[exo] Mouvement d'un point matériel sur un plan incliné

[invitebce8a4b6]

Bonjour à tous,

La semaine dernière ma chargée de TD nous a posés un exo que je trouve plutôt corsé, et où je suis au point mort depuis un petit moment.
Le sujet :

Un mobile auto-porteur de masse m est lancé vers le haut, suivant la ligne de plus grande pente d'un plan, incliné d'un angle alpha par rapport à l'horizontale. Il est animé d'une vitesse initiale V0.
1. On néglige les frottements. Déterminer l'expression du temps t1 mis par le mobile pour atteindre la distance maximale vers le haut. Exprimer t1 en fonction de ||V0|| et de l'accélération de la pesanteur et de alpha.
2. En déduire la distance maximale vers le haut atteinte par le mobile.

Je ne pose pas la suite des questions, vu que je suis bloqué dès le début

Ma démarche : j'ai tout d'abord posé ce que je savais, à savoir les coordonnées de V0 et des forces présentes (le poids P et la force de réaction normale du support RN) en projetant les vecteurs sur les axes Ox et Oy.
Je me retrouve avec V0 {V0x : ||V0|| cos alpha ; V0y : ||V0|| sin alpha}, P {Px : 0 ; Py : -mg}, RN {RNx : - ||RN|| sin alpha ; RNy : ||RN|| cos alpha}
De là je peux trouver l'accélération de mon mobile : a {ax : - ||RN|| sin alpha ; ay : ||RN|| cos alpha -mg}
Par intégration je remonte à la vitesse en faisant attention d'ajouter les constantes (ici V0).

Je peux (ou pas...) maintenant répondre à la question : je pars du principe que la distance maximale vers le haut est atteinte quand la vitesse devient nulle.
Je trouve donc t1 = (- ||V0|| cos alpha) / (||RN| cos alpha - mg)

Cette première réponse me gêne déjà pour plusieurs réponses : la présence de ma masse m dans la valeur de t1 (que l'on ne me demandait pas dans la question 1), mais je pars du principe que la question est mal posée, car je vois difficilement comment on peut donner la valeur de t1 en fonction de l'accélération de la pesanteur sans parler de la masse.
Mais le deuxième problème est la présence de RN : cela m'embête beaucoup car il n'a je pense rien à faire là : d'abord parce qu'on ne me le demande pas dans l'énoncé (c'est déjà plutôt un signe ) et aussi parce que je devrai me le traîner pour les questions suivantes, ce qui me donnera une équation à rallonge "indigeste" pour la question 2.

La solution serait à mon avis d'exprimer RN en fonction de P, mais je tourne en rond depuis un moment et n'ai aucune idée pour sortir de là... J'ai voulu le faire en utilisant le PFD mais sans succès.
Suffit-il de dire que RN est égal à P cos alpha ? Si c'est le cas je me perds dans les projections ensuite...

Aidez moi!! Merci d'avance!
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[phys4]

Bonjour,
Vous n'avez pas exprimé le fait que les frottements sont négligeables, ce qui vous donnerait RN en fonction de mg et alpha.

Je pense que le choix des coordonnées est très mauvais pour ce problème : il vaudrait mieux prendre Ox parallèle au plan incliné et Oy perpendiculaire, il suffit alors de décomposer le poids suivant les axes, RN est dirigé suivant Oy avec l'hypothèse donnée.
Au revoir.

[invitef29758b5]

Salut

t1 = (- ||V0|| cos alpha) / (||RN| cos alpha - mg)
Cette première réponse me gêne

Obtenir un temps en divisant une vitesse par une force , c' est effectivement gênant sur les bords

La solution serait à mon avis d'exprimer RN en fonction de P

Bonne idée .
Commence par déterminer l' accélération dans le sens perpendiculaire au plan .
Conséquence pour les forces ?

[invitebce8a4b6]

Merci à vous deux pour vos réponses

J'ai refait mes projections avec le nouveau repère, ça donne des résultats beaucoup plus propres effectivement :
V0 {V0x : ||V0|| ; V0y : 0}, P {Px : -mg cos (90 - alpha) ; Py : -mg sin (90 - alpha)}, RN {RNx : 0 ; RNy : ||RN||}

Mais je bloque à nouveau sur mon résultat de t1, je vous détaille mes calculs, il doit y avoir une erreur.

On a donc a {x''(t) = -mg cos (90 - alpha) ; y''(t) = -mg sin (90 - alpha) + ||RN||} et par intégration v {x'(t) = -mg cos (90 - alpha)t + ||V0|| ; y'(t) = (-mg sin (90 - alpha) + ||RN||)t
Je ne calcule pas la position pour l'instant.

Pour trouver t1 (temps mis pour atteindre la vitesse maximale vers le haut), j'annule mon équation x'(t), et première bonne nouvelle je perds ce ||RN|| (merci bien de vos conseils )
Mais... L'analyse dimensionnelle bugge à nouveau : je me retrouve avec un temps en s/kg
Mon calcul : -mg cos (90 - alpha)t + ||V0|| = 0 => mg cos (90 - alpha)t = ||V0|| => t = ||V0|| / mg cos (90 - alpha)

C'est faux, mais pourquoi, raaah?
Je suppose que je devrai finalement annuler y'(t) plutôt que x'(t) et me débarrasser de ||RN|| en l'exprimant en fonction de P comme vous me l'avez dit tous les deux mais je ne vois pas comment faire!

Edit : je viens d'avoir une idée en tapant mon message mais ça me parait très tiré par les cheveux :
Selon le PFD, F = ma ou a = 1/m F
Alors a {x''(t) = - mg cos (90 - alpha) / m = -g cos (90 - alpha) ; y''(t) = ...} et par intégration x'(t) = -g cos (90 - alpha)t + ||V0||. Ainsi on a t1 = ||V0|| / g cos (90 - alpha), ce qui nous donne des... secondes, yes!
Alors, ça passe ou ça casse?

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Bonsoir,

C'était une bonne idée, en effet m disparait en écrivant l'accélération et l'expression finale de t1 est correcte.
Mais il est possible de faire plus propre :
cos (90 - alpha) = sin (alpha)
sin (90 - alpha) = cos (alpha) cela fera un peu moins lourd.

Ensuite il faut poser de suite y" = 0 puisque le mobile reste sur la planche, ce qui donne RN en l'éliminant. Pas la peine de calculer un y'

[invitec9c0a685]

Bonjour,
quand on place son regard à la fois perpendiculaire au vecteur vitesse et à la réaction du plan...
il apparaît une première égalité...
m * g * sin(alfa)= m * Gamma
d'où l'on tire
Gamma=g * sin(alfa)
Le mouvement est uniformément accéléré (ici décéléré)
donc V0= Gamma * t1
directement, on obtient t1 en fonction de V0, g et alfa
ensuite
dans l'équation
du mouvement sur la pente uniformément retardé
on à
x=-1/2 * g * sin(alfa) * t1*t1 +V0 *t1
et on remplace t1 par sa valeur
Enfin il suffit de voir que H/x= sin(alfa) relation trigonométrique de base sur un plan incliné
et on redécouvre la relation H= (VO*VO)/(2*g)
Qui est le théorème de la conservation de l'énergie
Cordialement

[invitef29758b5]

Salut

L' art de se compliquer la vie :

{x''(t) = -mg cos (90 - alpha) ; y''(t) = -mg sin (90 - alpha) + ||RN||}

Ou pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué

||RN|| tu l' appelles R
alpha , tu l' appelles a (ou θ)
Déjà , ça devient plus sympa :
{x''(t) = -mg cos (90 - a) ; y''(t) = -mg sin (90 - a) + R }
Et comme tu as fait un peu de trigo , tu sais que :
_sin(90°-a) = ****
_cos(90°-a) = ****

Plus c' est compliqué plus tu as des chances de t' emmêler les crayons .

[invitebce8a4b6]

J'ai noté tout ce que vous m'avez dit, j'ai rendu mon travail, on verra ce que dira le correcteur, merci en tout cas!
Je reviendrai peut-être si je ne comprends pas quelques corrections

[phys4]

L'une des difficultés initiales était le choix des axes, il y a plusieurs critères.

Si le mouvement est rectiligne alors il faut prendre cette direction comma axe afin qu'il ne reste qu'une seule équation du mouvement, seules les forces suivant cet axe interviennent dans le mouvement.

Dans les autres cas, il faut choisir les axes pour avoir la décomposition des forces la plus simple possible.