La conservation de l'énergie impliquerait celle de la quantité de mouvement ?

[pierre_18]

Bonjour à tous

D'après le développement mathématique (simple) que je vous présente dans le pdf ci-joint il semblerait que le principe de la conservation d'énergie totale d'un système isolé implique la conservation de la quantité de mouvement dans ce système. J'ai quand même un doute car je ne trouve cette affirmation nulle part sur le net. Auriez-vous une idée sur la question ?

Pierre
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[phys4]

Je trouve la démonstration un peu tirée par les cheveux, car l'auteur fait un changement de repère sans savoir comment sont modifiées les énergies.
On sait donc pas ce qui se conserve et dans quelles conditions.
Par contre, il est vrai que la conservation de l'énergie et de l'impulsion sont liées car ces quantités font partie d'un vecteur 4 dimensions unique, et leur transformation par changement de repère ne sont pas indépendantes.

[Deedee81]

Salut,

Evidemment, si on déduit les conservations d'autres choses on trouve forcément que tout va ensemble.

Par contre, on trouve facilement des exemples où en appliquant uniquement la conservation de la quantité de mouvement on viole la conservation de l'énergie et vice versa.

Exemple : un objet de masse M au repos se sépare en deux morceaux (sans variation d'énergie interne) de masse M/2 à vitesses V et -V. La quantité de mouvement est conservée, pas l'énergie.
Exemple : un photon de 1022 + epsilon keV se transforme en électron et positron (de vitesse faible, correspondant au epsilon). Ok pour l'énergie.... mais impossible de respecter la quantité de mouvement !

[Dynamix]

Salut

L' énergie totale et la la quantité de mouvement d' un système isolé sont toujours conservés .
Par contre l' énergie mécanique peut varier . En pratique elle varie toujours .

La conservation de la quantité de mouvement découle des lois de Newton .
De même que la relation travail/énergie .

Exemple : un objet de masse M au repos se sépare en deux morceaux (sans variation d'énergie interne) de masse M/2 à vitesses V et -V. La quantité de mouvement est conservée, pas l'énergie.

Totalement impossible .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quarkonium]

Totalement impossible .

La question n'est pas de savoir si les exemples donnés par Deedee sont possibles, évidemment ils ne le sont pas car nos lois de la physique respectent la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, mais si l'une implique forcément l'autre. Il a donc présenté des exemples séparant les deux.

Du point de vue de la mécanique analytique, la conservation d'une quantité est liée à l'invariance sous une certaine transformation du lagrangien décrivant une théorie (merci au magnifique théorème de Noether). La conservation de l'énergie est une conséquence de l'invariance du lagrangien par translation dans le temps, tandis que la conservation de la quantité de mouvement dans une certaine direction est issue de l'invariance du lagrangien par translation dans l'espace selon cette direction. Je dirais donc qu'on peut imaginer une physique où une quantité est conservée et pas l'autre.

[mach3]

Je dirais donc qu'on peut imaginer une physique où une quantité est conservée et pas l'autre.

Ben, exemple simple, la conservation de l'énergie n'est que locale en RG. Dans un espace-temps en expansion ou en contraction (métrique FLRW), l'énergie n'est pas conservée globalement...

m@ch3

[pierre_18]

Question pour Phys4 :

Je vous rappelle que les lois physiques sont invariantes lors du passage d'un référentiel galiléen à un autre, il n'y a donc a priori pas de raison pour que les énergies chimique, thermique, rayonnante ... soient différentes entre les repères galiléens R et R'. Seule l'expression de l'énergie cinétique est différente puisque les vitesses sont modifiées. Je me place en physique Newtonienne (non relativiste bien sûr. Qu'est-ce qui ne vous paraît pas clair dans mon développement ?

Question pour Deedee81 :
Vous ne semblez pas être d'accord avec ma conclusion (à savoir que la conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé est une conséquence de la conservation de son énergie totale). Pourriez-vous me dire à quel endroit mon raisonnement est incorrect ?

Pierre

[phys4]

Si vous présentez la conservation de la quantité comme conséquence de la conservation de l'énergie, cela ne fonctionnera pas en physique newtonienne.

Considérez une collision inélastique entre deux masses, les énergies se retrouvent distribuées entre énergies internes et cinétiques, comment allez vous démontrer la conservation de l'impulsion ?

[Quarkonium]

Ben, exemple simple, la conservation de l'énergie n'est que locale en RG. Dans un espace-temps en expansion ou en contraction (métrique FLRW), l'énergie n'est pas conservée globalement...

m@ch3

Question peut-être triviale, mais qu'en est-il de la quantité de mouvement ?

[mach3]

Je ne connais pas d'exemple où elle ne serait pas conservée au global. Ca existe peut-être (sans pour autant que ça s'applique à notre univers, je parle de modèles théoriques dans le cadre RG).

m@ch3

[Deedee81]

Pris de vitesse par quarkonium, merci pour la réponse à Dynamix.

Vous ne semblez pas être d'accord avec ma conclusion (à savoir que la conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé est une conséquence de la conservation de son énergie totale). Pourriez-vous me dire à quel endroit mon raisonnement est incorrect ?

Oui, je ne suis pas d'accord puisque j'ai donné deux contre-exemples. Cela suffit à invalider toute démonstration qui dirait que les deux lois de conservation découlent l'une de l'autre.
Dans la démonstration en pdf, il y a forcément des hypothèses implicites qui lient les deux lois de conservation. Comme je le disais, si on fait dériver ces lois d'autres principes, forcément, tout est lié.
Je manque de temps malheureusement pour décortiquer le pdf.
Tout ce peux dire c'est que changer de référentiel est une erreur :
- ce n'est pas nécessaire pour la constance
- ça embrouille tout
- tu risques d'introduire une notion d'invariance qui implique la constance (il me semble que l'hypothèse implicite est là, mais c'est à confirmer)

[coussin]

Théorème de Noether : l'un est l'indépendance par rapport au temps, l'autre l'isotropie de l'espace. Dire que l'indépendance par rapport au temps entraîne l'isotropie de l'espace est "bizarre"...

[Dynamix]

Dans la démonstration en pdf, il y a forcément des hypothèses implicites qui lient les deux lois de conservation

L' expression de l' énergie cinétique .
D' ou sort le mv²/2 ?
Des lois de Newton .

[Deedee81]

L' expression de l' énergie cinétique .
D' ou sort le mv²/2 ?
Des lois de Newton .

J'y ai pensé aussi. Mais faudrait creuser pour voir si c'est bien ça qui entraine le résultat.
Il y a aussi le fait de partir d'une situation donnée.
C'est peut-être un peu tout ça.

[Dynamix]

Je dirais donc qu'on peut imaginer une physique où une quantité est conservée et pas l'autre.

On peut imaginer un monde ou les lois de Newton seraient respectées , mais pas la conservation de l' énergie .
La conservation de la quantité de mouvement serait respectée , vu qu' elle découle des lois de Newton .
Ce qui est contredit ta démonstration .

[mach3]

Question connexe : les 3 lois de Newton impliquent la conservation de la quantité de mouvement et définissent le concept de force, mais rien n'est dit sur l'énergie à ce stade. Axiomatiquement, comment on introduit ça? on postule la formule de l'énergie cinétique? on pose la définition du travail? on postule qu'il y a une quantité conservé par translation dans le temps et on cherche ses expressions possibles? en tout cas ce n'est pas inclut dans le package des 3 lois.

m@ch3

[Quarkonium]

Je ne comprends pas, qu'est-ce qui est contredit ?

[mach3]

@pierre

Je crois que j'ai trouvé la faille.

A la fin du document, vous en arrivez à :



avec tous les termes de droites constants, donc le terme de gauche est constant.

Du fait que est constant, vous concluez que est constant, ce qui est faux. Il s'agit d'un produit scalaire, et avec un produit scalaire, on peut très bien avoir tout en ayant . Exemple dans l'espace euclidien IR² :

(1 2).(4 0) = 4
(1 2).(0 2) = 4
pourtant (4 0) (0 2)

Au mieux vous pouvez dire que la conservation de la quantité de mouvement est compatible avec la conservation de l'énergie (et c'est bien la moindre des choses, le contraire aurait été gênant). La seule implication, c'est que la projection de la quantité de mouvement totale sur doit être constante.

m@ch3

[Deedee81]

On peut imaginer un monde ou les lois de Newton seraient respectées , mais pas la conservation de l' énergie .
La conservation de la quantité de mouvement serait respectée , vu qu' elle découle des lois de Newton .
Ce qui est contredit ta démonstration .

Mais le but n'est PAS d'avoir les lois de Newton respectée.
Le but est d'avoir une démonstration (hors tout cadre théorique supplémentaire) où la conservation de l'un implique la conservation de l'autre.
Et ça, ce n'est pas possible.

Et bien entendu, dire que si les lois de Newton sont respectées alors on a la conservation, c'est évident.

[invite75014153]

Question connexe : les 3 lois de Newton impliquent la conservation de la quantité de mouvement et définissent le concept de force, mais rien n'est dit sur l'énergie à ce stade. Axiomatiquement, comment on introduit ça? on postule la formule de l'énergie cinétique? on pose la définition du travail? on postule qu'il y a une quantité conservé par translation dans le temps et on cherche ses expressions possibles? en tout cas ce n'est pas inclut dans le package des 3 lois.

Bonjour, je ne sais pas si vous posez la question pour que l'auteur y réponde, mais dans le doute : la conservation de l'énergie vient de la seconde loi de Newton, on fait le produit scalaire de chaque membre avec la vitesse (ce qui fait apparaître la dérivée temporelle de Ec, et c'est seulement alors qu'on pose que Ec vaut 1/2 mv², et j'insiste là-dessus, on ne pourrait pas l'affirmer sans la seconde loi de Newton) et on constate que si la force dérive d'un potentiel (c'est là qu'on pose Ep tel que F=-gradEp) on a conservation de Ec+Ep

Aussi vous avez raison en ce qui concerne le manque de rigueur à la fin de la démonstration, cela dit la direction de V est arbitraire et on peut très bien la choisir identique à celle de la quantité de mouvement total.
A vrai dire la démonstration me semble vrai, mais on aurait pu plus simplement dériver par le temps dès la seconde ligne de calcul (donc entre (1) et (2)). On peut alors tout écrire sous forme de vecteur (impulsion scalaire accélération) et le résultat vient tout seul.

Seulement, comme ça a été dit précédemment, du moment où on écrit Ec = 1/2 mv² on a déjà admis la conservation de l'impulsion comme on vient de le voir dans la première partie de mon message.
Je ne suis pas très bon en mécanique analytique, mais je crois me souvenir que pour arriver à cette expression de Ec (où on pose la constante m qui représente la masse) à partir du principe de moindre action on doit d'ailleurs utiliser l'invariance par translation dans l'espace, c'est-à-dire la conservation de l'impulsion.

Donc oui c'est juste, mais c'est comme redémontrer Maxwell Gauss avec la conservation de la charge ! On tourne en rond.

[LPFR]

Bonjour.
Les lois de Newton impliquent la conservation de la quantité de mouvement (dans un système isolé, etc., etc.). Mais non la conservation de l’énergie. Ni même celle de l’énergie mécanique.
La conservation de l’énergie est un principe, qui a toujours été vérifié. Mais il ne se déduit aucune loi, sauf de la thermodynamique où il est simplement énoncé avec d’autres mots.

La démonstration objet de cette discussion, même si elle était correcte, ne pressente aucun intérêt. Car, comme dit plus haut, la quantité de mouvement se conserve, même dans les cas où l’énergie mécanique ne se conserve pas.
Au revoir.

[Dynamix]

Si on peut avoir la conservation de la quantité de mouvement sans la conservation de l' énergie* , ça veux dire que la conservation de la quantité de mouvement est indépendante de la conservation de l' énergie .
Elle n' en est donc pas la conséquence .

*Comme dit mach3 "ce n' est pas inclus dans le package des 3 lois"

[invite75014153]

Je reste un peu sceptique devant le premier exemple car il contredit néanmoins la seconde loi de Newton, on a initialement deux objets de masse M/2 (peu importe qu'ils soient "collés" ou non) qui gagnent une vitesse V/2, donc qui acquierent à un moment une accélération sans qu'aucune force n'ait été mise en jeu. Si on isole un seul de ces objets le PFD est violé.
Et si une force a bien été mise en jeu en revanche cela se traduit par une énergie potentielle, donc le résultat sur l'énergie n'est plus valide.
Je maintiens qu'en posant les définitions d'Ec et Ep, avec une force conservative etc on peut bien démontrer la conservation de l'énergie mécanique par le PFD, ce qui est fait dans le document (mais pas de la manière la plus efficace). Attention, je ne dis pas que c'est la conservation de l'impulsion qui entraîne celle de l'énergie, je dis que le PFD plus la définition d'Ep et Ec entraînent les deux conservations, et que tout exemple respectant complètement le PFD respectera ces deux conservations.
Peut-être que j'ai tort mais je suis sceptique sur certains arguments et certaines réponses que je peux lire et je peux refaire le calcul si besoin est.

[mach3]

la conservation de l'énergie vient de la seconde loi de Newton, on fait le produit scalaire de chaque membre avec la vitesse (ce qui fait apparaître la dérivée temporelle de Ec, et c'est seulement alors qu'on pose que Ec vaut 1/2 mv², et j'insiste là-dessus, on ne pourrait pas l'affirmer sans la seconde loi de Newton) et on constate que si la force dérive d'un potentiel (c'est là qu'on pose Ep tel que F=-gradEp) on a conservation de Ec+Ep
...
Seulement, comme ça a été dit précédemment, du moment où on écrit Ec = 1/2 mv² on a déjà admis la conservation de l'impulsion

je ne suis pas convaincu. On peut très bien prendre les choses dans l'autre sens, ne pas postuler les lois de Newton, mais postuler arbitrairement l’énergie et sa conservation de manière ad hoc et voir si elle implique ou non les lois de Newton, c'est ce qui est recherché dans le document du primoposteur. Mais ce n'était pas là ma question et elle ne s'adressait pas au primo-posteur mais à d'éventuels érudits de passage.

Aussi vous avez raison en ce qui concerne le manque de rigueur à la fin de la démonstration

Pas un manque de rigueur mais une erreur.

m@ch3

[invite75014153]

Juste pour être clair je me permets de mettre ce dont je me souviens du calcul :

définition d'Ec (1) + définition d'Ep (2) + conservation de l'énergie (3) :
(1) Ec = 1/2 mv²
(2) -gradEp = F
(3) d/dt (Ec+Ep) = 0

Avec (1) j'ai dEc = mv.dv=mv.adt
(2) dEp = - F.dr = - F.vdt
(3) dEp/dt = -dEc/dt donc mv.a = v.F où la direction de v est quelconque :

ma=F (PFD)
et si F est nul l'impulsion se conserve.

Et dans l'autre sens ça se fait très bien, il suffit d'intégrer, donc en effet les deux sens sont valides. Il suffit pratiquement de lire de bas en haut

Pas un manque de rigueur mais une erreur.

Si vous voulez, mais elle aurait pu être corrigée par la simple mention "la direction de V est arbitraire" et la démonstration ne perdait pas en généralité.



Encore une fois le point très important à voir ici est que j'ai admis le PFD au moment où j'ai posé "Ec = 1/2 mv²", c'est pourquoi la démonstration se mord la queue, la conservation de l'impulsion n'est pas un résultat mais une hypothèse sans laquelle il n'est pas légitime de donner cette valeur à Ec.

[invite75014153]

la conservation de l'impulsion n'est pas un résultat mais une hypothèse sans laquelle il n'est pas légitime de donner cette valeur à Ec.

* Pardon je voulais dire "la conservation de l'impulsion n'est pas un résultat mais la conséquence d'une hypothèse déjà admise implicitement en (1) (le PFD) sans laquelle il n'est pas légitime de donner cette valeur à Ec."

[Deedee81]

Je vais le répéter car ça n'a pas l'air d'être clair :

Le but n'est pas de postuler que les lois de Newton sont valides et d'en déduire la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie (mécanique, j'aurais dû le préciser plus haut).
Ca c'est archi évident et je ne vois pas l'intérêt d'en débattre.

Le but est de montrer que la conservation de la quantité de mouvement découle de la conservation de l'énergie, indépendamment de tout autre postulat/contexte théorique/... Et ça, j'affirme que c'est impossible.

[invite75014153]

Oui oui, je suis bien d'accord et les exemples sont bons pour montrer que la conservation de p n'implique pas celle de E (et vice versa). Mais j'ai lu plus haut que le PFD n'impliquait pas la conservation de E. Or c'est faux, il implique celle de p et celle de E (mais ce n'était pas le sens de votre exemple, je suis bien d'accord ! Vous parliez de la conservation de p qui est une conséquence du PFD et qui n'est pas le PFD lui-même).

Tout aurait été plus simple si le titre avait été "La conservation de l'énergie mécanique plus la définition de Ec et de Ep impliqueraient le PFD et donc la conservation de l'impulsion ?" car la réponse aurait simplement été "Oui, comme le montre votre démonstration." !

[Deedee81]

Or c'est faux

Il faut juste préciser énergie mécanique, la théorie de Newton ne tient pas compte d'autres formes d'énergie comme la chaleur. Le frottement sec de Newton, par exemple, ne respecte par la conservation de l'énergie mécanique.
Ce n'est qu'un "détail" mais n'empêche je me suis encore mélangé les pinceaux ci-dessus, grumpfffff. C'est vendredi, mon taux de production de co...ie est à son maximum

[invite75014153]

Oui exact, moi aussi j'ai oublié de prendre en compte énergie thermique and co.
Du coup la démonstration en pièce jointe a peut-être plus de valeur que je ne l'imaginais mais je n'ai pas le courage de m'y plonger =]