Moment cinétique en mécanique quantique

[Quantique94]

Bonsoir je suis étudiant en physique , je souhaite poser une question qui concerne le moment cinétique il y'a une relation que je n'arrive pas a comprendre
J produit vectoriel J = i hbar J j'avais compris en cour de mathématiques que le produit véctoriel d'un vecteur avec lui même donne toujours zéro
Merci d'avance
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[phys4]

Bonjour,
Vous avez seulement oublié les indices des axes, la relation que vous citez concerne les trois composantes J_x J_y J_z

c'est [J_x , J_y] = i hbar J_z

[Amanuensis]

La formule avec "produit vectoriel" s'applique en prenant le "vecteur" J = .

L'écriture est une écriture "symbolique" (disons "mnémotechnique") pour écrire de manière "synthétique" les trois formules, celle qu'indique Phys4 et les deux autre s'obtenant par permutation circulaire.

Le "problème" vient de ce que ce J n'est pas un "vrai" vecteur (ses "composantes" sont les opérateurs, pas des scalaires), et le résultat à 0 ne s'y applique pas. (Cela d'ailleurs manifeste la différence entre mécanique quantique et mécanique classique: en classique, les composantes sont des scalaires, et le résultat est nul.)

Une écriture synthétique un peu plus rigoureuse serait , où les [] dans les indices indique que les permutations circulaires positives donnent les différentes formules.

Il y a encore bien d'autres notations pour exprimer la propriété.

[Quantique94]

Merci infiniment j'y vois plus clair donc la régle du produit véctoriel d'un vecteur avec lui même nul n'est valable que si les composantes sont scalaires

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

En termes plus généraux, quand la "multiplication" est commutative, ce qui est le cas pour les scalaires réels ou complexes, mais par pour les opérateurs.