Déterminer la vitesse minimale pour faire le tour d'un looping

[invitede656be3]

Je vais essayer d’être plus concret que dans mon précédent message .
Donc vitesse au sommet : conservation de l’énergie d’où
m.g.(h1-d) = 1/2 m.vs avec m = 0.03 kg h1 = 0.93 m d = 0.23 m
vs = sqrt( 2.g (h1- d)) vs = sqrt( 2 * 9.81* 0.7) = 3.70 m/s
Force centrifuge au sommet m. vs^2/ d/2 = 2 m.vs^2 /d = 2*0.03*(3.7)^2/0.23 = 3.57 N
Poids m.g = 0.03 *9.81 = 0.294 N
Donc si la voiture part du haut de la rampe il y a une très grosse marge.
Si on veux être très rigoureux on doit justifier que vs est la bonne vitesse à utiliser.
Dans la montée Vm > vs (conservation de l'énergie) et le poids est projeté sur le rayon donc avec un sin(teta) < 1 . Poids plus petit, force centrifuge plus grande CQFD
Même chose pour la descente.
Pour « pinailler" :
1)Le centre de gravité n’est pas au niveau de roue d'où une variation de l’énergie potentielle. Refaire le calcul avec un diamètre plus petit tenant compte de la distance roue / centre de gravité
2)La force d’appui au sommet ne doit pas être nulle ou un peu positive. Il faut un minimum d’adhérence de force d’appui sinon ça part dans le décor. La valeur maxi est le poids puisque ça marche sur une trajectoire normale.

Les frottements : en général pour les forces de roulement on prends F = alpha * v Pour la résistance de l'air F = ½ Ro v^2 Cx avec Ro densité de l'air Cx facteur de trainée.
Mais cela conduit souvent à des équations différentielles qui n'ont pas de solution analytique. (Possible que l'équation donnée dans le brouillon en fasse partie). Reste le calcul numérique avec les méthodes itératives.
-----

[jacknicklaus]

La voiture pourrait tomber de la piste après le passage au sommet en suivant une trajectoire de chute libre (parabole) plutot que le cercle.

Je suis bien d'accord avec stefjm. Pour moi, on ne peut se satisfaire d'un argument qualitatif.

Il faut montrer explicitement qu'il y a bien contact permanent avec la piste, si la vitesse du mobile au sommet de l'anneau est supérieure à racine(5Rg) .

Ceci se fait, par exemple (il y a peut être plus simple), en calculant explicitement la force de réaction du support Fr. On trouve Fr/m = -3gcos(theta) +2g -V²/R. Il y a contact si Fr < 0. Le max de Fr est à theta = pi (soit en haut de l'anneau). Dès lors, Fr <0 sur tout le reste de l'anneau, il y a contact. A la limite, Fr = 0 et on a bien V = racine(5Rg), soit hauteur du tremplin = 5R/2.

[gts2]

Sans frottement, c'est juste un problème de symétrie : si le mobile a atteint le sommet en restant sur la piste, les équations étant symétriques par rapport à un axe vertical passant par le sommet, elle restera sur la piste à la descente.

[stefjm]

Je suis bien d'accord avec stefjm. Pour moi, on ne peut se satisfaire d'un argument qualitatif.

Heureusement que tu es d'accord avec toi!
C'est toi qui a soulever le problème dans ce fil mais visiblement, cela ne fait pas l'unanimité et c'est curieux.

[calculair]

La trajectoire rouge n'est pas possible: En effet si la vitesse du mobile est suffisante pour que la force centripète la colle sur la piste au point haut ou la vitesse est minimale, lorsque le mobile amorce la descente sa vitesse augmente et donc la force centripète augmente et la colle encore davantage à la piste.

La voiture pourrait tomber de la piste après le passage au sommet en suivant une trajectoire de chute libre (parabole) plutot que le cercle.

[Black Jack 2]

La voiture pourrait tomber de la piste après le passage au sommet en suivant une trajectoire de chute libre (parabole) plutot que le cercle.

Mais non.
C'est évident (et la raison a été expliquée dans un de mes messages précédents ou par d'autres un peu partout).
Mais si tu ne le "sens" pas, fais donc tous les calculs.

Si la voiture est toujours en piste (sur le cercle) au sommet du looping, c'est que la force centrifuge est supérieure au poids (à la limite égale) (référentiel lié à la voiture)

Passé le sommet, la vitesse augmente (conservation de l'énergie mécanique), donc la force centrifuge augmente alors que la composante radiale du poids diminue ... et donc la réaction de la piste (cercle) est non nulle et toujours dirigée vers le centre du cercle et donc la voiture restera sur le cercle.
Pour qu'elle quitte le cercle, il faudrait que la réaction de la piste s'annule et "essaie" de changer de sens, ce qui alors provoquerait une "sortie de piste", mais c'est impossible comme expliqué.

[jacknicklaus]

Mais non.
C'est évident.

M'ouais...
pas convaincu. je dois être bouché, sans doute.

[calculair]

Il faut répondre à ces questions

1) Le point haut est il le point ou la vitesse du mobile est minimale ?

2) En ce point la force centrifuge s'oppose au mieux au poids ( elles sont opposées )

3) lorsque le mobile amorce la descente sa vitesse augmente t'elle ?

4) La force centrifuge augmente lorsque la vitesse augmente et le poids n'est plus aligné par celle-ci ce qui augmente la force d'appuie La voiture ne peut donc quitter la piste car elle s'appuie d'avance sur celle-ci.

M'ouais...
pas convaincu. je dois être bouché, sans doute.

[stefjm]

C'est peut être vrai mais ce n'est pas évident.
En particulier, le raisonnement qualitatif en + safaitsi -safaitsa ne suffit pas à la démonstration.
La rigueur impose le calcul de jacknicklaus.

Ca tombe : https://www.wolframalpha.com/input/?...2C1-2*x%5E2%29
Cas limite : https://www.wolframalpha.com/input/?...1-x%5E2%2F2%29

Ca doit aussi pouvoir se trouver en comparant la trajectoire de chute libre avec le cercle et voir si cela se coupe ou pas...
La limite est quand le coefficient a de la parabole de chute libre 1-a.x^2 est égale à celui de la parabole osculatrice du cercle.
ici : 1/2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%281-x%5E2%29

Pour a=1/2 : solution réelle unique en x=0 et pas d'autres solutions : ça ne tombe pas.
https://www.wolframalpha.com/input/?...%3D1-x%5E2%2F2

Pour a<1/2 : solution réelle unique en x=0 et 2 solutions complexes : ça ne tombe pas
https://www.wolframalpha.com/input/?...%3D1-x%5E2%2F3

Pour a<1/2 : 3 solutions réelles 0 et les deux autres en + et - : ça tombe.

Il faut donc voir quel est la valeur de ce a dans le cas présent et ceux qui trouvent cela évident vont bien sûr très vite la donner...

D'un coté un raisonnement quantitatif, de l'autre une vaque évidence qualitative.

[gts2]

Sur les tracés, on voit bien la symétrie par rapport à la verticale passant par le sommet, donc si le mobile ne tombe pas en montant, il ne tombera pas en descendant.

Sinon, en faisant le calcul juste à la limite, en appelant v la vitesse au sommet :
la parabole s'écrit y=-1/2 g/v², la condition limite s'écrit v²>Rg, soit a<1/(2R), donc ça ne tombe pas.

Mais, à mon avis, le calcul est inutile.

[stefjm]

C'est peut être vrai mais ce n'est pas évident.
Pour a<1/2 : 3 solutions réelles 0 et les deux autres en + et - : ça tombe.

Argh, chiant de ne pas pouvoir éditer!

Pour a>1/2 : 3 solutions réelles 0 et les deux autres en + et - : ça tombe.
https://www.wolframalpha.com/input/?...D1-x%5E2%2F1.5

Autant le calcul arrive à me parler, autant l'argument de symétrie, non.

[calculair]

Les choses paraissent évidentes:

La force maximale pour appliquer le mobile sur le cercle c'est quand il passe au sommet du cercle. En cette position la force centrifuge est diminué par la totalité du poids.

Quand le mobile descend sa vitesse augmente et la force centrifuge aussi. Alors le poids n'est plus aligné avec la force centrifuge . L'effet du poids dans la direction de la force centrifuge est diminué du cos a que fait le rayon avec la verticale. L'effet de la force centrifuge est donc plus efficace et comme elle a augmenté, le mobile a encore plus de mal à quitter la piste....

[stefjm]

Ce qui me gène avec ce genre de raisonnement est qu'il conduit à une non chute si on multiplie le rayon de la partie descente par 10.

Hisoire de désymétriser le truc!

[calculair]

Attention : Si la condition V**2 /R > g n'est plus respectée , surtout si tu multiplies le rayon par 10 !!!! le mobile quitte la piste.... En effet la force centripète diminue si tu augmentes le rayon.

La question pourrait être de combien je peux augmenter le rayon lorsque le mobile amorce la descente.... La trajectoire ne sera plus un cercle....

Ce qui me gène avec ce genre de raisonnement est qu'il conduit à une non chute si on multiplie le rayon de la partie descente par 10.

Hisoire de désymétriser le truc!

[stefjm]

Oui.
J'aurais d'ailleurs aussi pu enlever la piste de descente pour faire comprendre ce qui me gène dans le raisonnement : C'est monté, ça redescendra pareil.

Pour mois, il n'y a rien d'évident (intuitif, trivial) au fait que la parabole de chute libre passe derrière le cercle d'origine et donc que la voiture se fait bien reprendre par le looping.
https://www.wolframalpha.com/input/?...1-x%5E2%2F5%29

[gts2]

Pour mois, il n'y a rien d'évident (intuitif, trivial) au fait que la parabole de chute libre passe derrière le cercle d'origine.

Au sommet, l'accélération est verticale et normale à la trajectoire.
Pour la parabole, l'accélération vaut g et donc ; pour le cercle, l'accélération est supérieure à g (à cause de l'action de la glissière)
, et donc le rayon de courbure de la parabole est supérieure au rayon du cercle.

[Black Jack 2]

Oui.
J'aurais d'ailleurs aussi pu enlever la piste de descente pour faire comprendre ce qui me gène dans le raisonnement : C'est monté, ça redescendra pareil.

Pour mois, il n'y a rien d'évident (intuitif, trivial) au fait que la parabole de chute libre passe derrière le cercle d'origine et donc que la voiture se fait bien reprendre par le looping.
https://www.wolframalpha.com/input/?...1-x%5E2%2F5%29

Bonjour,

Prenons un repère avec origine au centre du cercle, axes de abscisses horizontal et axe des ordonnées vertical (dans le plan du looping)

Si la force centrifuge équilibre juste le poids en haut du looping, on a : m.v²/R = m.g
v = - sqare(gR), à cet endroit le vecteur vitesse est horizontal ... on peut donc écrire l'équation de la trajectoire si chute libre :

vx(t) = - sqare(gR)
vy(t) = g.t

x(t) = - square(gR) * t
y(t) = R - gt²/2

en éliminant t entre ces équations, on a l'équation de la trajectoire si chute libre : y = R - g*x²/(2gR)
y = R - x²/(2R)

Or l'équation du cercle est : x² + y² = R²

Si tu traces la trajectoire chute libre et le cercle (avec la condition initiale m.v²/R = m.g au point haut), la trajectoire ce chute libre est à l'extérieur du cercle et donc ...

On a la figure jointe.

Et évidemment, si la vitesse était encore plus grande au point haut ... la trajectoire de chute libre serait encore plus à l'extérieur du cercle.

[stefjm]

Merci.
J'ai fait ce calcul aussi et je suis tout à fait convaincu par ce calcul.
C'est le résulat que je ne trouve pas intuitif et évident.

[calculair]

oui c'est difficile de dire pourquoi tu n'as pas été convaincu par des raisonnements plus simples.

Peut être maintenant que tu as cette vision, tu sera convaincu par les raisonnements plus simples.

comme cela on a raisonné de plusieurs manières et c'est toujours instructif

Heureusement que tout ce rejoint.....

Merci.
J'ai fait ce calcul aussi et je suis tout à fait convaincu par ce calcul.
C'est le résulat que je ne trouve pas intuitif et évident.

[stefjm]

Je ne suis pas convaincu par les raisonnements plus simples parce qu'ils ne prouvent rien! Tout simplement.

Le raisonnement de gts2 suppose l'action de la glissière pour prouver la différence de rayon dans le bon sens?

Je ne vois pas comment en sortir sans une étude de réaction de support (jacknicklaus) ou de trajectoires (Black Jack 2 et moi).
Dans tous les cas, les relations n'ont pour moi rien d'évidentes, ni d'intuitives.

C'était le point de départ de ma remarque concernant le "C'est évident!".

[calculair]

Re bonjour:

Je ne conteste en rien la rigueur de ton raisonnement

Mais si on reprend un raisonnement nécessitant moins de calcul

Au sommet de la trajectoire si la force centrifuge est > au poids la résultante des force est dirigée vers la piste : C'et là que le poids diminue avec l'efficacité max la force d'appuie sur la piste

Lorsque le mobile descend la vitesse augmente et le poids reste constant bien sur .....

La projection du poids sur la direction de la force centrifuge diminue. Le mobile s'appuie alors mieux sur la piste d'autant plus que sa vitesse a augmenté et donc la force centrifuge.

Je ne suis pas convaincu par les raisonnements plus simples parce qu'ils ne prouvent rien! Tout simplement.

Le raisonnement de gts2 suppose l'action de la glissière pour prouver la différence de rayon dans le bon sens?

Je ne vois pas comment en sortir sans une étude de réaction de support (jacknicklaus) ou de trajectoires (Black Jack 2 et moi).
Dans tous les cas, les relations n'ont pour moi rien d'évidentes, ni d'intuitives.

C'était le point de départ de ma remarque concernant le "C'est évident!".

[gts2]

Je ne suis pas convaincu par les raisonnements plus simples parce qu'ils ne prouvent rien! Tout simplement.
Le raisonnement de gts2 suppose l'action de la glissière pour prouver la différence de rayon dans le bon sens?

Prenons la symétrie dans l'autre sens : si la descente se fait sur la parabole, la montée aurait du se faire par la même parabole.

[stefjm]

Prenons la symétrie dans l'autre sens : si la descente se fait sur la parabole, la montée aurait du se faire par la même parabole.

La symétrie me semble introduire un raisonnement finaliste qui me fait bizarre (que ce soit pour le cercle ou la parabole).

En fait, ce qui me gène dans le "raisonnement évident" est le V^2/R qui dépend d'un R potentiellement variable, ainsi que la différence entre une trajectoire libre et une trajectoire contrainte.

[calculair]

Que conclues tu si V augmente, R reste constant, et le poids constant qui se soustrait a la force centrifuge tire plus dans l'alignement de la force centrifuge...

remarque: c'est la composante du poids perpendiculaire a la force centripète qui fait accélérer le mobile.
Comme V**2/ R augmente et mg cos a diminue lorsque a augmente, le mobile s'appuie de plus en plus fort dur la piste

La symétrie me semble introduire un raisonnement finaliste qui me fait bizarre (que ce soit pour le cercle ou la parabole).

En fait, ce qui me gène dans le "raisonnement évident" est le V^2/R qui dépend d'un R potentiellement variable, ainsi que la différence entre une trajectoire libre et une trajectoire contrainte.

[invitede656be3]

Bonsoir,
je crois que tout a été dit sur ce sujet, aussi je vous propose de continuer le débat en "corsant" un peu.
La vitesse d'entrée dans la boucle est V0(m/s). Le rayon est R (m). La masse est m (kg).
Etudier les différents cas selon la valeur de V0.
Vous avez 4 heures! Pub
Après j'ai un autre pb du même genre : une boule qui roule sur un 1/2 tore placé dans le plan vertical.

[calculair]

Il faut au sommet de la boucle V**2 /R > g. ou. V**2 > g R

La perte d'énergie dans la montée de la boucle est Ec = m g h. ou 2 m g R

on a donc 1/2 m V**2 au sommet de la boucle s'écrit aussi. 1/2 m g**2 R**2 < 1/2 m V°**2 - 2 m g R

g**2 R**2 < V°**2 - 4 g R

g**2. R**2 + 4 g R < V°**2

Bonsoir,
je crois que tout a été dit sur ce sujet, aussi je vous propose de continuer le débat en "corsant" un peu.
La vitesse d'entrée dans la boucle est V0(m/s). Le rayon est R (m). La masse est m (kg).
Etudier les différents cas selon la valeur de V0.
Vous avez 4 heures! Pub
Après j'ai un autre pb du même genre : une boule qui roule sur un 1/2 tore placé dans le plan vertical.

[invite84f13ff9]

Bonjour,
J'ai lu tous les messages, mais j'ai compris comment on peut faire pour calculer la vitesse minimale d'entrée dans le looping pour faire un tour avec frottement.
Est-ce que vous pouvez me donner des pistes sur la démarche à faire svp ?

Merci d'avance

[gts2]

Bonjour,

Il suffit de suivre la même méthode que sans frottement et de modifier le calcul du théorème de l'énergie cinétique en conséquence.

[calculair]

Au sommet du cercle g s'oppose à la force centrifuge qui est alors minimum, si en se point g< V*V/R ,alors la voiture sera collée au cercle en tous les autres points de la trajectoire car la force centrifuge augmente du fait de l'augmentation de V et de plus g n'est plus aligné a cette force

La voiture pourrait tomber de la piste après le passage au sommet en suivant une trajectoire de chute libre (parabole) plutot que le cercle.