Petit problème de mécanique (un mobile entre deux ressorts)

[blisax]

Bonjour,

J'ai un petit problème de mécanique tout simple mais je n'arrive pas a trouver mon erreur. Je considère un mobile entre deux ressorts (voir pièce jointe). Je considère la force de rappel*: Fr = -kΔx (k la raideur (je considère les deux raideurs égales) et Δx la déflexion)

Je place mon repère avec x=0 au niveau de l'accroche du ressort de gauche (donc quand le mobile est a la position d'équilibre des ressorts x=a). Et j'écris mon PFD*:

-k(x-a)-k(x-a)= m d²x/dt²
d²x/dt² +2kx/m - 2ka/m = 0

Si je résous cette équation différentielle du second ordre (et sauf erreur de ma part), on trouve*:

x=λ cos( √(2k/m) t) + µ sin ( √(2k/m) t) + 2ka/m

Avec les conditions initiales t=0*: x=0 et v=0 je trouve*:

x= -2ka/m cos( √(2k/m) t) + 2ka/m

Or cette équation ne me donne pas les bons résultats... Je ne comprends pas où est mon erreur... De plus si j'avais défini mon repère différemment je trouve le bon résultat*: si je place mon origine au niveau de la position d'équilibre des ressorts alors mon PFD devient*:

-2kx= m d²x/dt²

d²x/dt² +2kx/m = 0

Si je résous avec les mêmes conditions initiales je trouve les bons résultats*:

x= -a cos(√(2k/m) t)

Pouvez-vous m'éclaircir sur ce problème et comment trouver le bon résultat avec le repère tel que je le définis dans ma première partie*?

Merci d'avance.
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[invite51d17075]

-k(x-a)-k(x-a)= m d²x/dt²
d²x/dt² +2kx/m - 2ka/m = 0

Si je résous cette équation différentielle du second ordre (et sauf erreur de ma part), on trouve*:

x=λ cos( √(2k/m) t) + µ sin ( √(2k/m) t) + 2ka/m

+ cte à la fin avant de conclure 2ka/m

Avec les conditions initiales t=0*: x=0 et v=0 je trouve*:

x= -2ka/m cos( √(2k/m) t) + 2ka/m

encore faux si tu dérives deux fois , tu te retrouves avec des 4k²/m² !

x= -a cos(√(2k/m) t)

si tu veux comparer les deux , les conditions initiales ne s'écrive pas pareil.
x=0 dans un cas correspond à x=-a dans l'autre.
ce qui change ta cte.

[albanxiii]

Bonjour,

Il y a un problème avec vos conditions initiales. Déjà vous ne pouvez pas utiliser les mêmes pour deux origines différentes, et ensuite, je vois mal comment on peut avoir un mouvement avec x(0)=à et v(0)=0 simultanément.

@+

[blisax]

Merci pour vos réponses.

J'ai sauté quelques étapes des calculs par soucis de concision mais visiblement ça rend le tout peu clair. Je ne comprends pas votre remarque Ansset, si je reprend en détaillant:

Ma solution sera du type: x=λ cos( √(2k/m) t) + µ sin ( √(2k/m) t) + constante
Si je réinjecte cela dans mon équation différentielle je trouve bien que constante = 2ka/m

Ensuite je cherche λ et µ. A t=0 j'ai x=0:
0= λ cos( √(2k/m) t) + µ sin ( √(2k/m) t) + 2ka/m
0= λ *1 + µ sin *0 + 2ka/m
λ=-2ka/m

Et a t=0 j'ai v=0 donc:
0=-λ sin( √(2k/m) t)+µ cos ( √(2k/m) t)
0=-λ*0 + µ*1
µ=0

Effectivement si je veux comparer les deux cas, mes conditions initiales changent. Quand je dis "avec les mêmes conditions initiales" c'est "avec les mêmes conditions initiales mais transposé dans le nouveau système de coordonnées" c'est-à-dire avec le mobile plaquer tout a gauche et sans vitesse initiale, donc oui j'ai bien pris x=-a dans le second cas.

Albanxii, "je vois mal comment on peut avoir un mouvement avec x(0)=à et v(0)=0 simultanément" je ne prend pas x(0)=a mais x(0)=-a (dans mon second cas, ou x=0 dans le premier cas), ce qui correspond simplement a prendre le mobile et le plaquer tout a gauche, puis le lâcher sans vitesse initiale. J'espère que c'est plus clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef29758b5]

Salut

-k(x-a)-k(x-a)

C' est la force des deux ressorts .
Quand tu changes de repère tu trouves une valeur différente (-2kx) et ça ne te choque pas ?
La force ne dépend pas du repère choisis .

[blisax]

Bonjour,

Si bien sur que ça me choque mais ici ce n'est pas le cas. Si mon ressort est tout a gauche, dans mon première repère x=0 donc F=2ka. Dans mon second repère j'ai x=-a et là encore F=2ka. Je retrouve donc bien la même force, je ne vois pas où est le problème ?

[jacknicklaus]

Merci pour vos réponses.
Ma solution sera du type: x=λ cos( √(2k/m) t) + µ sin ( √(2k/m) t) + constante
Si je réinjecte cela dans mon équation différentielle je trouve bien que constante = 2ka/m

Non, ce que les conditions aux limites donnent c'est : constante = -λ.
Puis en réinjectant dans l'ED on trouve λ = -a
et au final, comme prévu : x = a(1-cos(wt)) avec w = √(2k/m)

[blisax]

Bonjour,

Merci jacknicklaus d'avoir mis le doigt sur mon erreur !! C'était tout bête mais pourtant impossible pour moi de la trouver... Merci

[albanxiii]

Re,

Albanxii, "je vois mal comment on peut avoir un mouvement avec x(0)=à et v(0)=0 simultanément" je ne prend pas x(0)=a mais x(0)=-a (dans mon second cas, ou x=0 dans le premier cas), ce qui correspond simplement a prendre le mobile et le plaquer tout a gauche, puis le lâcher sans vitesse initiale. J'espère que c'est plus clair.

Pardon pour la faute de frappe, je voulais écrire x(0)=0 et v(0)=0.