Trajectoire satellite , determination de la conique

[invite580492aa]

Bonsoir ,



conique de forme générale R(theta) = P/(1+e *cos(theta +theta0))

à determiner en fonction de R(0) et V(0) initiales [ ie theta = 0 ]

C=constante des airs = R(0)^V(0)
P=paramètre de la conique = C²/GM

E =energie = 1/2mV(0)² - GMm/R(0)= GMm[e²-1]/2P

à partir des conditions initiales on determine C , puis P , puis e l' excentricité .

ensuite pour déterminer theta0 on écrit R(0)= P/(1+e*cos(theta0) ) soit cos(theta0) = (P/R(0)-1)/e . Là il y a deux valeurs possibles pour theta0 une positive l'autre négative . en bidouillant à l'aide de graphique j'ai fini par voir que pour choisir parmi theta0 >0 ou theta0<0 je devais regarder le signe de R(0).V(0) . Si R(0).V(0) >0 alors theta0 <0 sinon theta0 >0 .

ma question : j'ai trouvé cette condition pour choisir , en bidouillant mais je n'ai pas réussi à trouver un raisonnement naturelle qui m'aurait amené à la solution . au début j'avais imaginé quelque chose du style theta=pi/2 pour introduire sin(theta0) mais comme je n'ai pas R(pi/2) je suis resté bloqué jusqu'à ce que je trouve cette bidouille . Y a t il un bon raisonnement qui permettrait d'arriver à la solution autre que celui que j'ai évoqué à savoir prendre en compte le produit scalaire de R(0) et V(0)

Merci .
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[petitmousse49]

Bonsoir
L'énoncé fournit en général les conditions initiales... Cela inclut en général l'orientation du vecteur vitesse. L'énoncé précise-t-il que le vecteur Vo est orthogonal au vecteur position ?
si oui, la position initiale correspond nécessairement à l'apoastre ou au périastre (apogée ou périgée si l'astre attracteur est la terre).
S'il s'agit de l'apoastre (apogée), θ_o =π rad ; s'il s'agit du périastre (périgée) : θ_o = 0.
Si non,, mon message ne va guère t'aider ici mais te sera peut-être utile une autre fois !

[invite580492aa]

bonsoir,

dans les conditions initiales , l'orientation est quelconque . dans le cas Vo orthogonal à la position le calcul de cos(theta0)=(P/R(0)-1)/e donne directement le résultat ,-1 => thetao=pi ,0 => thetao=0

dans les autres cas , l'axe focal est un axe de symétrie , donc il y a deux positions qui correspondent à cos(theta0) . si on commence avant l'axe focal ( en prenant un sens ) , à theta=theta0 , nous sommes sur l'axe focal , puis à theta=2*theta0 ,nous sommes de l'autre coté symétriquement par rapport à theta=0 .Si on commence après l'axe focal , il faudra faire presque un tour complet avant d'arriver au point symétrique theta=-2*theta0 . Comment savoir avec lequel on démarre en fonction des conditions initiales ? en dessinant les graphiques , on voit ( mais pas démontré ) que avant l'axe focal , r(0). V(0) est positif , après l'axe focal , r(0).V(0) est négatif . Donc on a un moyen de choisir entre theta0 <0 ou theta0 >0 . mais cette manière de faire ne me convient pas . ça ressemble à de la bidouille . je voulais savoir si il y avait une manière plus "élégante" de faire ( et qui permet de démontrer le résultat)

[invite580492aa]

oups boulette , en inversant la figure je me suis rendu compte que mon raisonnement n'était pas bon du moins , faut regarder un point supplémentaire .

R varie (dans le cas d'un ellipse ) entre P/(1+e) (sur l'axe focal,périastre) , P (sur le petit axe ) , P/(1-e) (sur l'axe focal ,apoastre) .

si P<= R(0)<= P/(1-e) alors ...
par contre si P/(1+e) <=R(0) <=P alors ...

je me plante quelque part , mais où ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[petitmousse49]

Sans un énoncé complet du problème précisant exactement ce qui est connu et ce qu'il faut déterminer : difficile de t'aider efficacement ! Une idée un peu au hasard : as-tu essayé de voir ce que donne la première relation de Binet : celle qui fournit l'expression du vecteur vitesse en coordonnées polaires ? Elle devrait te fournir le sinus de theta_0

[invite580492aa]

Bonjour,

problème résolu pour moi .

Si R(0) .V(0) > 0 le point s'éloigne du foyer

si cos(theta0) > 0 alors 0<= theta0 <= pi/2
si cos(theta0) <0 alors pi/2<= theta0 <= pi

si R(0).V(0) < 0 le point se rapproche du foyer

si cos(theta0) > 0 alors 3 *pi/2 <= theta0 <= 2*pi
si cos(theta0) <0 alors pi<= theta0 <= 3*pi/2

R = P /(1 + e* cos(theta+theta0) )

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pour répondre à ta question sur les conditions initiales , en fait c'est assez simple , on se donne un centre attractif de masse M , une position dans l'espace ( Ro ) et un vecteur ( Vo ) et ça suffit à déterminer la trajectoire , ellipse , parabole , hyperbole , est ce que avec les conditions initiales le point se rapproche du foyer ou s'en éloigne etc . bien entendu c'est possible uniquement si la masse du centre attractif est beaucoup plus importante que la masse du mobile dont cherche la trajectoire .