Vitesse, quantité de mouvement et groupes

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai entendu dire il n'y a pas très longtemps que l'égalité de la quantité de mouvement posait problème formellement, puisque les vecteurs et vivaient dans des espaces vectoriels différents. Pour rendre les choses rigoureuses, il était question de groupes, mais je n'ai pas eu de détails sur le sujet.

Quelqu'un aurait-il une explication ou une référence sous la main ?

Merci d'avance,
Seirios
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[Amanuensis]

Groupe, je ne sais pas ; références, pas sous la main.

Deux points, peut-être utiles, peut-être pas:

a) La relation est en mécanique du point matériel. Si on va plus loin, on peut, sans aller jusqu'à la mécanique analytique, s'intéresser à la mécanique d'un solide, soit avec six degrés de liberté au lieu de trois. La modélisation fait appel aux «torseurs» et on constate alors que la relation ne peut pas être entre espaces vectoriels de propriétés identiques. Et la relation se présente comme une application linéaire d'un espace sur l'autre, application qui s'exprime, en toute généralité avec des bases quelconques, comme une matrice réelle 6x6.

b) Diverses considérations, dont principalement la formule donnant le travail comme un scalaire obtenu à partir de la dérivée de p (la force) et l'intégrale de v (le déplacement) amènent à penser que p vit dans un espace vectoriel dual de v (le produit naturel ayant la dimension de l'énergie). C'est confirmé par l'analyse du cas des torseurs, ou par la mécanique hamiltonienne (notions de vitesse et impulsion généralisées).

Cela amène à considérer que même dans p=mv, mécanique du point matériel, p et v vivent dans des espaces différents, duaux l'un de l'autre à un certain sens, et qu'un tenseur est tacitement présent dans la formule (ou même que m doit être vu comme un tenseur d'inertie, , application linéaire entre deux espaces vectoriels). L'espace étant euclidien, une montée ou descente d'indice peut rester implicite sans problème.

[Resartus]

Bonjour,
Il y a en effet une différence : si on considère que les coordonnées, les vitesses et les accélérations appartiennent à un espace vectoriel, l'impulsion appartient au dual de cet espace (l'espace des formes linéaires*).
On peut trouver des isomorphismes entre un espace vectoriel et son dual, mais ces isomorphismes ne sont pas "canoniques", c'est à dire qu'ils vont dépendre du choix de coordonnées. Il n'existe un isomorphisme simple entre les deux qu'en coordonnées cartésiennes orthonormées.
et évidemment, on va préférer se placer dans ce cas pour exprimer des équations du mouvement.

Mais quand ce n'est pas possible, il faut faire beaucoup plus attention.

Par exemple, en relativité générale, les indices des tenseurs peuvent être contravariants (se transformer comme des vecteurs lors d'un changement de coordonnées) ou covariants (se transformer comme des formes linéaires), et le passage de l'un à l'autre doit se faire via le tenseur métrique.

Même dans un espace bêtement euclidien, il suffit de se placer en coordonnées sphériques pour constater que les formules du gradient ou de la divergence deviennent bien plus compliquées.

*ce dont on peut se convaincre en voyant qu'on peut l'exprimer comme une dérivée du lagrangien (qui est un scalaire) par rapport aux coordonnées : les coordonnées apparaissant au dénominateur, c'est une forme...