ERercice circulation d'un champ de vecteurs

[invite32c98128]

bonjour, j'ai un exercice d'electrostatique et je suis bloquée..

cf l'image jointe:
On nous demande de calculer la circulation de F=Ky^2(ex->) avec K constante le long du chemin ACDB et AEFB, on trouve 0 aux deux et on en conclue que la force est conservative car ne dépend pas du chemin suivi.
Ensuite il faut calculer la circulation de F suivant AB, la encore on trouve 0, mais que peut-on en conclure cette fois ci??


(aussi tant qu'a y etre on me demande la dimension de K, mais selon moi elle est sans dimension, non?)
merci pour votre aide!!


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[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenue au forum.
Dans cet exemple, la force n’est pas conservative.
D’abord la circulation le long de ACDBA n’est pas nulle.
Et pour montrer que la force est conservative il faudrait que le travail le long de tout chemin fermé soit nul.
Et que le travail entre deux points (et non un chemin fermé) est le même quel que soit le chemin.
Pour ce qui est des dimensions de K, c’est tout de même évident qu’elle ne peux pas être sans dimensions !
Au revoir.

[invite32c98128]

Bonjour, merci pour votre réponse, j'ai visiblement rien compris du tout..

Pour ACDB, j'ai fait par Charles une somme d'intégrales (de A vers C, de C vers D, de D vers B).

Ensuite sous l'intégrale on a du F->.dl-> (desolee pour les flèches je sais pas les mettre au dessus )
Soit Ky^2(ex).(dx(ex)+dy(ey))
= Ky^2.dy

De C vers D on intègre de L à L donc l'intégrale est nul

Sur AC on intègre de 0 à L, sur DB on intègre de L à 0, et donc je trouve que ça fait 0....

Où se trouve L erreur dans mon raisonnement?


E pour ce qui est de K, j'ai pensé que F-> et ex-> sont de même dimension, et on a "y" sans dimension car une longueur donc K sans dimension?

[invite32c98128]

Bonjour, merci pour votre réponse. Je n'ai visiblement rien compris...

Pour le chemin ACDB par exemple, j'ai fait la somme des intégrales sur AC et CD et DB de F(->).dl(->) (desoleepour les fleches je sais pas les mettre au dessus..
on a F->.dl->= Ky^2(ex->).dx(ex->)+dy(ey->) = Ky^2.dy

et on a l'integrale sur CD qui va de L à L donc qui vaut 0
et l'integrale sur AC qui va de 0 à L et l'integrale sur DB qui va de L à 0 donc elle s'annulent et on a 0.

où est l'erreur dans mon raisonnement?


Pour ce qui est de K , j'ai pensé que F-> et ex-> sont de meme dimension, on a "y" sans dimension et donc K sans dimension....? a moins que y ait une dimension? mais dans ce cas, laquelle?

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Avec un peu plus de détails :
la dimension de K peut être trouvée en comparant les dimensions de chaque membre de l'équation :
(Force) MLT^-2 = (dim K) * L²

Les circulations sur ACDB et AEFB sont égales et non nulles alors que la circulation sur AN est nulle.
Pour la question 6 essayez le calculer div(F) et cela répondra à la question 7.

[invite32c98128]

merci pour votre reponse! on a dimK = M.L-1.T-2 !?

pour les circulations j'ai trouvé mon erreur et effectivement elles valent 2LKy^2.
on peut seulement en deduire que ca ne depend pas du chemin? on ne peut pas dire que la force est conservative?

par contre sur AB je trouve le meme resultat??, je ne trouve pas qu'elle est nulle?
et supposons qu'elle soit nulle, que peut on en deduire?
merci beaucoup pour votre aide

[phys4]

La circulation sur AB en direct en passant par le centre se fait avec y nul sur tout le trajet donc F = 0.

Le travail dépend donc du trajet utilisé entre deux points, ce champ de forces n'est pas conservatif.

Vous confirmerez cela en calculant la divergence de ce champ.

[invite32c98128]

ok merci!
faut juste montrer que div(F)=0 pour démontrer ce resultat?

et pouvez-vous m'aiguiller un peu pour la question 7? je ne vois pas quoi utiliser...

[invite6dffde4c]

Re.
Non. C’est le rotationnel qui doit être nul pour que le champ soit conservatif.
Ici la divergence est nulle partout.
Le rotationnel vaut (0, 0, 2y).

La question 7 est un piège : le champ étant non conservatif, la force ne peut pas dériver d’un potentiel.
A+

[invite32c98128]

merci beaucoup pour tout!!!