Schwarzschild à l'intérieur d'un trou noir

[invitecb53bab6]

Bonjour,

Dans mon livre de relativité générale, il est question de calculer le temps propre mis par un observateur en chute libre pour aller d'un point du rayon de Schwarzschild au centre d'un trou noir. Il est fait usage des coordonnées de Schwarzschild à l'intérieur du trou noir. Pourtant, il me semble qu'il est pertinent d'utiliser les coordonnées de Schwarzschild seulement à l'extérieur du trou noir.

S'agit-il d'une erreur ou bien est-ce qu'il y a raison d'utiliser ces coordonnées à l'intérieur du trou noir ?

merci pour vos réponses
-----

[Deedee81]

Salut,

Non, c'est juste. Les coordonnées de Schwartzchild, c'est tous le trou noir, dehors et dedans.

Avec deux bémols :
- les coordonnées sont singulières sur l'horizon (singularité dû à un mauvais choix de coordonnées, on peut l'éviter en utilisant les coordonnées de Kruskal-Szekeres, par exemple)
- la coordonnée du temps dans le trou noir, c'est r et non t (qui est la coordonnée radiale) !!!! Ca se voit avec la signature de la métrique.
Les deux pépins sont liés d'ailleurs (à nouveau, pas de problème avec KS).

[invitecb53bab6]

merci Deedee pour votre réponse.

Ce que je ne comprends pas c'est que la métrique de Schwarzschild est solution des équations d'Einstein dans le vide seulement. Or l'intérieur d'un trou noir n'est pas vide ?

[jacknicklaus]

Bonjour,

Dans mon livre de relativité générale, il est question de calculer le temps propre mis par un observateur en chute libre pour aller d'un point du rayon de Schwarzschild au centre d'un trou noir. Il est fait usage des coordonnées de Schwarzschild à l'intérieur du trou noir. Pourtant, il me semble qu'il est pertinent d'utiliser les coordonnées de Schwarzschild seulement à l'extérieur du trou noir.

S'agit-il d'une erreur ou bien est-ce qu'il y a raison d'utiliser ces coordonnées à l'intérieur du trou noir ?

merci pour vos réponses

cette discussion devrait t'intéresser, surtout les derniers échanges.

http://forums.futura-sciences.com/as...interieur.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Ce que je ne comprends pas c'est que la métrique de Schwarzschild est solution des équations d'Einstein dans le vide seulement. Or l'intérieur d'un trou noir n'est pas vide ?

L'intérieur est bien vide. Les coordonnées n'incluent pas la singularité (c'est une limite).

Dans la solution de Schwarzschild (celle décrite proprement en coordonnées de Kruskal-Szekeres) on a bien le vide partout, y compris dans les deux intérieurs. Et on ne peut même pas se permettre de penser que la singularité future fait office d'une "masse" (qui serait extérieure à l'espace-temps !!! Et pose un joli problème de causalité...), car la symétrie de la solution demanderait alors aussi une "masse" à la singularité passée (position plus raisonnable en termes de causalité...).

C'est assez éclairant de penser en termes de deux singularités et non d'une seule. En particulier cela suggère fortement que l'espace-temps ainsi décrit n'est pas du tout adapté à l'idée d'un trou noir résultant de l'effondrement d'une masse. Seule la région extérieure l'est.

(Et cela justifie d'une certaine manière de faire la différence entre utiliser les coord. de Schw à l'extérieur et les utiliser à l'intérieur.)

[invitecb53bab6]

Merci Amanuensis pour cette explication.

Mais si les trous noir sont vides, pourquoi ont ils un rayon et comment le déterminer ?

[mach3]

Attention à ne pas confondre l'objet théorique "trou noir de Schwarzschild" qui est vide avec l'objet astrophysique "trou noir". Le premier décrit bien l'extérieur du second, l'intérieur c'est une autre histoire...

m@ch3

[Amanuensis]

Quand on parle de la métrique de Schwarzschild on emploie le terme trou noir, alors que c'est d'abord une solution mathématique à une équation différentielle.

Comme beaucoup de cas d'équation différentielle, l'équation d'Einstein ne détermine pas à elle seule la solution. Celle-ci va aussi dépendre de conditions aux limites.

En gros, le problème originel est un vide sauf dans une sphère centrale, et tel que l'espace-temps "devient plat à l'infini". On a donc bien alors spécifié les conditions aux limites, qui sont le "bord" de la sphère centrale (et pas son intérieur) et l'infini. La masse est alors celle qu'il y a dans la sphère centrale, et cela suffit, avec la symétrie, (on le montre) pour déterminer les "conditions aux limites" à la surface. L'autre limite c'est l'infini, et on a imposé plat.

Sur cette base on trouve comme solution la métrique de Schwarzschild pour l'extérieur, et pour l'extérieur uniquement. La masse a bien un sens, tout est clair.

Mais l'analyse de la solution montre qu'il y des mouvements incomplets à un sens bien particulier: une chute vers le centre peut arriver en "limite de solution" en temps propre fini, et c'est bizarre, pas très physique. On se dit que ça doit pouvoir se continuer.

Cela a amené à proposer sur des bases mathématiques comment continuer ces mouvements, et donc a "prolonger la solution", d'abord avec un "intérieur" futur, puis avec un intérieur passé, puis avec une sorte d'univers parallèle.

Mais le procédé est purement mathématique, on a au passage fait sauter la condition "physique" d'une masse dans la sphère centrale.

Faut donc bien distinguer deux choses: la solution de Schw. pour l'extérieur, valable pour tout vide autour d'une zone centrale sphérique de masse non nulle, et plat à l'infini ; et la solution "étendue", décrivant un espace-temps "plus grand" et où tous les mouvements sont "complets" (on ne peut pas les étendre), mais sans masse centrale.

Solution de quoi alors? Ben du vide avec les conditions aux limites constatées a posteriori, où les conditions aux limites venant d'une sphère massive centrale sont remplacées par les deux singularités, sans qu'on puisse y voir une masse "concrète".

---

Pour les équa diff et les équations aux limites, une analogie intéressante est les bulles de savon. La forme d'une bulle est déterminée par une équation différentielle et par les conditions aux limites ; et celles-ci correspondent à quelque chose de très concret quand on "accroche" une bulle a des formes en fil de fer par exemple. Les bulles "libres" sont sphériques, mais attachées à des objets elles peuvent prendre des tas de formes différentes. La partie non en contact avec les objets répond à une "équation du vide", vide d'objets où s'attacher.

La solution de Schw originelle est une "bulle de savon" accrochée à la sphère centrale, la solution en entier est elle "accrochée" aux deux singularités, et une partie de cette solution coïncide avec celle du premier problème. (Analogie seulement, les équations sont assez différentes...)

[Amanuensis]

pourquoi ont ils un rayon

Je n'ai pas répondu à l'aspect "rayon". Déjà, voir la quantité comme un rayon est discutable, car cela ne correspond pas à la longueur propre de quelque chose de tangible. On peut parler de longueur en prenant un périmètre, un cercle qu'on va imaginer autour de la sphère centrale, et ça c'est "tangible". On va alors, abusivement, appeler "rayon" le périmètre divisé par 2pi (en bonne application de ce qu'on apprend à l'école primaire...). Mais même cela n'est pas totalement satisfaisant, et certains préfèrent parler de l'aire d'une sphère entourant la sphère centrale. Le "rayon" est alors en fait la racine carrée de l'aire divisée par 4pi

Mettre en rapport l'aire et la masse a un sens (penser au théorème de Gauss, https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._(gravitation)). In fine, ce qu'on appelle "rayon du trou noir" est une manière de mesurer la masse centrale, Rs = 2GM/c², et vient de l'aire minimale de la sphère centrale pour la solution de Schwarzschild (en dessous cette aire, il n'y a pas, à un certain sens, de solution au problème originel).

[Notons aussi qu'on aurait pu parler d'une "durée de Schwarzschild", 2GM/c^3, qui est l'ordre de grandeur de ce qu'il se passe dans l'intérieur. Masse, longueur, durée, aire, tout cela à partir d'un seul paramètre...]

[invitecb53bab6]

Merci Amanuensis pour ces réponses détaillées! Ma question est maintenant solutionné.