Equation de Navier-Stokes, divergence en temps fini ? Quel scénario tient la corde ?

[Sethy]

Bonjour à toutes et à tous,

J'imagine que vous connaissez les fameuses questions ouvertes du "millénium".

Je sais évidemment, qu'on n'a répondu qu'à une seule d'entre elles actuellement mais en ce qui concerne le problème posé au sujet de l'équation de Navier-Stokes, quel est l'avis de la communauté sur la question ?

Penche-t-elle plutôt la divergence en temps fini ou au contraire l'approche sans divergence qui est privilégiée ?

Evidemment, tant qu'on n'a pas de démonstration, la question reste ouverte mais cela n'ôte pas la possibilité d'avoir un avis sur la question.

Y a-t-il de tels avis ? Un scénario est-il privilégié ? Y a-t-il plusieurs camps dans la communauté scientifique ?

D'avance merci,

Sethy
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[obi76]

Bonjour,

quand vous dites "divergence", c'est dans quel sens ?

De mon coté, peu importe les solutions (analytiques ou non), la conservation de l'énergie, de la masse et de la QdM sont respectés, de toutes façons.

Tout gradient de vitesse en temps infini finira en chaleur, donc je ne vois pas trop de "divergence" en temps long...

[Sethy]

J'aurais peut être du mettre un lien vers la page wiki, je répare l'oubli : https://fr.wikipedia.org/wiki/Soluti..._Navier-Stokes

[0577]

Bonjour,

le problème P=NP et l'existence de solutions globales régulières de l'équation de Navier-Stokes sont les deux seules questions du "millenium" pour lesquelles les réponses positive ou négative sont traitées de manière symétrique du point de vue bassement matériel de l'attribution du prix. Pour les autres questions, seule la réponse positive "attendue" donne droit directement au prix, alors qu'un contre-exemple doit donné lieu à une discussion visant à déterminer son intérêt.

Il est particulièrement difficile de se faire un avis car les arguments les plus "évidents" ne le sont pas:

1) Un argument "physique" du type "l'équations de Navier-Stokes décrit des fluides, qui existent réellement en temps long, donc les solutions de l'équation de Navier-Stokes existent en temps long" n'est pas convaincant car s'il existe des solutions divergentes en temps fini de l'équation de Navier-Stokes, cela signifie simplement que le fluide physique entre dans un régime où l'équation de Navier-Stokes cesse d'être une approximation valable.

2) Un argument "numérique" du type, "il suffit de regarder le résultat des calculs numériques", peut donner des indications non-triviales mais ne peut permettre de trancher la question car, essentiellement par définition, au voisinage d'une divergence, les vitesses deviennent extrêmement élevées et le calcul numérique devient instable et perd sa précision.


A 19min de la video https://www.youtube.com/watch?v=DgmuGqeRTto, Terence Tao donne son point de vue, qui est qu'il devrait exister des solutions initiales très particulières pour lesquelles les solutions divergent en temps fini. Ce point de vue est motivé par le fait que cela a été démontré pour une modification "moyennée" (un peu moins non-linéaire) de l'équation de Navier-Stokes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

Ben étant donné que les équations de NS sont basées sur les équations d'Euler, elles-meme issues d'approches conservatives, auxquelles on ajouté des termes uniquement dissipatifs, je pense qu'il parait logique de dire qu'elles ne peuvent pas diverger...

L'équation de la chaleur (terme d'ordre 2) ajouté à la conservation de l'énergie, est nécessairement TVD, la solution reste donc bornée... Idem pour la QdM et la masse (pas de terme d'ordre 2 sinon la diffusion en multi-espèce).

EDIT : au cas où : TVD https://en.wikipedia.org/wiki/Total_...on_diminishing. Pour résumer : si c'est TVD, ça reste borné.

[Francisco71]

Bonsoir,

Les équations de Navier-Stokes mènent presque toujours selon les conditions initiales à des comportement chaotiques du type attracteurs étranges voir fractales au mieux, surtout dans un temps infini, trouver une autre solution partielle reviens a ce "presque". Sans autres équations, il ne sera possible que de trouver des solutions partielles a temps fini pour des conditions bien particulières. Trouver une solution partielle a temps infini ne serait juste pas réaliste ou juste une parmi des milliards d'autres, ou du mois pas réalisable compte tenue de la divergence en fonction des conditions initiales qu'on ne maitrise pas. Enfin c'est mon humble avis.
Dans un système chaotique il n'y a que des solutions partielles. Les postulas de base pour ce genre de système sont trop contraignant pour trouver "une" solution mathématique pur. Il faut jouer des coudes dans la physique, et regarder du côté des simulations numérique dans des cas bien précis. Mais encore cela n'engage que moi.

Meilleures Salutations,
François

[0577]

Ben étant donné que les équations de NS sont basées sur les équations d'Euler, elles-meme issues d'approches conservatives, auxquelles on ajouté des termes uniquement dissipatifs, je pense qu'il parait logique de dire qu'elles ne peuvent pas diverger...

L'équation de la chaleur (terme d'ordre 2) ajouté à la conservation de l'énergie, est nécessairement TVD, la solution reste donc bornée... Idem pour la QdM et la masse (pas de terme d'ordre 2 sinon la diffusion en multi-espèce).

EDIT : au cas où : TVD https://en.wikipedia.org/wiki/Total_...on_diminishing. Pour résumer : si c'est TVD, ça reste borné.

La conservation de l'énergie (comme les autres lois de conservation connues) est une contrainte globale, qui interdit les divergences globales. Le problème est l'existence potentielle de divergences locales: la vitesse du fluide pourrait devenir de plus en plus grande dans un volume de plus en plus petit (de manière compatible avec les lois de conservation), devenant infini en un point en un temps fini.

L'existence en temps long de solutions régulières de l'équations d'Euler en dimension trois pour toute condition initiale régulière est un problème ouvert qui est en général considéré comme plus difficile que le cas de Navier-Stokes (car on s'attend à ce que la viscosité rende plus difficile la formation de ces petits tourbillons divergents).

[obi76]

Localement, sur les équations discrètes, le TVD impose que localement (lorsque la discrétisation tend vers 0), ça reste valable.

A partir du moment où c'est maillage-temps convergent, la conservation reste valable.

[0577]

L'équation de la chaleur (terme d'ordre 2) ajouté à la conservation de l'énergie, est nécessairement TVD, la solution reste donc bornée...

Je ne comprends pas. Pourquoi les solutions de l'équation de Navier-Stokes seraient-elles à variation totale décroissante?

Localement, sur les équations discrètes, le TVD impose que localement (lorsque la discrétisation tend vers 0), ça reste valable.

A partir du moment où c'est maillage-temps convergent, la conservation reste valable.

L'argument est-il qu'il existe des schémas numériques produisant des solutions discrètes à variation totale décroissante? Qu'est-il connu sur la convergence? (probablement au mieux une convergence au sens faible).

[obi76]

Je ne comprends pas. Pourquoi les solutions de l'équation de Navier-Stokes seraient-elles à variation totale décroissante?

Maintenant que vous le dites il est vrai que pas nécessairement. Au temps pour moi.

Mais qu'elles "divergent", je ne vois toujours pas comment. L'énergie totale est toujours conservée dans ces équations, comment dans ce cas ça pourrait "diverger" ?

[Sethy]

Maintenant que vous le dites il est vrai que pas nécessairement. Au temps pour moi.

Mais qu'elles "divergent", je ne vois toujours pas comment. L'énergie totale est toujours conservée dans ces équations, comment dans ce cas ça pourrait "diverger" ?

J'ai déjà vu dans une vidéo où l'équation de NS avait été considérablement simplifiée, l'exemple du franchissement du mur du son.

C'est un exemple où, via l'addition de toutes les sinusoïdes de longueur d'onde de plus en plus petite, on obtient un "infini".

[0577]

Mais qu'elles "divergent", je ne vois toujours pas comment. L'énergie totale est toujours conservée dans ces équations, comment dans ce cas ça pourrait "diverger" ?

On pourrait imaginer que l'énergie (conservée pour Euler, dissipée pour Navier-Stokes) se concentre dans un volume de plus en plus petit, et qu'en un temps fini, ce volume se réduise à un point où la vitesse du fluide devient infinie. Il s'agit d'une "divergence ponctuelle", liée à l'accumulation de l'énergie sur des distances de plus en plus petites. Physiquement, cette question n'a pas vraiment de sens car ces équations ne sont que des descriptions macroscopiques effectives qui cessent d'être valables à des échelles microscopiques (par exemple du fait de la structure moléculaire). Mais mathématiquement, c'est le phénomène qu'il faut étudier si on veut trancher la question mathématique de l'existence en temps long de solutions régulières pour toute condition initiale régulière.

[coussin]

Est-ce que ce n'est pas déjà le cas pour un simple tourbillon ? N'a-t-on pas une singularité du champ de vitesse au centre ?

[0577]

Est-ce que ce n'est pas déjà le cas pour un simple tourbillon ? N'a-t-on pas une singularité du champ de vitesse au centre ?

Cela dépend du tourbillon considéré. Mais certainement, le tourbillon le plus simple est le champ de vitesses u_\theta=I/r, qui définit une solution stationnaire de l'équation d'Euler incompressible en dimension deux, et qui a une singularité au centre r=0.

Mais ce n'est pas une contradiction avec la discussion qui précède. La question n'est pas de savoir s'il existe des solutions singulières (le tourbillon le plus simple donne un exemple) mais de savoir si une solution régulière peut évoluer en une solution singulière (le tourbillon le plus simple, étant stationnaire, a toujours été singulier, et n'est donc pas un exemple). En dimension deux, il est connu qu'une configuration initiale régulière (et "triviale à l'infini") ne peut pas évoluer, selon l'équation d'Euler ou celle de Navier-Stokes, en une configuration singulière. La question ouverte est de savoir s'il en est de même en dimension trois.

[coussin]

D'accord. Je continue avec mes questions naïves (la meca flu n'est pas mon domaine ) : n'y-a-t'il pas des écoulements qui peuvent devenir turbulents ? Donc une solution régulière (écoulement non turbulent) qui évolue pour développer des singularités (les tourbillons de la turbulence) ?

[0577]

n'y-a-t'il pas des écoulements qui peuvent devenir turbulents ? Donc une solution régulière (écoulement non turbulent) qui évolue pour développer des singularités (les tourbillons de la turbulence) ?

Ce que j'ai appelé "solution régulière" signifie juste "solution sans singularité", i.e. "solution partout bien définie" (techniquement: au moins deux fois dérivable). En particulier, une telle solution peut être extrêmement compliquée et en particulier turbulente. La plupart des tourbillons de la turbulence ne ressemblent pas au tourbillon le plus simple du message précédent et ne sont pas singuliers. La question est de savoir si, lors de la phase compliquée de la turbulence, il peut apparaître des tourbillons singuliers ou non.

[obi76]

Oui, un peu comme le problème des vagues scélérates...