Dérivée d'un vecteur par rapport au temps ( Mécanique, TS )

[Sedixed]

Bonjour/Bonsoir, actuellement élève de TS, j'en suis au chapitre sur la mécanique ( Oui, celui-ci.. )
Le problème est que je ne comprend pas la notion de "dérivée d'un vecteur par rapport au temps", ce qui m'empêche énormément de comprendre la suite du cours !
Je connais assez bien les dérivées usuelles ( k' = 0, etc ) mais par exemple dv(x)/dt, impossible pour mon cerveau de l'interpréter..
Après m'être renseigné sur des sites divers et variés, j'ai tiré la conclusion que ce "d" est en réalité une sorte de Delta, mais je n'en sais pas plus.
Pourriez-vous m'accorder un peu de votre temps et m'expliquer ainsi cette notion ?
Merci d'avance !
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[jacknicklaus]

faut revenir à l'origine de la dérivée.

si j'ai un vecteur V qui dépend du temps, sur un espace à une seule dimension "x", alors j'ai une coordonnée (Vx(t)) qui dépends du temps et qui représente ce vecteur dans une certaine base.

quand on note dV/dt, on sous entend dVx(t)/dt(t)
dVx(t)/dt est en effet le rapport limite entre, au temps fixé t :
au numérateur, un petit accroissement dVx = Vx(t+dt) - Vx(t)
au dénominateur, un petit accroissement dt de la variable y, tout bêtement (t+dt) - t
donc effectivement, c'est le rapport entre deux petits accroissements.
tu as appris que quand dt tends vers 0 et que le rapport (Vx(t+dt) - Vx(t)) / (dt) a une limite, c'est la dérivée de la fonction Vx au temps t. on peut alors noter, Vx'(t), dérivée de Vx en t.

Vx'(t) et dVx(t)/dt c'est pareil.

pour un vecteur sur un espace à 2 dimensions ou plus, c'est pareil. le dV est la différence (géométrique ou en coordonnées, selon le point de vue souhaité) entre deux vecteurs pris à deux instants proches et différents. le "dt" reste un simple scalaire. Une différence entre deux vecteurs, divisée par un scalaire, c'est encore un vecteur. Et c'est le vecteur dérivée de V, noté dV(t)/dt. En coordonnées, c'est simplement le couple de coordonnées (dVx(t)/dt, dVy(t)/dt), ou encore (Vx',Vy') pour la notation traditionnelle de la dérivée d'une fonction. Vx et Vy étant des fonctions scalaires du temps, dépendantes de la base choisie. Attention on n'insiste jamais assez que l'important c'est la représentation géométrique : un vecteur ou sa dérivée sont la même entité géométrique, dans quelque base de coordonnées que ce soit.

[Sedixed]

Alors, pour obtenir un vecteur dériver, il faut dériver chacune de ses composantes c'est ça ?
Donc d(Vx) = dx/dt ; dy/dt ; dz/dt si j'ai bien tout compris.
Et il faut dériver chacune de ces composantes ?

[obi76]

Alors, pour obtenir un vecteur dériver, il faut dériver chacune de ses composantes c'est ça ?

C'est ça, oui.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sedixed]

Et ( je n'ai pas encore fait d'exercice en cours ) les coordonnées sont-elles données où faut-il les déterminer soi-même ? Si oui comment ?
( Merci pour votre aide ! )

[obi76]

Et ( je n'ai pas encore fait d'exercice en cours ) les coordonnées sont-elles données où faut-il les déterminer soi-même ? Si oui comment ?

Ha là, ça dépend des exercices. Dans certain on vous les donnera, dans d'autres vous devrez les déterminer, en utilisant ce qui est dit dans l'énoncé. Il n'y a pas de méthode universelle pour déterminer les coordonnées d'un vecteur, puisqu'un vecteur peut représenter plein de choses différentes (une vitesse, une force, etc.).

[Sedixed]

Je vois, merci beaucoup pour votre aide ! Normalement grâce à tout ça je devrais avancer beaucoup plus vide dans ma compréhension du cours ^^
Bonne soirée et merci encore !

[obi76]

De rien et bon courage

[Sedixed]

Bonsoir, j'aurai juste une petite question vite fait !
Comment détermine-t-on les conditions initiales ? C'est à peine mentionné dans notre cours et pourtant c'est souvent demandé..

[obi76]

C'est généralement donné dans l'énoncé de l'exercice. Parfois des exercices un peu plus retord peuvent vous demander de les calculer en fonction des conditions finales (mettre un panier de basket par exemple : on connaît la fin mais pas forcément toutes les données du départ : angle, vitesse, enfin vous verrez ça)

[Sedixed]

En fait, l'exercice ne demande pas directement de passer par les conditions initiales mais mon professeur insiste pour que nous le fassions..mais déjà, c'est quoi exactement ces "conditions initiales" ? C'est bien à t=0 non ?

[obi76]

Oui c'est ça, c'est au tout début de l'analyse (t = 0 s en général oui)

[Sedixed]

Mais alors à quoi ça correspond ? Comment on peut les déterminer et les écrire ?

[obi76]

Comme je vous l'ai dit il n'y a pas de méthode "générique".

Exemple d'un exo où vous devez déterminer les conditions initiales : vous vous trouvez à 10m d'un panier situé à 2m de haut, sachant que je lance un ballon à 20 km/h, avec quel angle dois-je le lancer pour qu'il arrive dans le panier.

Là vous ne connaissez pas le vecteur vitesse initial (vous ne connaissez que sa norme, donc pas ses composantes sur x et y puisque vous ne connaissez pas l'angle), le but est de le déterminer avec les équations de la trajectoire. Là c'est niveau TS, mais ça vous donne une idée du type de choses qu'on pourra vous demander à terme.

[Sedixed]

Oula alors ce genre de truc..j'y suis pas encore j'suis en plein réapprentissage de mon cours alors je pense qu'à force de relire je vais comprendre tout ça !

[obi76]

Exemple plus simple : de quelle hauteur je dois lâcher une balle pour qu'elle touche le sol à 50 km/h. Là ce que vous cherchez c'est bien la condition initiale du système : la hauteur de laquelle vous la lâchez.

[Sedixed]

Donc c'est une sorte de condition, enfin les données que on nous donne ?

[obi76]

Ce sont les conditions initiales...

[Sedixed]

Mais en gros c'est les valeurs des composantes d'un vecteur à t=0 ?

[obi76]

Ce sont les valeurs de toutes les grandeurs étudiées du système au temps t=0. Si on veut étudier un ou des vecteurs, oui, ce sont leurs composantes.

Dans mon premier exemple, ce qu'on cherche à déterminer à l'instant initial ce sont les coordonnées du vecteur vitesse du ballon pour qu'il aille dans le panier
Dans le second ce n'est qu'une grandeur : la hauteur au temps t=0.

[le_STI]

Salut.

.....
Après m'être renseigné sur des sites divers et variés, j'ai tiré la conclusion que ce "d" est en réalité une sorte de Delta, mais je n'en sais pas plus.
Pourriez-vous m'accorder un peu de votre temps et m'expliquer ainsi cette notion ?
Merci d'avance !

L'aspect mathématique t'a été expliqué plus haut, mais pour ce qui est de l'aspect concret/physique de la dérivé temporelle, sache qu'elle permet de déterminer la variation d'une grandeur.

Par exemple : si tu connais l'équation décrivant la vitesse d'un objet, en la dérivant tu obtiendras la façon dont cette vitesse évolue au cours du temps (son accélération).

[Sedixed]

Donc c'est un peu comme en maths, on se sert de la dérivée pour connaître les variations en gros ?

[le_STI]

Oui, et même pas en gros