Origine de l'expression de l'énergie cinétique

[invitee6353f29]

Bonsoir à tous,

Mes recherches ayant été infructueuses, même sur le forum, je m'adresse à la communauté FS.
Je ne comprends pas vraiment d'où vient le fait que l'énergie cinétique d'un solide est "définie" au centre de masse, particulièrement en ce qui concerne le terme lié à la rotation et qui emploie la matrice d'inertie calculée au centre de gravité.
Je comprends bien pourquoi on calcule l'énergie cinétique de translation avec la vitesse du centre de masse par contre.

Dans toutes les démonstrations que j'ai pu trouver, le mouvement du solide est décomposé en un mouvement du centre de masse dans le référentiel d'étude et d'un mouvement de rotation autour d'un axe dans le référentiel du centre de masse et où la vitesse des "particules du solide" est exprimée comme , à partir de là on retrouve la formule bien connue , où est la vitesse de rotation, la position de la particule i dans le référentiel barycentrique, la masse totale du solide et le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation avec comme origine le centre de masse.
Je précise que je me place dans le plan normal à l'axe de rotation.
Or il me semble que l'axe de rotation ne passe pas nécessairement par le centre de gravité. Donc ne serait-ce pas une simplification et l'énergie cinétique ne serait-elle pas plus compliquée ?

Si je prend, comme j'ai pu le voir, l'exemple d'une voiture qui tourne autour d'un rond-point dans un mouvement circulaire, il y a translation et rotation du véhicule sur lui-même.
Mais cette rotation s'effectue plutôt vers le train arrière qu'au centre de gravité non ?

Merci par avance pour vos messages et bonne soirée !
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[phys4]

Or il me semble que l'axe de rotation ne passe pas nécessairement par le centre de gravité. Donc ne serait-ce pas une simplification et l'énergie cinétique ne serait-elle pas plus compliquée ?

Bonsoir,
Une translation et une rotation peuvent toujours être remplacées par une autre translation différente et une rotation autour d'un autre axe. A chaque fois vous trouverez une énergie cinétique identique, c'est donc bien une simplification car le calcul est plus simple si vous utilisez un axe passant par le centre de gravité.
A titre d'exercice vous pouvez faire le calcul général pour un ensemble de masses ponctuelles.

[invitef29758b5]

Salut

Mais cette rotation s'effectue plutôt vers le train arrière qu'au centre de gravité non ?

Non , l' axe de rotation est au centre du rond point .

[invitee6353f29]

Bonjour,

Tout d'abord merci pour vos réponses.

phys4: Je suis d'accord concernant le fait qu'on puisse remplacer une translation et une rotation par une autre translation et une autre rotation. Mais ce qui me gêne dans cette expression de l'énergie cinétique, car j'ai bien fait l'exercice avec plusieurs masses ponctuelles, c'est que du coup on considère que les particules ont un mouvement de rotation pure autour du centre de gravité, ce qui n'est pas forcément le cas.

Dynamix: Dans le référentiel lié au rond-point, je suis d'accord qu'on a une rotation pure du véhicule autour du centre du rond point. Mais là il s'agit de décomposer le mouvement en un mouvement du centre de gravité et un mouvement du véhicule autour du centre de gravité. Or pour moi dans ce référentiel lié au centre de gravité, le véhicule n'a pas un mouvement de rotation pure autour du centre de gravité non ? Puisque l'axe de rotation "dans le référentiel du véhicule" n'est pas au centre de gravité.

Bonne journée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3498e9a5]

Bonjour,

Sauf qu'à trop simplifier, on fait des calculs faux.
Vous ne pouvez pas vous arrêter au référentiel de la voiture pour faire vos calculs.
Le véhicule tournant autour du rond-point, le référentiel que vous prenez pour calculer est lui même en rotation, il faut donc prendre en compte les effets de cette rotation sur le mobile (cf accélération de Coriolis dû à la rotation de la terre par exemple qui se traduit par la rotation de l'eau qui s'écoule dans votre évier, ou votre baignoire, dans un sens dans l'hémisphère nord, et dans l'autre sens dans l'hémisphère sud).

Et puis tant qu'on y est, la rotation de la terre autour du soleil, du soleil autour le la galaxie, de la galaxie autour de ... de quoi au fait ...

Bref, on peut simplifier les choses, que quand leurs effets sont négligeables par rapport à ce qu'on calcule, mais en l’occurrence, négliger les effets de la rotation de véhicule autour du rond-point en choisissant le référentiel tournant du véhicule ne me semble pas correc.

[phys4]

Il existe un couple particulier de déplacements qui consiste à annuler la translation pour avoir une rotation pure, c'est ce qu'a fait Dynamix.

Je vous encourage à effectuer la somme des énergies cinétiques d'un ensemble de masses. La décomposition des vitesses en deux termes, un premier de vitesse de translation et un second de vitesse de rotation donne un ensemble de carrés des vitesse contenant les carrés des vitesses plus des termes supplémentaires. L'exercice vous permettra de voir qu'il apparait des doubles produits en plus du terme d'énergie de translation et du terme d'énergie de rotation.
Ces doubles produits s'annulent pour un axe particulier, celui passant par le centre de gravité des masses, c'est pour cela que c'est une simplification importante. Sans cela nous ne pourrions pas écrire l'énergie cinétique comme somme simple de deux énergies.

[invite6c093f92]

(cf accélération de Coriolis dû à la rotation de la terre par exemple qui se traduit par la rotation de l'eau qui s'écoule dans votre évier, ou votre baignoire, dans un sens dans l'hémisphère nord, et dans l'autre sens dans l'hémisphère sud).

Légende urbaine....

[invite3498e9a5]

Légende urbaine, tu es sûr?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Accélération_de_Coriolis
https://fr.wikipedia.org/wiki/Force_de_Coriolis

[phys4]

La seconde référence indique bien quand il ne faut pas appliquer Coriolis : baignoires, bassins etc...

Seulement les grands mouvements atmosphériques et océaniques.

[invite6c093f92]

http://www.futura-sciences.com/magaz...equateur-5974/
En complément.
extrait:

Pourtant, rien de cela n’est vrai, il y a une trop grosse différence d’échelle entre un cyclone et un tourbillon dans un lavabo !

[invitee6353f29]

Il y a digression là quand même...

fregoli: Évidemment que je pourrais tout prendre en compte pour être parfaitement exact, mais ça n'est pas utile dans des applications "basiques" et encore moins pour comprendre mon problème.
Sinon effectivement la force de coriolis n'a aucune influence notable sur une masse d'eau si faible, votre seconde source le précise.
phys4: J'ai justement fait les calculs et fait apparaître les termes en double produit, seulement je n'arrive pas à montrer qu'ils s'annulent si je prend le centre de gravité comme référence. Pourriez-vous m'aiguiller s'il vous plaît ?

Bonne soirée

[invitef29758b5]

Tu as essayé de poser :
I_G = I_O + m.GO²

[phys4]

phys4: J'ai justement fait les calculs et fait apparaître les termes en double produit, seulement je n'arrive pas à montrer qu'ils s'annulent si je prend le centre de gravité comme référence. Pourriez-vous m'aiguiller s'il vous plaît ?

Petite démonstration, à connaitre comme une question de cours.
Prenons un ensemble de masses m_i, situés à la distance ri d'un centre O quelconque.
L'énergie cinétique totale s'écrit


Toutes les sommes sont implicites sur l'ensemble des masses.
Je peux décomposer les vitesse en une translation commune v₀ et une rotation autour de O


Pour un axe particulier appelé centre de gravité la dernière somme est nulle, alors il reste seulement l'expression que vous recherchez.

[invitef29758b5]

Si O appartient à l' axe du torseur cinématique (de type glisseur) l' expression se simplifie encore plus .

[invitee6353f29]

Dynamix: Je m'étais bien servi du changement de la position de l'axe pour changer l'inertie, il me manquait juste l'annulation de la dernière somme que phys4 a explicité.
En quoi l'expression serait-elle encore plus simple ? Je n'ai jamais trop utilisé les glisseurs...

phys4: Je n'étais pas parvenu à obtenir une expression aussi simple en fait, j'ai du trop me prendre la tête et m'égarer... L'habitude de faire des calculs complexes... ^^' Merci pour ces clarifications, le reste est assez évident maintenant.
Le centre de gravité vérifie, pour tout point A:

Merci pour votre aide !

[invitef29758b5]

En quoi l'expression serait-elle encore plus simple ?

J' étendrais la question à :
A quelle condition le dernier terme de l' équation de phys4 est nul ?
En dehors de celle citée par phys4 , il en reste 3
1_Le torseur cinématique est un couple => pas de rotation => ω=0 : seul subsiste le premier terme
2_Le torseur cinématique est un glisseur et O appartient à son axe => v_O = 0 : seul subsiste le second terme
3_Le torseur cinématique est quelconque et O appartient à l' axe => v_O et ω sont colinéaires => v_OΛω = 0 : le dernier terme est nul comme dans le cas cité par phys4

Dans l' exemple de la voiture ,
1 , c' est la voiture en ligne droite
2 , c' est la voiture qui tourne autours du rondpoint de centre O
3 c' est la voiture qui monte une rampe hélicoïdale .