
Dans mon exemple pour t = 1 la fonction d'onde n'est possiblement non nulle qu'en r = 0 et pour les temps posterieurs elle est nnulle partout.
Il y a donc soit une erreur de ma part qqpart ou l'utilisation implicite d'une donnée erronée.

[azizovsky]

Pour que l'onde reste localiser entre -1 et 1, il doit être réfléchie totalement entre ses bornes,(un potentiel comme réflecteur), l'onde n'est pas libre.(la solution doit tenir compte de ses conditions)

[azizovsky]

j'ai oublié le sujet de la discussion : la question du changement de variables,

on 'a (*) avec pour ne pas alourdir les équations:

avec le changement de variables

on passe aux nouvelles variables :









on remplace dans (*) on trouve la même équation pour à condition que :

et ....et parmi ses condition, il y'a

qui vérifie (*).....(c'est lourd avec latex)

[Murmure-du-vent]

Pour que l'onde reste localiser entre -1 et 1, il doit être réfléchie totalement entre ses bornes,(un potentiel comme réflecteur), l'onde n'est pas libre.(la solution doit tenir compte de ses conditions)

Pas de pb en ce qui concerne la partie spatiale de la solution de l'équation. Mon seul probleme est sa partie temporelle.
elle est confinée entre t=-1 et t = 1. C'est çà la bizarrerie à expliquer.

[azizovsky]

pour terminer avec

(*) est une équation hyperbolique .

[azizovsky]

on simplifie ce qui donne , la condition est une condition qu'on a imposé ou qu'il est imposé par le potentiel du problème.(conditions initiales qui détermine la solution a choisir pour les équation différentiels partiels, géométriquement c'est choisir une courbe ou caractéristique sur une variété...... )