Développement limité à l'ordre 1

[Alex1504]

Bonjour, je vais rentrer en prépa l'an prochain et mon futur prof de physique demande de travailler sur des cours qu'il a mis sur internet. Et je ne comprend pas comment utiliser des formules sur le développement limité à l'ordre 1. En gros, il nous indique qu'au voisinage de 0, (1+x)^a~1+ax (ainsi que d'autres formules mais c'est celle-là qu'il faut utiliser le plus souvent).
Puis, il indique qu'en bidouillant, meme si x n'est plus au voisinage de 0 mais de b, on peut dire que
x=b*(1+(x-b)/b) et qu'on retrouve bien 1+ un truc affine proche de 0 (pour être précis: "petit devant 1"). Donc on peut appliquer la formule précédente.
On a 1 ou 2 exemples assez simples (genre 1/x^3 à linéariser au voisinage de d). Puis on passe à un exo à faire (pas corrigé, évidemment) où ça devient plus difficile et où je ne vois vraiment pas comment appliquer les formules sur la linéarisation. On a à réaliser le développement limité à l'ordre 1 de:
f(v)= -b(v^2-r^2) pour (v-r)/r<<r
T(d)=(-GM)/(D-d)^2+(GM)/D^2 pour d<<D
T(x)= (-GM(D+x))/((D+x)^2+y^2)^1.5
En gros c'est surtout f(v) où je vois pas du tout car la condition sur v et r me semble vraiment étrange.
Par ailleurs, je sais que l'on passe normalement par t(b)=f(b)+f'(b)(x-b) mais notre prof veut qu'on utilise les formules si x proche de 0 pour "aller plus vite".
Dernière question, si on a r+(1+x)^a (si x proche de 0) est ce que à après développement limité on a
r+1+ax ou est-ce que le r est modifié?
Je sais que ça marche pour les produits mais pour les sommes, je ne sais pas.
Bref, désolé si c'est aussi long mais je voulais être le plus clair possible... Merci d'avance pour vos réponses!
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[albanxiii]

Bonjour,

Avez-vous l'énoncé exact ? À moi aussi il semble qu'il y a un truc qui cloche...

[Alex1504]

Le cours:au mot près:
I) Développements limités à l'ordre 1 utiles en physique
Au voisinage de 0
exp(x)~1+x
(1+x)^a~1+ax
ln(1+x)~x
sin(x)~x
cos(x)~1
Exemple
(1+x)^3~1+3x
On remarque que le développement limité ne change pas l'homogénéité de la formule

II)Méthode
Dans la plupart des cas, l'utilisation de la formule générale t(x)=f(a)+f'(a)(x-a) n'est pas nécessaire et l'on peut se ramener aux formules précédentes si l’on parvient à créer une grandeur petite devant 1
Méthode:
-On remarque x=x-a+a avec x-a<<a
-La grandeur petite devant 1 est (x-a)/a et x=a(1+(x-a)/a)
-On réinjecte cette expressions et on utilise les formules précédentes
Exemple: Linéariser 1/x^3 au voisinage de x=d
1/x^3=(x-d+d)^-3 = (d(1+(x-d)/d))^-3=(d^-3)(1+(x-d)/d)~(d^-3)(1-(3(x-d)/d))
Fin du cours

[Alex1504]

La consigne exacte de l'exercice est "Déterminer le développement limité à l'ordre 1 des fonctions suivantes" et les fonctions écrites dans mon premier post sont correctes (en gros aucune indication supplémentaire sur les grandeurs en jeu)

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Merci pour avoir tapé tout ça
Je suis pris par le temps tout de suite, j'ai juste le temps de faire une remarque : votre prof parle de développement limité, mais il donne la plupart du temps des équivalents. Et de toute façon, ne vous en faites pas trop, vous verrez ça plus en détail l'année prochaine. et de façon plus rigoureuse.

Je me souviens qu'au lycée un de mes enseignants avait donne en justifiant par le calcul des termes pour : alors que , donc on ne commet pas une grosse erreur en laissant tomber le terme au carré... Je préfère largement cette présentation à celle que vous avez eu.

Pour cette fameuse fonction pour je pense qu'il fait plutôt comprendre et à ce moment là tout rentre dans l'ordre.

[eudea-panjclinne]

Et de toute façon, ne vous en faites pas trop, vous verrez ça plus en détail l'année prochaine. et de façon plus rigoureuse.

@Alex1504 tenez compte de cette remarque d'albanxiii, arrêtez de stresser et prenez des vacances en laissant ces devoirs de vacances pas forcément pertinents.

[Alex1504]

Je ne stresse pas du tout et je profite du fait que je suis encore à Paris (histoire de pas franchement avoir à bosser quand je serai parti...). Et je vais effectivement tenir compte de ce conseil (je n'ai pas la prétention d'espérer avoir tout bien acquis avant la prépa). Par ailleurs, savoir ces devoirs de vacances peu pertinants permet de ne pas trop se formaliser sur d'autres démonstrations un peu fantisistes (tant que ce n'est pas une application directe du cours qui n'est pas comprise). Et merci encore à albanxii, je voulais m'assurer qu'il y avait bien une ereur dans l'énoncé (je pensais à la même chose)