Bonjour,
pourquoi les espaces des états en physique quantique ont été construits (historiquement) avec des espaces de Hilbert et pas "simplement" des espaces préhilbertiens, ou euclidiens, ou autre chose ?
Un espace de Hilbert à la particularité d'être un espace complet, sans trous : toutes les suites de Cauchy y convergent.
Bon ça c'est pour les maths, mais quel rapport avec les fonctions d'ondes ?
Merci.
les fonctions d onde peuvent exister en espaxe courbe avec toutes sortes de metriques.
meme sur des espaces temps avec des trous
Oui, du coup quel est l'intérêt des espaces de Hilbert pour le cadre de leur étude ??
Les espaces de Hilbert sont l'extension de l'espace euclidien aux valeurs complexes.
Les fonctions d'onde sont caractérisées par un module et une phase, elles peuvent donc être représentées par une amplitude complexe,
les valeurs d'état pourraient être aussi représentées par un couple de valeurs réelles type (cos, sin) et cela alourdirait beaucoup l'écriture sans changer la théorie.
Il était donc plus simple d'écrire les valeurs d'état directement en grandeur complexe.
Il existe une grande différence entre l'utilisation des fonctions complexes pour la physique classique et la physique quantique :
- en classique ce n'est qu'une astuce d'écriture qui simplifie certains calculs et dans lesquels on ne garde que la valeur réelle finale.
- en quantique, les valeurs imaginaires sont indispensables pour représenter les phénomènes, et si l'on ne mesure que des quantités réelles, il est possible par plusieurs mesures de reconstituer la fonction d'état complexe.
Comprendre c'est être capable de faire.
On peut dire aussi qu'en classique tous les pôles complexes des systèmes physiques linéaires sont systématiquement complexes conjugués : d'où la possibilité de rester sur R, la réponse étant de la forme réelleEnvoyé par phys4
e^((a+iw)t)+e^((a-iw)t) pour des pôles en a+-iw.
En quantique, on trouve des pôles complexes sans leur conjugué.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
La question de la complétude peut se poser de manière plus générale que la physique quantique.
Pourquoi utiliser R pour les grandeurs scalaires? Pourquoi pas Q? La question est d'autant plus difficile qu'il semble qu'on puisse faire de la physique avec Q à la place de R. Après tout, les ordinateurs savent manipuler des grandeurs numériques rationnelles, mais pas des réels. Les calculs divers et variés, genre simulations en mécanique des fluides, calculs en mécanique spatiale, repliement de protéines, etc., se font tous avec des rationnels.
A contrario, la physique théorique utilise R, C, des variétés réelles, etc. tous espaces complets. Pourquoi? Je pense qu'il faut aller chercher cela du côté des équations différentielles, et plus généralement les techniques liées aux maths différentielles (calcul infinitésimal). Depuis Newton et Leibniz, c'est au cœur de toutes les formulations de la physique. La puissance des maths correspondantes n'est pas à démontrer!
Il n'y aucune "preuve" que ce soit une nécessité imposée par la "nature", mais c'est extrêmement commode.
Bref, d'un point de vue très général, prendre un espace non complet demanderait des justifications très puissantes pour qu'on accepte de perdre tout l'outillage qui va avec l'hilbertien. Et de telles justifications ne pourraient venir que d'observations ; et pour le moment, il n'y a rien de tel.
Dernière modification par Amanuensis ; 07/03/2017 à 19h56.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Oui mais avec tout ce qu'on vient de dire, je ne comprends toujours pas pourquoi cela nécessite un espace complet ...?
Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction de Q vers Q ? Conditions d'existence?
Dernière modification par Amanuensis ; 07/03/2017 à 21h34.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Je m'étais posé ce genre de questions et il y a peu d'outils sur les rationnels. On tombe assez vite sur de la théorie des nombres bien trapue!
Une piste sur l'approximant de Padé.
http://forums.futura-sciences.com/ma...tionnelle.html
http://exo7.emath.fr/cours/ch_reels.pdf, dernière page
La construction de R devient une nécessité après l’introduction du calcul infinitésimal (Newton et Leibniz vers 1670). Jusqu’alors l’existence d’une borne supérieure était considérée comme évidente et souvent confondue avec le plus grand élément.
Ce n’est pourtant que beaucoup plus tard, dans les années 1860 -1870 (donc assez récemment dans l’histoire des mathématiques) que deux constructions complètes de R sont données :
— Les coupures de Dedekind
— Le suites de Cauchy
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Pour détailler la réponse d'Amanuensis, tu as beaucoup de choses qui sont définies comme des limites. Il a donné l'exemple de la dérivée notamment.
Si l'espace n'est pas complet, tu n'as pas forcément de limite...
On se met à perdre beaucoup de choses. La dérivation donc les équations différentielles et aussi toutes les fonctions usuelles : cos, sin, exp, ln, racine, puissances non entières...
Depuis le debut de la MQ il y a eu deux versants dont l'un l'a emporté par ko.
L'un parle de vecteurs et l'autre de matrices. Heisenbrtg vs Schrodinger et vice vesa.
les etats purs et les matrices densité.
La "guerre" se poursuit entre l'approche algebrique par les C* algebres et
les tenants des espaces de Hilberts.
A noter la construction de GNS permetant de passer de l un a l'autre mais ou le pb des vides non equivalents se pose
On pourrait remplacer les équations différentielles par des équations aux différences.
Les fonctions classiques ont des développements en série entière qu'on peut tronquer.
Il y a moyen de faire quelques petites choses de façon peu pratiques, certes.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Sans doute mais la vraie question est "pourquoi ?"
Le couple physique/maths tel qu'utilisé actuellement s'avère redoutable d'efficacité notamment dans ses prévisions.
Quel gain pratique apporterait le passage dans Q ?
on pourrait aussi remarquer que dans l histoire ancienne l existence
des nombres irrationels a pose probleme. il est impossible de calculer
une infinite des chiffres apres le virgule Q suffit pour les calculs
L ensemble des reels est un complete de Q qui permet de parler de
chiffres comme pi qui n ont pas d existance purement calculatoire
Je répète, du point de vue calculatoire on peut tout faire avec des rationnels: c'est ce qu'on fait avec des ordinateurs. (C'est donc très pratique!!)
Ce sont les formulations simples des théories que l'on perd. Et ce, sans aucun avantage apparent. Plus simple de formuler en réels, et calculer en rationnels (pas vraiment le choix), en prenant en compte la précision que l'on attend du calcul.
Dernière modification par Amanuensis ; 08/03/2017 à 16h20.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Par exemple, modéliser l'incertitude inhérente avec le même outil.
Plutôt que de manipuler deux réels (mesure et incertitude), ne manipuler qu'un rationnel (de format fixe à définir) représentant la mesure et l'incertitude.
Mon coté intransigeant me pousse à choisir de faire tout avec le même ensemble.
Le calcul formel commence à le permettre à très petite échelle sur R ou C.
Ou bien, calculer et formuler avec Q en considérant que la précision est inhérente au modèle.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Quasi métaphysique.
Mon point est pur pragmatisme, commodité.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
J'ai du mal à voir comment cela fonctionne puisque dès que tu vas faire des opérations, l'ordre de grandeur de l'incertitude va varier et le format fixe de tes rationnels va avoir du mal à convenir. Sauf à le changer tout le temps et tu vas donc manipuler 2 quantités : la mesure et la précision nécessaire pour prendre en compte l'incertitude.
Point que je comprends aussi et que j'applique d'ailleurs au quotidien.
C'est juste que j'aimerais bien comprendre d'où sortent tous ces nombres qui apparaissent en physique.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Mon coté naturel me dit que la nature y arrive avec économie de moyen.
Si on arrivait à faire pareil...
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Il y a beaucoup de choses qu'on peut faire facilement en "analogique" et qui en maths et avec des calculs sont plus lourds. C'est le prix à payer pour la généralité immense des dites maths et calculs.
Merci à tous, je pense avoir trouvé réponse à ma question : le calcul infinitésimal impose un espace continu et "sans trou" , au moins en théorie....pas en modélisation, mais est ce que les pères fondateurs de la physique quantique avaient la modélisation en tête...?
Le calcul numérique (et les applications numériques des formules théoriques) précède les ordinateurs. Les calculs d'orbite de planètes par exemple étaient faits à la main, crayon papier, depuis au moins Tycho Brahe (en passant par Képler, Le Verrier, Delaunay, etc.) Il serait étonnant que Newton et Leibniz (et tous leurs successeurs!) n'aient pas eu conscience de la distinction entre calcul infinitésimal, symbolique, et le calcul numérique.
Dernière modification par Amanuensis ; 10/03/2017 à 09h56.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Le calcul numérique oui, le calcul informatique, non...!
Quelle différence? (Autre que la puissance, le temps nécessaire... C.E. Delaunay a mis toute sa vie à calculer l'orbite de la Lune.)
Dernière modification par Amanuensis ; 10/03/2017 à 10h43.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
