Rebond d'une masse sur un plateau posé sur un ressort

[Moufle2mer]

Bonjour à tous,

J'essaye de modéliser le problème suivant : Rebond d'une masse sur un plateau posé sur un ressort, à l'aide de Maple.

Le fichier en PJ au format pdf. J'ai une procédure principale rebond qui prend en entrée la hauteur à laquelle est lâchée la masse. L'origine est fixée au niveau de l'extrémité du ressort lorsqu'il est à vide. En fonction de la situation (chute libre, masse sur le plateau, masse qui décolle) je calcule les accélérations, vitesses et positions de la masse (que j'ai appelé balle) et du plateau (que j'ai appelé balance).

Au final je me trace deux graphes : celui des positions avec le code couleur suivant (rouge = chute libre, vert = masse sur le plateau) et celui des vitesses (orange = chute libre, jaune = masse sur le plateau).

Mon problème est que j'ai l'impressions que ces graphes ne sont pas exactes car celui des positions ne semble pas respecter la conservation de l'énergie.

Si quelqu'un pouvait m'aider ? En vous remerciant d'avance.
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[LPFR]

Bonjour.
Je pense que votre problème n’a rien à voir avec le logiciel. Mais c'est un problème avec la physique.
D’abord, l’amplitude des oscillations est croissante ce qui est une absurdité.
La période d’oscillation du système ressort + plateau + masse, semble être la même que celui de ressort + plateau. Ceci est aussi absurde.

Donc, revoyez la physique du problème avant d’écrire des équations. Un logiciel ne fait que calculer ce que vous lui avez demandé. Il ne résout pas un problème à votre place.
Je pense que vous n’avez pas utilisé les indications que je vous ai données dans la discussion précédente :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ne-simple.html
Au revoir

[obi76]

Bonjour,

j'ai pour ma part déjà été confronté à ça, et il est possible que cela vienne de la méthode de résolution. Quel genre d'avancement en temps utilisez vous ? Euler du 1° ordre ? Si oui, comme dans les équations on a des termes du 2° ordre, vous ne conserverez pas, il faut des schéma temporels d'ordre supérieurs (type RK).

[Jaunin]

Bonjour Moufle2mer,
Avez-vous regardé chez MapleSoft ?
Cordialement.
Jaunin__

http://www.maplesoft.com/search/inde...ss+on+a+spring

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jaunin]

Quelle est la masse de la balle, celle de la plaque et celle du ressort qui intervient pour 1/3.

[Moufle2mer]

Merci obi76 et Jaunin pour vos réponses.

Je penche du côté d'obi76 pour la bonne solution. Je vais dépoussiérer Runge Kutta et voir ce que cela donne.

Je n'ai pas eu l'idée de regarder chez Maplesoft. Maintenant, je n'y ai rien trouvé, mais je vais voir si j'ai plus de chance avec l'aide du logiciel.

Sinon pour répondre à votre question, je n'ai pas donné de masse au ressort. Pour les deux autres (balle et balance), j'ai utilisé les variables m et M au début. De mémoire, dans l'exemple donné, elles faisaient chacune 1kg.

En vous remerciant une nouvelle fois pour vos réponses.

[Moufle2mer]

Rebonjour à tous,

Alors je suis passé de la méthode bébette à RK. Bonne nouvelle : j'utilise le solveur d'équations différentielles de Maple, et les résultats sont plus rapides. Mauvaise nouvelle : j'obtiens toujours les mêmes résultats.

Voilà mes équations et mon algo. Si quelqu'un pouvait les vérifier :

Si la balle est au dessus de la balance :

• Equation de la balle = d²z/dt² = -g avec comme condition initiale la hauteur de la balle et sa vitesse intiale (au moment où on l'a laché, ou au moment ou elle a décollé)
• Equation de la balance : d²z/dt² = -w1²(z - zeq1) où w1² = k/m et zeq1 = -mg/k, avec k la raideur du ressort, m la masse de la balance, g = 9.81 ; idem pour les conditions initiales

(Si on n'est plus dans ce cas, alors la balle est sur la balance, je passe à l'oscillateur harmonique prenant en compte la balle, et ce tant que la force d'inertie qui poussera la balle vers le haut ne sera pas supérieur au poids de celle-ci)

Si -g < -w2²(z - zeq2) où w2² = k/(m+M) et zeq2 = -(m+M)*g/k avec M la masse de la balle

• Equation de la balance et de la masse : d²z/dt² = -w2²(z - zeq2) ; pour les conditions initiales : v0 est la vitesse de la balle au moment du choc, z0 est la position de la balance (et a fortiori de la balle) au moment du choc

Et sinon : on est dans le cas où la balle décolle, je calcule sa nouvelle position avec les équations de la première condition (chute libre pour la balle, oscillateur harmonique 1) avec comme conditions initiales : la vitesse et la position de la balance au décollage.

Et je boucle ensuite...

Si quelqu'un voit une erreur.

Merci d'avance.

[obi76]

Re-,

quand vous parlez de "ne pas conserver l'énergie", vous regardez bien énergie potentielle + cinétique de la balle et cinétique + potentielle + raideur du plateau ?

[Moufle2mer]

Oui. En fixant l0 comme origine toujours. Et lâchant ma balle à l'origine, sachant que :

Ec = 1/2mv²
Ep = mg(z-l0)
Er = 1/2k(z-l0)²

A t=0 :

Ec_balle = 0
Ep_balle = 0

Ec_balance = 0
Ep_balance = mg*(-mg/k-0)

Er = 1/2k*(-mg/k)²

D'où : Etotale = -m²g²/(2k)

Et lorsqu'on arrive l0, il me semble que l'énergie cinétique des deux masses est positive, tout comme celle du ressort...

[LPFR]

Bonjour.
Que se passe-t-il au moment du choc ?
Le choc est-il élastique, plastique, entre les deux ?
Si vous voulez que l’énergie se conserve, il faut que le choc soit élastique. Dans ce cas, suite au contact entre la masse et le plateau, chacun continuera avec une vitesse propre et non à une vitesse commune.
Si vous voulez que suite au choc, les deux vitesses soient égales, il faut que le choc soit plastique et dans ce cas il y a de l’énergie transformée en chaleur.

Comme d’habitude, le plus souvent, quand on a un problème de calcul, ce n’est pas le calcul qui pose de problèmes mais la physique du problème qui a été mal comprise.
Au revoir.

[Moufle2mer]

Merci à Jaunin pour son MP et à LPFR pour sa réponse.

En effet, la condition initiale sur la vitesse au moment du choc était erronée.

Ce que j'obtient actuellement semble plus correct (j'ai laissé en PJ une image montrant en rouge la trajectoire de la balle, en vert celle de la balance).

Je me pose juste une question, dans la mesure où j'ai, jusqu'à maintenant, trouvé des réponses contradictoires : à quel moment est censée décoller la masse ?

Je sais que c'est la cas lorsque la réaction du support est nulle. Mais je lis aussi : "lorsque le ressort atteint sa longueur l0" (https://books.google.fr/books?id=2Nr...ysique&f=false) et "lorsque le ressort repasse au dessus de zeq2, la position d'équilibre pour le ressort + balance + balle" (http://www.chimix.com/an8/concours8/nant70.htm).

En vous remerciant d'avance.

[LPFR]

Re.
La solution est encore fausse.
Je pense que la vitesse après le choc est toujours erronée.
Quel type de choc avez-vous choisi ? Plastique ? Élastique ?

Il serait plus intéressant que le graphique montre seulement les deux ou trois premières oscillations. On verra plus clairement les cassures de pente.
Avec toutes ces oscillations la seule chose que l‘on peut voir est que le résultat est faux, car l’amplitude reste constante.

La masse se sépare du plateau quand l’accélération vers le bas du plateau dépasse ‘g’.
A+

[Moufle2mer]

En effet, la vitesse au choc était fausse : je ne prenais pas en compte celle de la balance. Je considère un choc plastique.

Ce qui me donne maintenant comme vitesse initiale :

[signe de la (v_balance + v_balle)] * racine[1/(m+M) * (m*V_balance^2 + M*V_balle^2)]

Le problème maintenant, c'est que l'amplitude augmente !!

Ci-joint deux images : les deux premières oscillations, et tout un tas d'oscillations pour montrer l'augmentation de l'amplitude.

[LPFR]

Re.
Votre formule est fausse. Si c’est un choc plastique, ce qui se conserve est la quantité de mouvement et non l’énergie.



Et le résultat se voit dans les courbes : après le choc la vitesse est celle de la balle, ce qui est faux. Elle devrait être entre les deux
A+

[ansset]

si le choc est inélastique , il convient de choisir un coeff de restitution Cr.

[LPFR]

si le choc est inélastique , il convient de choisir un coeff de restitution Cr.

Re.
Le choix a été fait: plastique.
A+

[obi76]

si le choc est inélastique , il convient de choisir un coeff de restitution Cr.

Si c'est le cas l'énergie totale telle que celle décrite ci-dessus ne se conservera pas. De toutes façons ce n'est pas le sujet ici.

Par contre un truc que je ne pige pas. Pour moi on conserve l'énergie cinétique ET la quantité de mouvement lors de la collision (2 équations, 2 inconnues). Si on ne conserve "que" la quantité de mouvement, dans ce cas :
- quelle autre équation est utilisée pour déduire les vitesses ?
- si ce n'est pas l'énergie cinétique qui est conservée, comment etre sur que l'énergie totale le sera... ?

[Moufle2mer]

J'ai fixé M = 2 et m = 1. La courbe osc correspond aux premières oscillations, osc2 aux vitesses et osc3 à la même chose que osc mais pour plus de temps.

Ca tient la route ?

[ansset]

Re.
Le choix a été fait: plastique.
A+

re-:
question stupide :
choc plastique diff de choc inélastique ?
Alzheimer je suis devenu ?
Cdt

[Jaunin]

Pour information :

http://www.google.ch/url?sa=t&rct=j&...KFpIkTOxumVHkA

[LPFR]

Si c'est le cas l'énergie totale telle que celle décrite ci-dessus ne se conservera pas. De toutes façons ce n'est pas le sujet ici.

Par contre un truc que je ne pige pas. Pour moi on conserve l'énergie cinétique ET la quantité de mouvement lors de la collision (2 équations, 2 inconnues). Si on ne conserve "que" la quantité de mouvement, dans ce cas :
- quelle autre équation est utilisée pour déduire les vitesses ?
- si ce n'est pas l'énergie cinétique qui est conservée, comment etre sur que l'énergie totale le sera... ?

Bonjour Obi76.
Dans le cas de choc plastique, il y a une inconnue en moins cas les deux objets continuent avec une même vitesse. Donc, la seule équation de conservation du moment linéaire suffit.
Cordialement,

[LPFR]

re-:
question stupide :
choc plastique diff de choc inélastique ?
Alzheimer je suis devenu ?
Cdt

Re.
Pour moi, les deux extrêmes sont
- élastique, avec un coefficient de restitution égal à 1.
- plastique, avec un coefficient égal à zéro.
Tous les autres cas intermédiaires entrent dans « inélastique »
A+

[LPFR]

J'ai fixé M = 2 et m = 1. La courbe osc correspond aux premières oscillations, osc2 aux vitesses et osc3 à la même chose que osc mais pour plus de temps.

Ca tient la route ?

Re.
C’est nettement mieux.
Ça correspond à la réalité : la masse ne se décolle que pendant les premières oscillations, avec l’amplitude décroissante. Puis la masse ne se décolle plus et l’amplitude reste constante.
Ce qui me gène encore est le moment de décollage qui semble être le point de vitesse le plus élevé du plateau. Ce qui ne correspond pas à la réalité.
Sauf si c’est une canular du tracé des courbes et que la dernière tracée écrase la première. Essayez en traçant la rouge en dernière.
A+

[ansset]

Re.
Pour moi, les deux extrêmes sont
- élastique, avec un coefficient de restitution égal à 1.
- plastique, avec un coefficient égal à zéro.
Tous les autres cas intermédiaires entrent dans « inélastique »
A+

merci pour la piqure de rappel !
Cdt

[Moufle2mer]

Re,

Alors, en PJ en vert la courbe de vitesse de la balance, en bleue, le moment du décollage (ne pas prendre en compte le premier qui est là pour des raisons d'initialisation).

[obi76]

Re-bonjour,

Dans le cas de choc plastique, il y a une inconnue en moins cas les deux objets continuent avec une même vitesse. Donc, la seule équation de conservation du moment linéaire suffit.

merci, mais dans ce cas comment peut-on avoir la certitude que l'énergie cinétique est conservée... ?

[LPFR]

Re-bonjour,



merci, mais dans ce cas comment peut-on avoir la certitude que l'énergie cinétique est conservée... ?

Re-bonjour.
En cas de choc plastique on est certain que l’énergie n’est pas conservée.
Cordialement,

[obi76]

Re-,

d'acord, donc inutile dans ce cas à chercger une quelconque conservation. Merci !

[LPFR]

Re.
Seulement le moment linaire.
A+

[Moufle2mer]

Re à tous,

Déjà merci infiniment à tous, parce que même cette conversation annexe sur le type de choc à considérer m'a servi ces dernières heures dans ma réflexion. En effet, je me suis rendu compte que la modélisation que j'utilisais était erronée, la faute à l'absence de décollage après un certain nombre d'oscillations.

Je cherche à avoir un système qui allie chute libre et amortissement type ressort, et ce de façon plus ou moins périodique, pour avoir deux parties dans mon graphique de vitesse. Le saut sur un trampoline (message cité par LPFR au début de ce sujet) s'y approche assez bien, mas je voulais m'affranchir de la complexité de sa modélisation.

Le problème est que le choc plastique entraîne une non conservation de l'énergie, donc bye bye la partie chute libre à partir d'un certain moment.

D'où la question que je me pose : quelle alternative à ce système avec une conservation de l'énergie ?

La solution que j'ai trouvé : supposer que la masse de la balance est nulle. J'ai un peu triché dans mon programme, ne pouvant fixer une masse nulle, j'ai juste imposé qu'au décollage la balance s'arrêtait (v = 0 et z = 0). Et là j'ai obtenu ma jolie figure (cf la PJ).

Donc je me permets de vous remercier tous encore une fois pour vos réponses. Mais...et oui il y a un mais...j'en ai pas fini, et je m'attaque maintenant au cas où j'aurais non plus une masse, mais deux masses reliées par un ressort qui seraient en chute libre puis qui rebondiraient sur ma balance. Je sens que je vais encore m'arracher pas mal de cheveux...et que je vais bientôt reposter ici

MERCI ENCORE A TOUS !!!