Matrice densité et interference

[invitec998f71d]

Bonjour,
Je me pose cette question
J'ai une source de qubits qui fournit des particules représentées par une matrice densité
Dans un premier temps je me limiterai au cas ou elle correspond au centre de la sphere de Bloch.
on peut la prendre (je ne normalise pas) egale à [0><0| + |1><1| par rapport à l'axe des z, mais par rapport à l'axe des x ce serait la meme matrice.
Maintenant j'ai une autre source qui me fournit des qubits dans un etat pur V. ces deux jets interferent (fusionnent).
Le résultat est forcément décrit par une matrice densité, mais laquelle?
Est ce |V+0><0+V| + |V+1><1+V| ? c'est toujours indépendent du chois des axes pour 0 et 1?
Et c est ou dans la sphere de Bloch?
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[invitec998f71d]

En fait je me suis mal exprimé. Ce qui m'intéresse ce n'est pas l'interference de deux qubits,
mais l'interference d'un qubit avec lui meme.
Supposons qu'un qubit décrit par la matrice densité Id/2 entre dans un interferometre.
il y a une chance sur deux de passer dans le bras gauche toujours avec cette meme matrice densité inchangée.
En revanche par le bras droit le qubit se voit transformé en état pur de spin up dans la direction z.
les deux bras de longueur egales se rejoignent. A leur intersection les deux interferent.
Quelle est la matrice densité de ce qui en ressort?

[invitec998f71d]

Je viens de penser à une autre façon de présenter les choses:
En MQ si une particule peut etre sous deux etats possibles elle peut etre egalement dans la superposition de ves etats.
Bref le centre et le pole nord de la sphere de Bloch correspondent à deux tels etats.
Quel est la matrice densité correspondant à la superposition?
Pour des etats purs on prend la somme dans l'espace de Hilbert, mais je ne connais pas la regle pour des melanges.

[invitec998f71d]

Jusqu'à present, je considérais que les matrices densité, les POVM etc c'était une généralisation intéressante
de ce qu'on pouvait faire plus simplement en ajoutant des amplitudes avec les vecteurs de Hilbert. Il y avait l'avantage de pouvoir traiter lesmelanges statistiques, mais d'un autre coté comme on traite directement des probabilités avec celles ci je me disais qu'il y avait un vice caché:
l'absence des amplitudes empeche de traiter les interferences! en effet quand on a deux ondes qui interferent on ajjoute leur amplitudes, on eleve au carré et on a les probabilités. Si on nous donne directement des probabilités comme avec un trou de Young ouvert et l'autre bouché difficile de traiter des interférences.
Autre probleme.
Prenons un spin mesuré selon l'axe des z. il peut etre 0> ou 1> dans cette base un etat up s'écrit (1,0) et le down (0,1)
en les ajoutant on obtient (1,1) qui est un etat propre pour l'état de spin mesuré le long de x.
Avec des matrices densité on va décrire ces atats par les matrices
1 0
0 0
et
0 0
0 1
alors que l'état spin selon x sera
1 1
1 1
Ces deux premieres matricessont diagonales, on peut les ajouter, les mutiplier meme tensoriellementon n'obtient pas de termes non diagonaux.

Regardez ce lien
Man'ko utilise une astuce géniale. prenez deux matrices densité |v1><v1|et |v2><v2| si vous les mutipliez vous obrenez 0 dans le cas ou v1 et v2 sont orthogonaux. Il va utiliser un vecteur quelconque non nul v0. et former le produit |v1><v1|v0><v0|v2><v2| qui est égal à
<v1|v0><v0|v2> |v1><v2|et il divise ceci par la norme du nombre complexe <v1|v0><v0|v2>
il obtient ainsi un terme non diagonal <v1|v2> mutiplié par un nombre qui ne dépend pas de v0 mais uniquement de la phase de v1 et v2.
Ajouter ensuite le conjugué hermitique et on a la matrice selon l'axe des x.

[A voir en vidéo sur Futura]