Stabilité de l'équilibre d'un système

[invite16e189b5]

Bonjour,

J'ai un problème au sujet de la position d'équilibre. Je pense avoir compris globalement ce que c'est, une position à laquelle le système est toujours ramener et où la somme des forces vaut 0.
Mathématiquement on écrit si dEp/dx=0 alors le système possède une position d'équilibre. Mon problème vient avec la stabilité de se système: si d^2Ep/d^x>0 alors le système est stable si d^2Ep/d^x=<0 le système est instable.
Là je ne comprend plus, comment la dérivée seconde pourrait elle être >0 si la dérivé première =0 ?

Dans l'attende de vos réponses,
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[coussin]

Le signe de la dérivée seconde différentie s'il s'agit du fond d'une cuvette ou du sommet d'un monticule. Dans les deux cas, la dérivée première s'annule (c'est "horizontal") mais ensuite ça monte ou ça descend quand on s'éloigne de l'équilibre.

[invite814a7e57]

C'est parce que ta dérivée première est certainement définie pour x=x0 la position d'équilibre

[invite16e189b5]

Je ne suis pas certain de comprendre, si j'ai une équation de typye f(x)=ax^2, f'(x)=a*x/2, f''(x)=a/2 donc la seul position d'équilibre serait atteinte pour x=0 et donc le système instable car la dérivée seconde en 0 est aussi égale a 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

La dérivée seconde n'est pas nulle en 0, elle vaut a/2...

[albanxiii]

Bonjour,

Un moyen simple pour comprendre, si on ne visualise pas bien ce que cousin explique, est de chercher l'équation du mouvement pour les petits mouvements autour de la position d'équilibre. On fait un développement du potentiel pour avoir l'expression des forces, et c'est là qu'arrive la dérivée seconde.

@+

[b@z66]

Bonjour,

J'ai un problème au sujet de la position d'équilibre. Je pense avoir compris globalement ce que c'est, une position à laquelle le système est toujours ramener.

Non, un équilibre est un état dans lequel un système peut rester indéfiniment s'il ne subit pas de perturbation. En l’occurrence, avec une position d'équilibre instable, un système ne tend pas à y être ramener et y rester naturellement, cela n'est vrai que pour les équilibres stables.

[b@z66]

Là je ne comprend plus, comment la dérivée seconde pourrait elle être >0 si la dérivé première =0 ?

Dans l'attende de vos réponses,

Dériver les fonctions f(x)=x² (cuvette) ou f(x)=-x² (monticule) en x=0, vous verrez bien que cela peut effectivement bien être.