MQ : utilisation d'une base approchante pour résoudre les équations

[Sethy]

Bonjour à tous,

Il y a une question que je me pose depuis pas mal de temps.

La résolution de l'oscillateur harmonique quantique est bien connue de même que la possibilité d'affiner celle-ci en perturbant le résultat (ajout d'un terme cubique au potentiel quadratique habituel).

Si on s'en tient au cas non perturbé, l'ensemble des solutions (polynôme d'Hermite multiplié par une gaussienne) forment une base orthonormée.

J'aimerais savoir, s'il existe une méthode qui utiliserait cette base pour résoudre le "vrai" potentiel de Lennard Jones.

Donc l'idée serait d'utiliser cette base dans l'équation de Schrodinger où le potentiel vaudrait A/r^12-B/r^6. Les différentes solutions se présenteraient comme des combilis de la base.

Je connais des méthodes comme celles d'Harthree-Fock qui elles aussi partent de bases approchées (STO-3G, ...). Mais dans ce cas la, il y a un problème supplémentaire assez conséquent puisque des termes en 1/(r1-r2) apparaissent dans le potentiel, ce qui oblige d'approcher la solution par itération (un champ moyen est calculé sur base de l'itération précédente et ajouté au potentiel pour le calcul de l'itération en cours).

Y a-t-il moyen de creuser ou est-ce peine perdue ?

D'avance merci

Sethy
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[coussin]

Vous cherchez à résoudre numériquement l'équation de Schrödinger 1D pour un potentiel de LJ, c'est çà ? Donc, trouver les énergies et fonctions d'onde des états liés de ce potentiel ?

[Sethy]

En fait oui et non. La résolution numérique, je peux la faire (méthode de Newton dans un Excel par exemple en ne sélectionnant que les Energies pour lesquelles la fonction d'onde converge à l'infini).

Ici, je cherche à passer spécifiquement par la base.

Evidemment, je pourrais le faire "a posteriori" en "projetant" les solutions numériques sur les fonctions propres de la base de manière à déterminer les coefficients des combilis.

Ce que je cherche, c'est de savoir si partir sur cette piste (ou une autre semblable) peut mener à quelque chose :



Sachant évidemment que

Et en tenant compte également de certaines propriétés des polynômes d'Hermite (multipliés par une gaussienne)

[coussin]

Pour ce problème, les polynômes d'Hermite ne sont pas les plus appropriés car ils sont définis sur (-inf,inf). Il vous faut des fonctions de base définies sur (0,inf). (On parle bien d'une équation de Schrödinger radiale, non ?)
Connaissez-vous les méthodes DVR (Discrete Variable Representation) ? C'est la méthode de choix. Extrêmement puissante et facile à mettre en œuvre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sethy]

Effectivement, je n'avais pas pensé au problème du -inf.

Je ne connais pas le DVR (en tout cas sous ce nom), je vais creuser. Merci pour la piste