Chute libre avec frottements, temps et vitesse terminale

[invite98af21e2]

Bonjour tout le monde !

Je lisais la page wikipedia de la chute des gouttes https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_...outte_de_pluie

Les équations données pour la vitesse finale et le temps auquel cette vitesse est atteint ne sont pas démontrées, du coup je me suis demandé d'où elles venaient.

La solution analytique serait d'intégrer l'équation, mais c'est non linéaire donc la forme finale n'est pas évidente (bien qu'elle soit donnée autre part sur wikipedia).

Sinon on peut déduire des ordres de grandeur plus simplement. Pour la vitesse finale, on dit que dV/dt est nul car la vitesse n'évolue plus et on trouve rapidement leur équation. Mais pour le temps où cela se produit, comment procède t-on ?

Les deux formes sont proches (a un facteur 1/g près), mais qu'est-ce qui justifie cette équation ? Je suppose que c'est simple mais ca fait une demi heure que je ne trouve pas ^^

Si quelqu'un peut m'éclairer la dessus, je serai très content.

Bonne soirée à tous
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[calculair]

solution

Refusé, merci de lire https://forums.futura-sciences.com/p...ces-forum.html et de le relire encore une fois si vous avez un doute... ça n'est pas la première fois que vous balancez des solutions toutes cuites. Ça n'est pas l'esprit du forum.

[albanxiii]

Bonjour,

La durée n'est qu'un ordre de grandeur obtenu en faisant l'hypothèse que les frottements n'influencent pas trop la première partie de la chute libre (*), et donc (en partant d'une vitesse initiale nulle).

(*) la seconde partie étant celle où la vitesse de la goutte reste constante à cause de la résistance de l'air.

[Black Jack 2]

Bonjour,

L'équation donnée sur wiki me semble un poil "hasardeuse"

En supposant une goutte de coefficient de pénétration dans l'air Cx, on aurait (en négligeant la poussée d'Archimède de l'air sur la goutte par rapport au poids de la goutte (légitime))

m * a = Poids - force de frottement aérodynamique.

... qui amène dans le cas d'une goutte sphérique : 4/3.Pi.R³.Rho(eau) dV/dt= 4/3.Pi.R³.Rho(eau) * g - 1/2.Rho(air).Cx.Pi.R².V²

Et on arrive en simplifiant à : R³.Rho(eau) dV/dt = R³.Rho(eau) * g - 3/8.Cx.Rho(air)*V².R²

Sur wiki, le dernier terme fai "comme si" 3/8.Cx valait 1 ... or pour une sphère, à vitesse suffisante (donc nombre de Reynolds assez grand (mais c'est le cas en pratique)), Cx = 0,4 environ.

Et donc 3/8.Cx 0,15 (et pas 1)

En pratique, une goutte d'eau a une forme un peu plus "aérodynamique" qu'une sphère et donc de Cx encore un peu plus petit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

Bonjour,

J'ai beaucoup de mal à te mettre sur la voie

L'eaqution M dV/dt = F - K V**2

tu divises les 2 membre par ( F - K V**2)

M dV/dt / ( F - KV**2) = 1

Tu integres pat rapport au temps

Avec une table d'intégrales si tu n,'arrives pas à intégrer , tu as la solution

C'est un prof de math sur ce forum qui m'a donné la solution , qui n'est pas évidente.

[Black Jack 2]

Rebonjour,

Pour connaître la vitesse limite, il n'y a nul besoin de résoudre l'équation différentielle ...

Il suffit de remplacer dV/dt par 0 dans l'équation (puisque vitesse stabilisée) et on a alors directement v limite = ...

Mais il faut évidemment partir de la bonne équation différentielle ... qui n'est pas celle de Wiki.

[calculair]

Tu as raison, mais pour connaitre le temps au bout du quel cette vitesse limite est atteinte, il faut résoudre l'équation.

[Black Jack 2]

Rerebonjour,

La vitesse limite n'est jamais atteinte, mais on s'en approche de plus en plus en cours de chute.

La résolution de l'équation différentielle est assez facile si on connait les fonctions hyperboliques (primitive de argth() = ...) et si on ne les maîtrise pas, on peut décomposer en fractions rationnelles et on arrive alors avec des ln()

[albanxiii]

J'ai beaucoup de mal à te mettre sur la voie

En effet, puisque vous ne respectez pas les règles du forum relatives aux réponses concernant les exercices, et vous ne répondez pas non plus à la question posée dans le message #1.
Si vous persistez dans cette voie, je demanderai votre prémodération.

albanxiii, pour la modération.

[albanxiii]

Tu as raison, mais pour connaitre le temps au bout du quel cette vitesse limite est atteinte, il faut résoudre l'équation.

En plus vous ne lisez même pas les réponses données par les autres avant de poster....

Non seulement il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation pour avoir un ordre de grandeur de cet intervalle de temps (rappel : on est sur le forum de physique !), mais de plus, il est plus judicieux (sauf si on veut montrer "qu'on sait", mais j'ose espérer que sur un forum on a passé l'âge de jouer à qui a la plus grosse...) de dire à l'OP que son EDO est à variables séparables. Au moins il aura appris quelque chose d'utile et pas à recopier une recette de cuisine, fut-elle donnée par un prof de math.

[stefjm]

Les techniques d'intégration sont des recettes de cuisine. Dans le temps, il y avait même d'énormes bouquins de mathématiques qui les répertoriaient.
Aujourd'hui, avec les calculateurs formels, c'est devenu bien plus facile.
Marmiton pour la cuisine et Alpha pour les maths...
https://www.marmiton.org/
https://www.wolframalpha.com/

[calculair]

Tu devrais relire la 2° ligne du post initial....

et "Sinon on peut déduire des ordres de grandeur plus simplement. Pour la vitesse finale, on dit que dV/dt est nul car la vitesse n'évolue plus et on trouve rapidement leur équation. Mais pour le temps où cela se produit, comment procède t-on ?"

De plus je crois être respectueux des modérateurs, des acteurs du forum, mais je trouve les modérateurs parfois trop sévères, mais je reconnais que leur tâches est parfois difficile et délicate.

Quant à la recette, elle est cependant très pédagogique et je l'ai apprécié. J'ai la méthode de résolution que je n'avais pas....

En plus vous ne lisez même pas les réponses données par les autres avant de poster....

Non seulement il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation pour avoir un ordre de grandeur de cet intervalle de temps (rappel : on est sur le forum de physique !), mais de plus, il est plus judicieux (sauf si on veut montrer "qu'on sait", mais j'ose espérer que sur un forum on a passé l'âge de jouer à qui a la plus grosse...) de dire à l'OP que son EDO est à variables séparables. Au moins il aura appris quelque chose d'utile et pas à recopier une recette de cuisine, fut-elle donnée par un prof de math.