Principe d'équivalence et rythme des horloges

[chaverondier]

En gros, si je comprends bien, postuler qu'il est possible de trouver des horloges idéales dans la nature revient à postuler que la nature est descriptible par une variété différentiable...

...Munie d'une métrique Pseudo-Riemanienne, cad d'un tenseur symétrique d'ordre deux de signature +---, tenseur métrique auquel on peut associer de façon unique la connexion dite de Levi-Civita. Elle correspond à l'unique transport parallèle (d'un espace tangent à l'espace tangent voisin) qui soit compatible avec cette métrique (1).

Formulé autrement et plus précisément, le principe d'équivalence suppose que, dans le voisinage de n'importe quel point p de l'espace temps, il existe un système de coordonnées tel que la métrique de cet espace-temps (possiblement globalement très compliqué), s'exprime localement comme (i.e. ). Un tel système de coordonnées est interprété comme un système localement inertiel (ou localement inertiel avec l'origine en p)

Non, ça ne suffit pas. L'exigence n'est pas seulement que la métrique prenne la forme orthonormée ci-dessus. L'exigence ci-dessus correspond seulement à la demande que l'axe des x, l'axe des y et l'axe des z soient deux à deux orthogonaux et que la direction du temps soit orthogonale à celle de l'espace (pour la métrique considérée). Un système de coordonnée localement orthonormé n'est pas nécessairement localement inertiel.

Pour qu'un système de coordonnées soit localement inertiel, on demande en plus (et c'est même plus important que son orthonormalité) que la connexion de Levi-Civita soit nulle (nullité des symboles de Christoffel). C'est cela qui garantit, localement, la nullité de l'accélération des observateurs au repos et le respect "local" des équations de la physique dite de laboratoire (le respect des équations valides en RR, cad en apesanteur). Plus précisément, en RG, le respect dit local des équations de la physique dite de laboratoire se traduit mathématiquement par l'existence de systèmes de coordonnées orthonormés et localement inertiels ainsi que par la nullité de la dérivée spatio-temporelle des équations valides en RR (cad en apesanteur) dans ces systèmes de coordonnées.

Dans un tel système de coordonnées, la dérivée classique de la métrique est nulle (la dérivée covariante l'est aussi, mais la dérivée covariante de la métrique est nulle dans tous les systèmes de coordonnées contrairement à la dérivée classique qui ne l'est que dans les systèmes de coordonnées localement inertiels qu'ils soient orthonormés ou pas). Du coup, dans les systèmes de coordonnées inertiels, la dérivée classique est égale à la dérivée covariante.

Le plus difficile était que ce que j'avais en tête comme principe d'équivalence, c'est l'égalité entre masse inertielle et masse gravitationnelle.

Et poutant, c'est bien ça (à des subtilités mathématiques près qui font qu'il y a, me semble-t-il, proche parenté mais pas stricte équivalence mathématique) puisque l'égalité masse inertielle/masse gravitationnelle correspond à l'existence, en chaque point d'espace-temps, d'au moins un système de coordonnées accéléré (par rapport à celui où on observe un champ de pesanteur), qui efface localement l'action de la pesanteur (cad qui soit localement inertiel). Ce sont les systèmes de coordonnées où la connexion de Levi-Civita s'annulle "localement" (en fait ponctuellement, mais localement est le terme consacré). BC
(1) On dit qu'on a affaire à une G-structure avec pour groupe G le groupe de Lorentz.
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[Lévesque]

Non, ça ne suffit pas.

Vous avez raison. Il faut que ET que . Mais je ne suis pas certain de comprendre parfaitement la subtilité.

Supposons que j'impose seulement , je ne me retrouve pas en RR?

Je ne suis pas certain, parce qu'il me semble qu'on peut traiter l'accélération en RR... Pour le calcul du temps propre par une intégrale (dans l'expérience des jumeaux), ne suppose-t-on pas justement que pour un court instant, on peut traiter les deux systèmes en accélération relative comme étant momentanément à vitesse constante?[1]

Est-ce que d'imposer que la dérivée covariante de la métrique soit nulle implique justement que, sur un court intervalle de temps, on puisse considérer les systèmes en accélération relative comme ayant momentanément une vitesse relative constante?

Si oui, alors je crois assez bien comprendre.

Merci pour la précision très importante,

Cordialement,

Simon

[1] Une petite question, je me demande dans quels phénomènes physiques cette hypothèse ne donnerait pas les bons résultats? Plus l'accélération est grande, plus l'hypothèse est fausse, mais on peut toujours prendre un temps plus petit pour compenser? Si le temps était quantifié, alors là, on aurait des problèmes.

[invité576543]

Bonsoir,

Je ne comprend pas la polarisation sur l'aspect orthonormé de la métrique. Cela ne devrait avoir aucune importance. La condition suffit, non?

Cordialement,

[chaverondier]

Vous avez raison. Il faut que ET que . Mais je ne suis pas certain de comprendre parfaitement la subtilité.
Supposons que j'impose seulement je ne me retrouve pas en RR?

Non. En simplifiant un peu, mais en gardant l'idée générale, avoir un mètre de longueur f(t=0,x=0)=1 à l'intant initial t=0 à l'origine x=0 et df(0,0)=0 nous apporte la garantie que notre mètre est "localement" un bon mètre (cad un mètre qui reste bon si on n'attend pas trop longtemps et si on ne s'écarte pas trop de l'origine des x). Ce n'est pas le cas si on a seulement f(t=0,x=0)=1.

Est-ce qu'imposer à la dérivée covariante de la métrique d'être nulle implique justement que, sur un court intervalle de temps, on puisse considérer les systèmes en accélération relative comme ayant momentanément une vitesse relative constante?

Imposer que la dérivée covariante de la métrique soit nulle oblige cette dérivée covariante à reposer sur la connexion de Levi-Civita (l'unique connexion qui respecte la métrique). C'est uniquement avec cette connexion là que l'on a partout:

divergence covariante (tenseur énergie-impulsion) = 0

Cette équation est l'expression covariante du fait que toute quantité d'énergie-impulsion perdue par les champs d'énergie matière est gagnée par le champ gravitationnel (et vice-versa) (1). Cette covariance signifie que l'équation reste valide dans tous les systèmes de coordonnées considérés (qu'ils soient inertiels ou pas). Elle exprime donc une propriété indépendante de l'observateur (du moins dans l'état actuel de nos connaissances).

Par contre, dans les systèmes de coordonnées localement inertiels, cette équation peut s'écrire localement: Divergence classique (tenseur énergie-impulsion) = 0, C'est donc une expression non covariante de la même équation (2).

En effet, dans les systèmes de coordonnées inertiels, la nullité de la connexion de Levi-Civita (découlant de la platitude de la métrique, dans les référentiels inertiels, c'est à dire de la nullité de la dérivée classique de la métrique dans ces système de coordonnées) conduit à l'égalité (dite locale, mais on devrait dire ponctuelle) entre divergence classique et divergence covariante. BC

(1) L'aspect conservation de l'énergie-impulsion en RG est d'ailleurs un point sur lequel on voit parfois écrit des erreurs même sur des sites sérieux. Une incompréhension de la signification physique de l'équation div_covariante(T)=0 a même été à l'origine d'un modèle cosmologique (peu connu, mais au début il m'avait plu) qui s'est avéré reposer sur des bases physiques fausses quand j'ai compris ce point.

(2) Cette expression non covariante de la conservation de l'énergie-impulsion n'est plus valide dans un système de coordonnées non inertiel précisément parce que ce n'est pas une expression covariante.

[Lévesque]

Bonsoir,

je n'ai pas la prétention de tout comprendre (je suis présentement à suivre mon 1er cours de RG à vie), je vais seulement essayer de rassembler des trucs trouvés dans les bouquins qui m'entourent. Pour l'instant, une remarque:

Dans mon dernier message, j'ai écrit:

" ET ". Plus loin, je parle de la dérivée covariante, alors que mon "," n'était pas une erreur typographique. Il semble que seulement la dérivée ordinaire doit être nulle (j'ai vérifié dans 2 éditions).

À plus tard,

Simon
edit: croisement avec B.C.

[Lévesque]

Merci encore Bernard pour les précisions.

Concernant l'interrogation de mmy, je suggère d'aller voir mes notes de cours en ligne (les notes de Mme Durrer), à la section 4.3 et 7.3 (p.43 et 87 dans mon édition).

Je pense que c'est trop bien expliqué pour tenter de le reproduire ici.

Salutations,

Simon

[invité576543]

Mon point sur les composantes de la métrique est assez simple.

Si on explicite la métrique dans toutes les lois où elle intervient (les normes, mais aussi les montées et descentes d'indice) alors les lois de la physique ont une forme unique dans un repère inertiel, quels que soient les composants de la métrique.

Evidemment, cela complique pas mal les choses, une notion comme l'énergie doit être présentée comme un produit scalaire et non comme un composant du qv; la direction du temps de même, etc.

Mais imposer la forme diagonale est juste du confort, pas une nécessité.

Ce qui caractérise un espace plat, c'est l'existence d'un changement de référentiel (non Lorentzien, évidemment) identique en tout point-moment qui mettrait la métrique sous forme diag(+ - - -) ou l'autre selon, et non pas la forme diagonale en elle-même.

Enfin, c'est ce que je comprend...

(L'un de mes problèmes d'ailleurs, est de lire des cours comme celui que tu indiques en essayant de faire le tri entre ce qui vient du choix de présentation "par composantes" et la compréhension des formules et principes indépendamment des composantes.)

Cordialement,

[chaverondier]

Dans mon dernier message, j'ai écrit: " ET ". Plus loin, je parle de la dérivée covariante, alors que mon "," n'était pas une erreur typographique. Il semble que seulement la dérivée ordinaire doit être nulle (j'ai vérifié dans 2 éditions).

La dérivée covariante de la métrique (la dérivée covariante est représentée par un point virgule) est nulle dans tous les systèmes de coordonnées. La dérivée classique de la métrique (la dérivée classique est représentée par une virgule) est nulle dans tous les référentiels localement inertiels. BC

[invité576543]

... dans tous les référentiels localement inertiels. BC

localement inertiel en tout point et tout instant, j'imagine; pas localement localement inertiel

[Lévesque]

Ce qui caractérise un espace plat, c'est l'existence d'un changement de référentiel (non Lorentzien, évidemment) identique en tout point-moment qui mettrait la métrique sous forme diag(+ - - -) ou l'autre selon, et non pas la forme diagonale en elle-même.

Cherche la condition qui te garantie qu'un tel changement de référentiel existe. Tu trouveras la réponse à ta question.

Indice: regarde les notes de cours de Durrer, Définition 5.5, et théorème 5.3 et sa démonstration, p.59.

[Lévesque]

L'un de mes problèmes d'ailleurs, est de lire des cours comme celui que tu indiques en essayant de faire le tri entre ce qui vient du choix de présentation "par composantes" et la compréhension des formules et principes indépendamment des composantes.

Tu veux dire faire la part entre ce qui est exprimé en terme des coordonnées locales et ce qui est exprimé en terme de coordonnées générales?

[Lévesque]

localement inertiel en tout point et tout instant, j'imagine; pas localement localement inertiel

Il veut dire que si tu fais une transfo d'un système de coordonnées général xi vers un systèmes de coordonné localement inertiel (x,U) ou U est son domaine, alors pour tout point x de ce système de coordonnés la dérivée ordinaire de la métrique sera nulle. Si tu fais un changement de coordonné, la dérivée ordinaire dans ce nouveau système ne sera pas (nécessairement) nulle.

[chaverondier]

Une notion comme l'énergie doit être présentée comme un produit scalaire et non comme un composant du quadri vecteur énergie-impulsion

Ah non justement. L'énergie doit être présentée comme une composante du quadri-vecteur énergie-impulsion et non comme un produit scalaire. L'énergie n'est pas invariante par changement de référentiel inertiel. Ce n'est donc pas un scalaire de Lorentz contrairement à la masse au repos des particules.

La direction du temps de même, etc.

Même remarque très importante d'ailleurs. Il n'y a pas systématiquement de flèche privilégiée du temps en Relativité Générale. La durée qui s'écoule entre deux événements voisins est une composante de type temps du quadri vecteur qui les relie et non un scalaire de Lorentz.

L'hypothèse d'existence d'une flèche du temps privilégiée en chaque point de l'espace-temps, cad d'un champ de vecteurs température (1) engendrant un flot géométrique privilégié (en violation de l'invariance de la Relativité Générale vis à vis des changements locaux de référentiels inertiels) est un modèle mathématique présentant les caractéristiques physiques de ce que l'on a parfois tendance à appeler un éther (2). On peut la relier à l'hypothèse dite du temps thermique. Il s'agit d'une hypothèse thermodynamique présentée notamment dans un papier de Rovelli extrèmement intéressant (hypothèse qui me semble prometteuse bien qu'elle ne soit pas encore très développée). Ce papier a été signalé il n'y a pas longtemps par mtheory. BC

(1) définissant du même coup
* le fibré vectoriel des hyperplans de simultanéité locale privilégiés orthogonaux à ce champ de vecteurs,
* une métrique spatiale sur ce fibré induite par la métrique spatio temporelle
* une connexion respectant cette métrique spatiale, ces éléments définissant une structure qualifiée, semble-t-il, de Galiléenne (terme que je trouve mal choisi, car cette structure ne respecte pas l'invariance Galiléenne. J'aurais donc préféré qu'elle soit appelée structure Aristotélicienne puisqu'on peut lui associer une G-structure dont le groupe G est le groupe d'Aristote, mais bon...). J'ai vu ça dans un papier qui m'a été transmis par e-mail par un participant de futura-science.

(2) Le terme d'éther est un peu vague car il peut recouvrir des modèles mathématiques de la gravitation différents bien que présentant des ressemblances physiques. Ces ressemblances se traduisent par un dénimonateur commun : la possibilité d'envisager une violation de l'invariance de Lorentz permettant de définir, au moins localement, une famille de référentiels inertiels privilégiés donnant lieu à une notion de référentiel local de repos et de mesure du temps privilégiée associée à cette famille de référentiels localement inertiels privilégiés.

[invité576543]

Cherche la condition qui te garantie qu'un tel changement de référentiel existe. Tu trouveras la réponse à ta question.

Indice: regarde les notes de cours de Durrer, Définition 5.5, et théorème 5.3 et sa démonstration, p.59.

Je n'ai pas de question! Je m'étonnais de cette polarisation sur la forme de la métrique. J'ai le MTW sous la main, et ce que j'écrivais y est à peu près en clair...

Cordialement,

[chaverondier]

Localement inertiel en tout point et tout instant, j'imagine; pas localement localement inertiel

Un référentiel localement inertiel en tout point et à tout instant est un référentiel globalement inertiel. Quand existe un référentiel globalement inertiel, alors, sauf topologie un peu bizarre comme celle de l'espace-temps statique hypertorique, ça veut dire qu'on est dans l'espace-temps de Minkowski. BC

[invité576543]

Ah non justement. L'énergie doit être présentée comme une composante du quadri-vecteur énergie-impulsion et non comme un produit scalaire.

E = p.u, en signature +---, avec p le quadrivecteur énergie-impulsion et u le qv dx/dtau

Ca donne l'énergie dans le repère à vitesse u

C'est général, et évite de parler de composante...

Cordialement,

[Rincevent]

L'énergie doit être présentée comme une composante du quadri-vecteur énergie-impulsion et non comme un produit scalaire. L'énergie n'est pas invariante par changement de référentiel inertiel. Ce n'est donc pas un scalaire de Lorentz contrairement à la masse au repos des particules.

l'énergie est bel et bien un scalaire lorsqu'on la définit comme il faut : de manière opératoire. C'est-à-dire qu'on ne peut pas parler de l'énergie d'une particule dans l'absolu (cela aucun sens), mais il faut parler de "l'énergie mesurée par un observateur donné". Ainsi, étant donnée une particule de quadri-impulsion P, l'énergie de cette particule pour un observateur de quadrivitesse V est le scalaire P.V (à un signe près).

[edit] croisement

[invité576543]

Un référentiel localement inertiel en tout point et à tout instant est un référentiel globalement inertiel. Quand existe un référentiel globalement inertiel, alors, sauf topologie un peu bizarre comme celle de l'espace-temps statique hypertorique, ça veut dire qu'on est dans l'espace-temps de Minkowski. BC

Alors l'interprétation de la phrase initiale était que la dérivée classique est localement nulle ?

[chaverondier]

Alors l'interprétation de la phrase initiale était que la dérivée classique est localement nulle ?

C'est ça. Dans les référentiels localement inertiels, la dérivée classique de la métrique est (localement) nulle. Au contraire, la dérivée covariante de la métrique est nulle partout et quelque soit le systèmes coordonnées considéré.

A noter que ma réponse sur la distinction entre composante de type temps d'un quadri-vecteur et scalaire de Lorentz appliquée au cas particulier du quadrivecteur reliant deux événements voisins est largement aussi critique que ce point là. BC

[invité576543]

Même remarque très importante d'ailleurs. Il n'y a pas systématiquement de flèche privilégiée du temps en Relativité Générale.

Même remarque que pour l'énergie (c'est dual!). La direction du temps est une notion relative, et n'est définie que conjointement à l'indication d'un observateur. La direction du temps est u, la vitesse, tout simplement. La durée mesurée entre deux événements par un observateur est u.AB

Cordialement,

[chaverondier]

l'énergie est bel et bien un scalaire lorsqu'on la définit comme il faut : de manière opératoire. C'est-à-dire qu'on ne peut pas parler de l'énergie d'une particule dans l'absolu (cela aucun sens), mais il faut parler de "l'énergie mesurée par un observateur donné". Ainsi, étant donnée une particule de quadri-impulsion P, l'énergie de cette particule pour un observateur de quadrivitesse V est le scalaire P.V (à un signe près).

Alors qu'au contraire on peut parler de l'énergie de masse au repos dans l'absolu. Je suis d'accord avec votre remarque, mais c'est un problème sémantique, pas un problème de fond. Cela dit, je connais certaines personnes qui sont très à cheval sur ce type distinction et qui me reprennent quand j'ai le malheur d'évoquer le fait qu'on peut considérer l'énergie comme un scalaire sous la réserve que vous indiquez. Comme je suis finalement assez docile...BC

[Lévesque]

Si j'ai bien compris...


Le truc, c'est que quand on réduit l'échelle, on se retrouve sur un petit domaine U de l'espace-temps globalement compliqué. Si on centre ce domaine sur un point p, il faut que la métrique à ce point p soit la métrique Minkowskienne.

Mais même si la métrique est Minkowskienne à ce point, rien ne nous garantit qu'elle l'est sur le petit domaine U : un changement de coordonnées (qui ne sort pas de U) pourrait nous donner une métrique différente.

Exiger que la dérivée (normale) de la métrique soit nulle dans le petit domaine U force la métrique à être Minkowskienne sur tout le domaine U.

Ensuite, on peut conclure que la RR s'applique à tout notre petit domaine U.

C'est ça?

Cordialement,

Simon

[invité576543]

Alors qu'au contraire on peut parler de l'énergie de masse au repos dans l'absolu. (...) c'est un problème sémantique

C'est bien pour cela que je préfère parler de masse, et surtout pas d'énergie de masse au repos. L'énergie est relative, la masse est absolue. Et il n'y a plus de problème sémantique...

Cordialement,

[Rincevent]

c'est un problème sémantique, pas un problème de fond.

je ne suis pas d'accord : toute la physique en RG peut se formuler de manière absolument géométrique et sans faire appel à la notion de "composantes" de 4V ou 4-tenseurs. C'est très important et c'est uniquement en écrivant les lois de cette façon (géométrique) qu'on vérifie le "principe de relativité" et parle de quantité physique.

Ensuite, on peut conclure que la RR s'applique à tout notre petit domaine U.

Pour comprendre/sentir le sens physique, oublie pas que tu as l'identité (pseudo-force d'inertie <-> Christoffel). Le fait qu'il existe un référentiel dans lequel les dérivées de la métrique sont nulles signifie qu'il existe un référentiel dans lequel y'a pas de forces d'inertie (lesquelles incluent la gravitation).

[BioBen]

Pour comprendre/sentir le sens physique, oublie pas que tu as l'identité (pseudo-force d'inertie <-> Christoffel). Le fait qu'il existe un référentiel dans lequel les dérivées de la métrique sont nulles signifie qu'il existe un référentiel dans lequel y'a pas de forces d'inertie (lesquelles incluent la gravitation).

Trop bien ca je l'ai vu en cours je comprends enfin un peu ce dont vous êtes en train de parler

[chaverondier]

Le truc, c'est que quand on réduit l'échelle, on se retrouve sur un petit domaine U de l'espace-temps globalement compliqué. Si on centre ce domaine sur un point p, il faut que la métrique à ce point p soit la métrique Minkowskienne.

Mais même si la métrique est Minkowskienne à ce point, rien ne nous garantit qu'elle l'est sur le petit domaine U : un changement de coordonnées (qui ne sort pas de U) pourrait nous donner une métrique différente.

Exiger que la dérivée (normale) de la métrique soit nulle dans le petit domaine U force la métrique à être Minkowskienne sur tout le domaine U.

Oui, au terme normal près dont je ne vois pas la signification que vous lui attribuez. C'est la différentielle de la métrique dans la carte considérée qui doit s'annuller sur U (l'application linéaire tangente qui va de IR^4 dans IR^10) et à condition "que U soit infinitésimal" (c'est une façon "physicienne" de présenter les choses). Cette condition "d'infinitésimalité" de U est nécessaire car si la courbure de l'espace-temps est non nulle en ce point on ne peut pas annuler la dérivée de la métrique sur un voisinage du point p. Le terme de "local" traditionnellement employé n'est donc pas très heureux.

Ensuite, on peut conclure que la RR s'applique à tout notre petit domaine U. C'est ça?

Oui, toujours sous la même réserve "d'infinitésimalité" de U. BC

toute la physique en RG peut se formuler de manière absolument géométrique et sans faire appel à la notion de "composantes" de 4V ou 4-tenseurs. C'est très important et c'est uniquement en écrivant les lois de cette façon (géométrique) qu'on vérifie le "principe de relativité" et parle de quantité physique.

Bien sûr. Ma réponse ne remettait pas du tout en cause ce point essentiel de la RG.

Le caractère covariant de l'écriture tensorielle propre à la RG c'est ce qui donne à cette formulation son indépendance vis à vis du choix de tel ou tel système de coordonnées. C'est la formulation tensorielle qui met en évidence le caractère géométrique des grandeurs physiques qu'elle manipule. Je suis bien d'accord sur ce point et si ma réponse semblait dire le contraire, c'est que je l'ai très mal présentée. BC