Equation du mouvement - système à masse variable

[druloras]

Bonjour,

J'essaie de modéliser la perte d'hélium dans un ballon dirigeable rigide.
Le système doit suivre cette équation

Fext + Vrelatif*dm/dt = m*accélération(centre de gravité)

Si on suppose que je suis dans le vide, sans force extérieure, et que le gaz est éjecté à une vitesse négligeable (nulle), l'accélération du centre de gravité du système devrait être nulle.
J'ai du mal avec la notion de l'accélération du centre de gravité du système. En effet, l'objet matériel en lui même ne bouge pas. Mais le centre de gravité du système ouvert lui bouge, car la distribution de masse n'est plus la même. Je trouve donc que la formulation de l'équation ci dessus est incorrecte, mais je ne sais pas quoi écrire à la place pour décrire le mouvement de mon système ouvert qui devrait rester immobile pour chaque point matériel mais dont le centre de gravité se déplace.

Merci d'avance pour votre retour!
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[Resartus]

Bonjour,
Vous ne pouvez pas supposer une vitesse d'éjection nulle, parce qu'alors le gaz va rester la ou il est (dans le ballon…) et il n'y aura aucune force.

Ce qui est le plus simple pour la modélisation est de raisonner en impulsion : on suppose un certain flux de gaz vers l'arrière, avec une certaine vitesse ve par rapport au ballon, et on écrit la conservation de l'impulsion totale : on éjecte l'impulsion ve*dm et le reste du ballon reçoit donc une impulsion en sens inverse -m.dvb, d'où la variation de vitesse dvb=-ve.dm/m (ou vb est la vitesse du ballon a chaque instant et m la masse restante (gaz+enveloppe)
En intégrant on obtient que vb=-ve*ln(n)+cste et on peut exprimer la constante en fonction de la masse initiale m0 : vb=-ve.ln(m/m0)

Si vous préférez raisonner en accélération, la force subie par le ballon vaut ve*dm/dt et cela produit une accélération gammab=-ve.dm/dt/m
(ce qui donne bien évidemment le même résultat)

Il faut noter cependant que dans l'air les frottements auront tôt fait d'amener le ballon à une vitesse limite par rapport à l'air ambiant. Il faut alors calculer la vitesse limite tq la force de résistance aerodynamique compense l'éjection

[Amanuensis]

En écrivant l'équation de la dynamique comme F = dp/dt, avec p = mv, il vient F = m dv/dt + v dm/dt

L'équation du message #1 est donc (à un signe conventionnel près) une conséquence directe des équations de base. Difficile de dire qu'elle n'est pas correcte.

Il ne faut pas oublier que cette équation n'est valide que dans un référentiel inertiel, ce que ne peut pas être, dans le cas étudié, le «référentiel de l'objet», un référentiel relativement auquel il est immobile («l'objet matériel en lui même ne bouge pas»).

Par contre on peut trouver un référentiel relativement auquel le centre de masse (de gravité) du système isolé est immobile. Isolé signifiant qu'on prend en compte ce qui est éjecté.

mais je ne sais pas quoi écrire à la place pour décrire le mouvement de mon système ouvert qui devrait rester immobile pour chaque point matériel mais dont le centre de gravité se déplace.

Ce que vous suggérez là est de trouver le mouvement du centre de masse dans un référentiel non inertiel. C'est possible, mais compliqué (faut gérer des «pseudo-forces)», et pas vraiment utile.

Il est plus simple et plus efficace de travailler avec un centre de masse immobile.

[druloras]

Merci pour vos réponses.

Je n'ai pas encore la solution à mon problème, et je pense que je vais le reformuler pour cela.
Je me place dans un repère fixe inertiel (O,x,y). Je dispose d'un objet rectangulaire, qui au cours du temps va perdre de la masse en partant du dessus à la vitesse dm/dt. On peut voir cela comme si cette masse se désolidarise de l'objet au cours du temps, et à chaque pas de temps dt un couche de masse dm et de hauteur dy se détache. L'objet va à une vitesse initiale V.
Je souhaite écrire l'équation du mouvement pour l'objet rectangulaire au cours du temps dans 3 cas (cf image jointe).

Cas 1) l'objet n'est soumis à aucune force et perd de la masse
Cas 2) L'objet est soumis à une force constante et ne perd pas de masse
Cas 3) L'objet est soumis à une force constante dans son repère (par exemple un moteur fixe) et perd de la masse.

Le cas qui m'intéresse réellement est le cas 3). Quelle équation doit être écrite pour décrire le mouvement ? Dois-je l'écrire au centre de gravité ou à un point matériel fixe pour l'objet?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Un point clé est que devient la masse perdue, quel est son mouvement. D'après le dessin, elle reste à l'endroit où est l'objet dans le référentiel fixe.

[Dynamix]

Salut

Cas 1) l'objet n'est soumis à aucune force et perd de la masse

Impossible .

Cas 2) L'objet est soumis à une force constante et ne perd pas de masse

D' ou vient la force ?

Dois-je l'écrire au centre de gravité ou à un point matériel fixe pour l'objet?

Le "point matériel fixe pour l'objet" est accéléré , donc pas le meilleur choix .
Le centre de masse de l' ensemble "boite rectangulaire + gaz" est le meilleur choix .

[druloras]

Considérons que la masse libérée n'a plus aucune interaction avec notre objet à partir du moment où elle est libérée.

[Dynamix]

Considérons que la masse libérée n'a plus aucune interaction avec notre objet à partir du moment où elle est libérée.

Cela ne répond pas à la question ; que devient cette masse ?

[Amanuensis]

En supposant que j'aie bien compris:

On applique l'équation dans le référentiel fixe (galiléen) et à tout le système, avec m pour la masse de l'objet et m' pour la masse totale éjectée. Par hypothèse dm+dm' = 0, conservation de la masse, ce que perd l'objet augmente d'autant la masse totale éjectée).

Cas 1), l'objet garde sa vitesse (0 = mdv/dt + v dm/dt - v dm'/dt, donc dv/dt = 0)

Cas 2) équation usuelle

Cas 3) F = mdv/dt + v dm/dt - v dm'/dt, soit F = m dv/dt, on se retrouve avec l'équation usuelle. C'est dû à ce que la masse éjectée dm' garde la vitesse qu'elle a juste avant l'éjection. Dans le cas de l'éjection pour propulsion (cas d'une fusée) la vitesse d'éjection est différente, elle n'a pas cette propriété.

Conséquence pratique: l'accélération va augmenter petit à petit, au fur et à mesure de la perte de masse.

[druloras]

Cela ne répond pas à la question ; que devient cette masse ?

On considère qu'on se déplace dans le vide. Elle se déplace alors à vitesse constante à partir du moment de la séparation car soumise à aucune force.

[druloras]

En supposant que j'aie bien compris:


Cas 3) F = mdv/dt + v dm/dt - v dm'/dt, soit F = m dv/dt, on se retrouve avec l'équation usuelle. C'est dû à ce que la masse éjectée dm' garde la vitesse qu'elle a juste avant l'éjection. Dans le cas de l'éjection pour propulsion (cas d'une fusée) la vitesse d'éjection est différente, elle n'a pas cette propriété.

Conséquence pratique: l'accélération va augmenter petit à petit, au fur et à mesure de la perte de masse.

Cette réponse me convient très bien. On aurait donc F = m(t)*dv/dt, mais cela ne rend pas compte de l'effet de rotation du cas 3) du au fait que le centre de gravité se décale avec le temps de l'axe de poussée.

[Amanuensis]

Là ça complique. Faut modéliser le moment cinétique, et il y manque des données.

Ne le prenez pas pour de la mauvaise volonté, mais le forum n'est pas là pour tout faire. Juste une aide à temps limité (ce sont des bénévoles qui répondent, qui vous donnent leurs temps), genre comprendre une proposition et dire si c'est correct ou pas.

[druloras]

Merci beaucoup pour votre aide!

Ca m'a déjà éclairci pas mal de chose. Je vais continuer à plancher là dessus

Bonne fin de journée